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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex index b46ed12..fa7deb1 100644 --- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex +++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex @@ -15,21 +15,20 @@ Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel bet %\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten) %\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}} Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen. -Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen für Startbedingung im ersten Quadranten +Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkXNachT} für Startbedingung im ersten Quadranten \begin{align*} x\left(t\right) &= - \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\ - y(x) + x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\ + y(t) &= - \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) \\ + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\ \chi &= \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\\ \eta &= - \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 - \\ + \left(\frac{x}{x_0}\right)^2\\ r_0 &= \sqrt{x_0^2+y_0^2} \text{.}\\ @@ -68,29 +67,28 @@ und der Verfolger durch &= x(t) = - \sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} + x_0\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\ - v \cdot t + t &= y(t) = - \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)ln\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right) + \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right) \\ \end{align*} % , welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde. Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet. -Diese kann durch quadrieren und anschliessendes multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. -Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. -Die Gleichung - +Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt \begin{equation} - 0 - = - W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right) + 0 + = + W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right) + \text{.} \end{equation} % -entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei +Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde. +Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei \begin{equation*} W(0)=0 @@ -167,3 +165,5 @@ Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage u + + |