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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/coordinates.pngbin0 -> 1215422 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex21
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex25
3 files changed, 35 insertions, 11 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
new file mode 100644
index 0000000..0ea3701
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index c97f5a0..bc7f734 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -72,31 +72,32 @@ Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein kr
bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch
\begin{align}
- x & = \sigma \tau \\
+ x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
\label{parzyl:coordRelationsa}
- y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
+ y & = \sigma \tau\\
z & = z.
\label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
+Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
+ x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
und
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
+ x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
\end{equation}
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
- \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein
- konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
+ \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png}
+ \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein
+ konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.}
\label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
+Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
@@ -122,11 +123,11 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+ = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+ = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 1bbbbb8..217b105 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -74,6 +74,8 @@ und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
\alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+ c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
@@ -102,4 +104,25 @@ und
+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
\right)
\end{equation}
-Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. \ No newline at end of file
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
+\begin{equation}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+\begin{align}
+ x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
+ y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.