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-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex7
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex63
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex12
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex323
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex1
-rw-r--r--buch/chapters/part1.tex1
-rw-r--r--buch/chapters/references.bib17
7 files changed, 286 insertions, 138 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 8a638a7..613f130 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -343,7 +343,8 @@ der unvollständigen elliptischen Integrale.
%
% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
%
-\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel}
+\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+\label{buch:elliptisch:jacobi:agm}}
\begin{table}
\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
@@ -685,3 +686,7 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
+Die Übungsaufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:1} ist als
+Lernaufgabe konzipiert, mit der die Lösung der Differentialgleichung
+des harmonischen Oszillators beispielhaft durchgearbeitet
+werden kann.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
index 0ff9cdb..49e6686 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
@@ -27,6 +27,11 @@ Funktionen $\operatorname{sn}(u,k)$,
$\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$,
die ähnliche Eigenschaften haben wie die trigonometrischen Funktionen.
+Die nachstehende Darstellung ist stark inspiriert von William Schwalms
+sehr zielorientierten Einführung
+\cite{buch:schwalm}, welche auch als Youtube-Videovorlesung
+\cite{buch:schwalm-youtube} zur Verfügung steht.
+
%
% Geometrie einer Ellipse
%
@@ -1012,10 +1017,60 @@ finden.
Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
zweiten Buchstaben haben.
-\subsubsection{TODO}
-XXX algebraische Beziehungen \\
-XXX Additionstheoreme \\
-XXX Perioden
+\subsubsection{Weitere Beziehungen}
+Für die Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich eine grosse
+Zahl weiterer Eigenschaften und Identitäten beweisen.
+Zum Beispiel gibt es Aditionstheoreme, die im Grenzfall $k\to 0$ zu
+den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen werden.
+\index{Additionstheorem}%
+Ebenso kann man weitere algebraische Identitäten finden.
+So lässt sich zum Beispiel die einzige reelle Nullstelle von $x^5+x=w$
+mit Jacobischen elliptischen Funktionen darstellen, während es
+nicht möglich ist, diese Lösung als Wurzelausdruck zu schreiben.
+
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen lassen sich statt auf dem
+hier gewählten trigonometrischen Weg auch mit Hilfe der Jacobischen
+Theta-Funktionen definieren, die Lösungen einer Wärmeleitungsgleichung
+\index{Theta-Funktionen}%
+\index{Wärmeleitungs-Gleichung}%
+mit geeigneten Randbedingungen sind.
+Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, ziemlich direkt zu
+Reihen- und Produktentwicklungen für die Funktionen zu führen.
+Auch die Additionstheorem ergeben sich vergleichsweise leicht.
+Dieser Zugang zu den Jacobischen elliptischen Funktionen wird in der
+Standardreferenz~\cite{buch:ellfun-applications} gewählt.
+
+Bei anderen speziellen Funktionen waren Reihenentwicklungen ein
+wichtiges Hilfsmittel zu deren numerischer Berechnung.
+Bei den Jacobischen elliptischen Funktionen ist diese Methode
+nicht zielführend.
+Im Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}
+wird gezeigt, dass Jacobische elliptische Funktionen gewisse nichtlineare
+Differentialgleichungen zu lösen ermöglichen.
+Dies zeigt auch, dass Jacobischen elliptischen Funktionen
+Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind, die in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} mit dem
+arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet wurden.
+Die dort angetroffenen numerischen Schwierigkeiten treten bei der
+Berechnung der Umkehrfunktion jedoch nicht auf.
+
+Die grundlegende Mechanik dieser Berechnungsmethode wird auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:jacobi:agm} dargestellt und
+und in den Übungsaufgaben
+\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} bis \ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}
+etwas näher untersucht wird.
+
+Aus der Theorie das arithmetisch-geometrischen Mittels lässt sich
+die sogenannte Landen-Trans\-formation herleiten.
+\index{Landen-Transformation}%
+Sie stellt eine Verbindung zwischen
+den Werten der elliptischen Funktionen zu verschiedenen Moduli $k$ her.
+Sie ist die Basis aller effizienten Berechnungsmethoden.
+
+
+% algebraische Beziehungen \\
+% Additionstheoreme \\
+% Perioden
% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index 61476a0..04c137d 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -17,12 +17,6 @@ elliptischen Funktionen hergestellt werden.
%
\subsection{Lemniskate
\label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf}
-\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
-\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
-\end{figure}
Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades
mit der Gleichung
\index{Lemniskate von Bernoulli}%
@@ -64,6 +58,12 @@ In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel
bei $\pm 1$.
Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
Sinus und Kosinus verwendet werden soll.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf}
+\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
+\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
+\end{figure}
\subsubsection{Polarkoordinaten}
In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
index 39cb418..54b7531 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
@@ -53,7 +53,7 @@ enthält.
Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
Dies führt auf
-\[
+\begin{equation}
E_{\text{kinetisch}}
+
E_{\text{potentiell}}
@@ -66,8 +66,9 @@ mgl(1-\cos\vartheta)
+
mgl(1-\cos\vartheta)
=
-E
-\]
+E.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung}
+\end{equation}
Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
Differentialgleichung
\[
@@ -94,159 +95,229 @@ Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
-\caption{%
-Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
-verschiedene Werte von $k^2=m$.
-Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$,
-$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
-sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
-Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
-von den trigonometrischen Funktionen ab,
-es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
-Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
-Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
-die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
-erreichen kann, was es für $m$ macht.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
-\end{figure}
+
%
% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
%
\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
Wir verwenden als neue Variable
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
+\begin{align}
+y
+&=
+\sin\frac{\vartheta}2
+&&\Rightarrow&
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+&=
+1-y^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydef}
+\intertext{Die Ableitung ist}
+\dot{y}
+&=
+\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}
+&&\Rightarrow&
+\dot{y}^2
+&=
+\frac14\cos^2\frac{\vartheta}2\cdot\dot{\vartheta}^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:yabl}
+\intertext{%
+Man beachte, dass die Koordinate senkrecht zur $x$-Achse in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} die Auslenkung
+$l\sin\vartheta$ ist, $y$ ist also nicht die Auslenkung senkrecht
+zur $x$-Achse!
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir ausserdem
+}
\cos\vartheta
-=
+&=
1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
-\]
-Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
-$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+1-2y^2
+&&\Rightarrow&
+1-\cos\vartheta
+&=
+2y^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:halbwinkel}
+\end{align}
+Die Grösse $1-\cos\vartheta$ haben wir in der Energiegleichung
+\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung}
+bereits angetroffen.
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
+Die Identitäten
+\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:halbwinkel}
+%und
+%\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydef}
+können wir jetzt in die
+Energiegleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung}
+einsetzen und erhalten
+\begin{align}
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + 2mgly^2
+&=
+E
+\intertext{und nach Division durch $2ml^2$}
+\frac14 \dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{l}y^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:thetadgl}
+\end{align}
+%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
+%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+Durch Multiplizieren mit der rechten Gleichung von
+\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydef}
erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:mathpendel:yabl}
als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac14
+\begin{align}
+\underbrace{\frac14
\cos^2\frac{\vartheta}2
\cdot
-\dot{\vartheta}^2
+\dot{\vartheta}^2}_{\displaystyle=\dot{y}^2}
&=
-\frac14
(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\notag
\\
\dot{y}^2
&=
-\frac{1}{4}
(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\end{align*}
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl}
+\end{align}
Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
für elliptische Funktionen.
-Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
-Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
-Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
-$1$ sein muss.
+Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der relativen
+Grösse der Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
%
-% Der Fall E < 2mgl
+% Zeittransformation zur Elimination des konstanten Faktors
%
-\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
-
-
-Wir verwenden als neue Variable
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
+\subsubsection{Zeittransformation}
+Die Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl} kann auch in
+die Form
+\begin{equation}
+\frac{2ml^2}{E}\dot{y}^2
+=
+(1-y^2)\biggl(1-\frac{2mgl}{E}y^2\biggr)
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl2}
+\end{equation}
+gebracht werden.
+Der konstante Faktor auf der linken Seite kann wie in der Diskussion
+des anharmonischen Oszillators durch eine lineare
+Transformation der Zeit zum Verschwinden gebracht werden.
+Dazu setzt man $z(t) = y(bt)$ und bekommt
\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
+\frac{d}{dt}z(t)
+=
+\frac{d}{dt}y(bt) \frac{d\,bt}{dt}
+=
+b\dot{y}(bt).
\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
+Die Zeit muss also mit dem Faktor $\sqrt{2ml^2/E}$ skaliert werden.
+
+%
+% Nullstellen der rechten Seite der Differentialgleichung
+%
+\subsubsection{Nullstellen der rechten Seite}
+Die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl2}
+hat die beiden Nullstellen $1$ und
+\begin{equation}
+y_0=\sqrt{\frac{E}{2mgl}}.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:y0}
+\end{equation}
+Die Differentialgleichung kann damit als
+\begin{equation}
+\dot{y}^2
+=
+(1-y^2)\biggl(1-\frac{1}{y_0^2}y^2\biggr)
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl}
+\end{equation}
+geschrieben werden.
+Da die linke Seite $\ge 0$ sein muss, muss
+\(
+y\le \min(1,y_0)
+\)
+sein.
+Damit ergeben sich zwei Fälle.
+Wenn $y_0<1$ ist, dann schwingt das Pendel.
+Der Fall $y_0>1$ entspricht einer Bewegung, bei der das Pendel
+um den Punkt $O$ rotiert.
+
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
+\caption{%
+Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
+verschiedene Werte von $k^2=m$.
+Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$,
+$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
+sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
+Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
+von den trigonometrischen Funktionen ab,
+es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
+Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
+Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
+die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
+erreichen kann, was es für $m$ macht.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
+\end{figure}
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
+\subsubsection{Der Fall $E>2mgl$}
+In diesem Fall ist die zweite Nullstelle $y_0>1$ oder $1/y_0^2 < 1$.
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl}
+sieht ganz ähnlich aus wie die Differentialgleichung der
+Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$, tatsächlich wird sie zur
+Differentialgleichung von $\operatorname{sn}(u,k)$ wenn man
\[
-\cos\vartheta
+k^2
=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+1/y_0^2
=
-1-2y^2.
+\frac{2mgl}{E}
\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
-\]
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac12ml^2
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-(1-y^2)
-(E -mgly^2)
-\\
-\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac{1}{2}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
-\\
+wählt.
+In diesem Fall ist also $y=\operatorname{sn}(u,1/y_0)$ eine Lösung
+der Differentialgleichung, wobei $u$ eine lineare Funktion der Zeit
+ist.
+
+Wenn $y_0 \gg 1$ ist, dann ist $k\approx 0$ und die Bewegung ist
+entspricht einer gleichförmigen Kreisbewegung.
+Je näher $y_0$ an $1$ liegt, desto näher an $1$ ist auch $k$ und
+desto grösser wird die Verlangsamung der Bewgung in der Nähe des
+Scheitels, das Pendel verweilt sehr lange.
+Dies äussert sich in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}
+durch die lange Verweildauer der Funktion nahe der Extrema.
+
+%
+% Der Fall E < 2mgl
+%
+\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
+In diesem Fall ist $y_0<1$ und die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl}
+sieht zwar immer noch wie eine Differentialgleichung für
+$\operatorname{sn}(u,k)$ aus, aber die Lage der Nullstellen
+der rechten Seite ist verkehrt.
+Indem wir $y=y_0z$ schreiben, erhalten wir
+\begin{equation}
\dot{y}^2
-&=
-\frac{E}{2ml^2}
-(1-y^2)\biggl(
-1-\frac{2gml}{E}y^2
-\biggr).
-\end{align*}
-Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
-Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
-
-XXX Verbindung zur Abbildung
-
-%%
-%% Der Fall E > 2mgl
-%%
-%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
-%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
-%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
-%Indem wir die Gleichung
-
-
-%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
-
-%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
-%XXX Möbius-Transformation \\
-%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
+=
+y_0^2 \dot{z}^2
+=
+(1-y_0^2z^2)(1-z^2).
+\end{equation}
+Wieder kann durch eine lineare Transformation der Zeit der Faktor $y_0^2$
+auf der linken Seite zum Verschwinden gebracht werden, es bleibt
+die Differentialgleichung der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit $k=y_0$.
+Daraus liest man ab, dass $y_0\operatorname{sn}(u,k)$ die Bewegung
+des Pendels im oszillatorischen Fall beschreibt, wobei $u$ wieder
+eine lineare Funktion der Zeit ist.
+
+Wenn $y_0\ll 1$ ist, dann ist auch $k$ sehr klein und die lineare
+Näherung ist sehr gut, das Pendel verhält sich wie ein harmonischer
+Oszillator mit einer Sinus-Schwingung als Lösung.
+Für $y_0=k$ nahe an $1$ dagegen erreicht die Schwingung fast den
+die maximale Höhe und wird dort sehr langsam.
+Dies äussert sich in Abbildung~
+Dies äussert sich in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}
+wiederum durch die lange Verweildauer der Funktion nahe der Extrema.
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
index 694f18a..af094c6 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:1}
In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem
Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz
\[
diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex
index bee4416..52b18a0 100644
--- a/buch/chapters/part1.tex
+++ b/buch/chapters/part1.tex
@@ -35,6 +35,7 @@
%\end{appendices}
\vfill
\pagebreak
+
\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi
\lhead{Literatur}
\rhead{}
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index e8f3494..d14a3d2 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -120,7 +120,7 @@
}
@article{buch:pearsondgl,
title = {Orthogonal matrix polynomials, scalar-type Rordigues' formulas and Pearson equations},
- author = { Antion J. Dur\'an and F. Alberto Grünbaum },
+ author = { Antonio J. Dur\'an and F. Alberto Grünbaum },
year = 2005,
journal = { Journal of Approximation theory },
volume = 134,
@@ -155,3 +155,18 @@
pages = { 585--608 },
year = 1988
}
+
+@book{buch:schwalm,
+ author = { William A. Schwalm },
+ title = { Lectures on Selected Topics in Mathematical Physics: Elliptic Functions and Elliptic Integrals },
+ publisher = { IOP Science },
+ year = 2015,
+ ISBN = { 978-1-6817-4166-6 }
+}
+
+@misc{buch:schwalm-youtube,
+ author = { William A. Schwalm },
+ title = { Elliptic Functions and Elliptic Integrals },
+ howpublished = { \url{https://youtu.be/DCXItCajCyo} },
+ year = 2018
+}