aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
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space:
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Diffstat
-rw-r--r--buch/papers/zeta/Makefile.inc7
-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex264
-rw-r--r--buch/papers/zeta/einleitung.tex11
-rw-r--r--buch/papers/zeta/main.tex32
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil0.tex22
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil1.tex55
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil2.tex40
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil3.tex40
-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex53
9 files changed, 338 insertions, 186 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/Makefile.inc b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
index 11c7697..14babe2 100644
--- a/buch/papers/zeta/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
@@ -7,8 +7,7 @@ dependencies-zeta = \
papers/zeta/packages.tex \
papers/zeta/main.tex \
papers/zeta/references.bib \
- papers/zeta/teil0.tex \
- papers/zeta/teil1.tex \
- papers/zeta/teil2.tex \
- papers/zeta/teil3.tex
+ papers/zeta/einleitung.tex \
+ papers/zeta/analytic_continuation.tex \
+ papers/zeta/zeta_gamma.tex \
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
new file mode 100644
index 0000000..bb95b92
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -0,0 +1,264 @@
+\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+%TODO missing Text
+
+\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
+Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
+ \eta(s)
+ =
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
+\end{equation}
+wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
+Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
+
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+\begin{align}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+ \\
+ \frac{1}{2^{s-1}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
+ \\
+ \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+ \zeta(s)
+ &=
+ \frac{1}{1^s}
+ \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+ + \frac{1}{3^s}
+ \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+ \ldots
+ && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}}
+ \\
+ &= \eta(s)
+ \\
+ \zeta(s)
+ &=
+ \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+\end{align}
+
+\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
+Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
+Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als
+\begin{equation}
+ \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+ =
+ \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
+\end{equation}
+Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
+\begin{align}
+ \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+ &=
+ \int_0^{\infty}
+ (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ dx
+ && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+ \\
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+ &=
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ dx
+ && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
+ \\
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ dx. \label{zeta:equation:integral1}
+\end{align}
+Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
+%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
+Es gilt
+\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
+ \psi(x)
+ =
+ - \frac{1}{2}
+ + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+\end{equation}
+
+Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ =
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx,
+\end{equation}
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
+\begin{align}
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \left(
+ - \frac{1}{2}
+ + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+ \right)
+ dx
+ \\
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ + \frac{1}{2}
+ \left(
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \right)
+ dx
+ \\
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ dx
+ + \frac{1}{2}
+ \int_0^1
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ dx. \label{zeta:equation:integral3}
+\end{align}
+Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
+\begin{equation}
+ \frac{1}{2}
+ \int_0^1
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ dx
+ =
+ \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+ \int_{\infty}^{1}
+ {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{-du}{u^2}
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{du}{u^2}
+ \\
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+\begin{equation}
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ =
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ dx
+ +
+ \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\begin{align}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ \nonumber
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{s(s-1)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ dx
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{s(s-1)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}
+ +
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \right)
+ \psi(x)
+ dx
+ \\
+ &=
+ \frac{-1}{s(1-s)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ x^{\frac{1-s}{2}}
+ +
+ x^{\frac{s}{2}}
+ \right)
+ \frac{\psi(x)}{x}
+ dx,
+\end{align}
+zu erhalten.
+Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
+Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:functional}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ =
+ \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+ \zeta(1-s).
+\end{equation}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b70531
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+\section{Einleitung} \label{zeta:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+
+Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexe $s$ mit $\Re(s) > 1$ definiert als
+\begin{equation}\label{zeta:equation1}
+ \zeta(s)
+ =
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{1}{n^s}.
+\end{equation}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index 1d9e059..e0ea8e1 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -3,34 +3,16 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Thema\label{chapter:zeta}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Riemannsche Zetafunktion\label{chapter:zeta}}
+\lhead{Riemannsche Zetafunktion}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Raphael Unterer}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+%TODO Einleitung
-\input{papers/zeta/teil0.tex}
-\input{papers/zeta/teil1.tex}
-\input{papers/zeta/teil2.tex}
-\input{papers/zeta/teil3.tex}
+\input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
+\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/zeta/teil0.tex b/buch/papers/zeta/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 56c0b1b..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{zeta:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{zeta:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil1.tex b/buch/papers/zeta/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 4017ee8..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{zeta:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{zeta:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{zeta:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{zeta:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil2.tex b/buch/papers/zeta/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 9e8a96e..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{zeta:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil3.tex b/buch/papers/zeta/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 6610cc3..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{zeta:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..59c8744
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+
+Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+
+%TODO ref Gamma
+Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
+\begin{align}
+ \Gamma(s)
+ &=
+ \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
+ \\
+ &=
+ \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
+ &&
+ \text{Division durch }n^s
+ \\
+ \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+ &=
+ \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
+ &&
+ \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
+ \\
+ \Gamma(s) \zeta(s)
+ &=
+ \int_0^{\infty} u^{s-1}
+ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
+ du.
+ \label{zeta:equation:zeta_gamma1}
+\end{align}
+Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
+\begin{align}
+ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+ &=
+ \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+ -
+ 1
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{e^u - 1}.
+\end{align}
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
+ \zeta(s)
+ =
+ \frac{1}{\Gamma(s)}
+ \int_0^{\infty}
+ \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
+ du.
+\end{equation}
generated by cgit v1.2.1 (git 2.18.0) at 2024-12-23 19:38:17 +0100