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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex3
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex2
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex21
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex34
4 files changed, 34 insertions, 26 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index bc7f734..eb1a152 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -245,7 +245,8 @@ und
0
\end{equation}
führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten.
-
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch
+als Webersche Differentialgleichungen bekannt.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 30f33e4..e6a55b2 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -22,7 +22,7 @@ Die Lösung ist somit
\sqrt{\lambda + \mu}
\right )}.
\end{equation}
-\subsection{Lösung ???}
+\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung}
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
\begin{satz}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 217b105..1b63c8e 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -105,24 +105,3 @@ und
\right)
\end{equation}
Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
-\begin{equation}
-% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
- c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
-\end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
-%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
-%\begin{equation}
-% x = \sigma \tau,
-%\end{equation}
-%\begin{equation}
-% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
-%\end{equation}
-%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
-Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
-\begin{align}
- x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
- y &= 2c_1 c_2,
-\end{align}
-so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
-zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 1535605..12c28fe 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -102,18 +102,46 @@ Dies kann umgeformt werden zu
\end{equation}
+%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
+%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+%\begin{equation}
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+%\end{equation}
+%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+%\begin{equation}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+%\end{equation}
+%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
- \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+ c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\begin{equation}
- \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
-
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+\begin{align}
+ x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
+ y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen.
%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst