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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index b6f35fc..1bec096 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -56,6 +56,9 @@ Integrale \] mit $0<k<1$. Es ist auch üblich, den Parameter $m=k^2$ zu verwenden. +Die Zahl $k$ heisst {\em Modul} des elliptischen Integrals. +\index{Modul eines elliptischen Integrals}% +\index{elliptisches Integral}% \end{definition} Wie gesagt lassen sich für diese unbestimmten Integrale keine @@ -327,7 +330,170 @@ $\pm 1/\sqrt{n}$ XXX Additionstheoreme \\ XXX Parameterkonventionen \\ XXX Wertebereich (Rechtecke) \\ -XXX Komplementäre Integrale \\ +\subsubsection{Wertebereich} +Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen +haben nur positive relle Werte. +Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art +$F(k,x)$ nur Werte zwischen $0$ und $K(k)$ an. +Wenn komplexe Werte zulässig sind, kann man das Integral auch über die +Singularitäten bei $\pm 1$ und $\pm 1/k$ hinweg ausführen, erhält +dabe aber möglicherweise komplexe Werte, weil die Radikanden in den +Integralen negativ werden. +Die Schwierigkeit dabei ist, dass die Quadratwurzel nicht eindeutig ist. +Welcher Wert der im Zusammenhang richtige ist, hängt davon ab, wie wir +dorthin kommen. + +Die reelle Achse teilt den Definitionsbereich der unvollständigen +elliptischen Integrale in die obere und die untere Halbebene. +die Werte für reelle Argument beschreiben daher den Rand der Wertebereichs +für Argumente in der oberen bzw.~untere Halbebene. +Indem wir die Werte der elliptischen Integrale für reelle Argumente +berechnen, können wir daher den Rand des Wertebereichs ermitteln. + +Im folgenden diskutieren wir nur das elliptische Integral erster Art, +die anderen können in der gleichen Art behandelt werden. +Für Argumentwerte $x$ im Interval $[0,1]$ ist $F(k,x)\in\mathbb{R}$. +An der Stelle $x=1$ wechselt der Faktor $(1-t^2)$ im Nenner das +Vorzeichen, der Integrand wird negativ. +Für Argumente zwischen $1$ und $1/k$ ist bleibt der Integrand negativ, +es muss also ein Wert der Quadratwurzel gewählt werden. +Beide Vorzeichen von +\begin{equation} +\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} += +\frac{\pm i}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}} +\label{buch:elliptisch:eqn:imaginaerintegrand} +\end{equation} +sind möglich. +Doch welche Wahl ist die ``richtige''? + +Dazu betrachten wir die Argument $z=x+i\varepsilon$ auf einer Geraden +parallel zur reellen Achse des Definitionsbereichs und in der oberen +Halbebene. +Da eine holomorphe Funktion die Orientierung erhält und weil das +Interval $[0,1]$ auf die reelle Achse abgebildet wird, müssen wir das +Vorzeichen der Wurzel so wählen, dass die Werte der Wurzel ebenfalls +in der oberen Halbebene liegen. +Die ``richtige'' Wahl der Wurzel von +\[ +1-z^2 = 1-x^2-2i\varepsilon x + \varepsilon^2 +\] +erfüllt zwei Bedingungen. +\begin{enumerate} +\item +Für nicht zu grosse Werte von $x$ muss der Wert in der oberen +Halbebene liegen. +Für solche Werte von $x$ ist der Realteil $1-x^2+\varepsilon^2>0$ und +der Imaginärteil $-2\varepsilon x<0$. +Für die Wurzel muss man also das Argument von $1-z^2$ als Winkel zwischen +$3\pi2$ und $2\pi$ wählen und für die Wurzel durch zwei teilen. +\item +Der Realteil von $1-z^2$ wechsel das Vorzeichen, wenn +$x=\sqrt{1+\varepsilon^2}$, der Imaginärteil bleibt dabei negativ. +Das Argument ändert von einem Winkel nahe bei aber kleiner als $2\pi$ +zu einem Winkel nahe bei aber grösser als $\pi$. +Als Wurzel muss daher jene verwendet werden, deren Argument in der +Nähe von $\frac{\pi}2$ liegt. +\end{enumerate} +Aus diesem Argument kann man ableiten, dass für die Berandung des +Bildes der oberen Halbebene zwischen $1$ und $1/k$ das positive +Zeichen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:imaginaerintegrand} +gewählt werden muss. + +Die anderen Singularitäten auf der reellen Achse können analog +behandelt werden und es folgt, dass das Bild der oberen Halbebene +ein Rechteck in der oberen Halbebene ist +(Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:rechteck}). +Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten +\[ +\pm F(1,k) += +\pm\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} += +\pm K(k). +\] +Für die Höhe muss das Integral +\begin{equation} +l=\int_1^{\frac1{k}} +\frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}} +\label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} +\end{equation} +ausgewertet werden. + +\subsubsection{Komplementärmodul} +Im vorangegangen Abschnitt wurde gezeigt, dass der Wertebereicht des +unvollständigen elliptischen Integrals der ersten Art als komplexe +Funktion ein Rechteck ist. +Die obere Halbebene wird auf Rechteck der Breite $2K(k)$ abgebildet, +für die Höhe des Rechtecks muss das +Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} ausgewertet werden. +Das Integral läuft von $t=1$ bis $t=1/k$, wir möchten daraus ein +elliptisches Integral machen, dessen Integrationsinterval bei $0$ +beginnt. +Dazu verwenden wir die Variablentransformation +\[ +t = \frac{1}{\sqrt{1-k'^2y^2}}, +\] +die für $y=0$ den Wert $1$ ergibt, für $y=1$ aber $1/\sqrt{1-k'^2}$. +Damit das richtige Integrationsintervall entsteht, muss $k'$ so gewählt +werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist. + +\begin{definition} +Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst +$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement +des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$. +\end{definition} + +Mit der Ableitung +\[ +\frac{dt}{dy} += +\frac{k'^2 y}{(1-k'^2y^2)^{\frac32}} +\] +der Substitution +wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} jetzt zu +\begin{align*} +l +&= +\int_0^1 +\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1-k'^2y^2}-1}} +\cdot +\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k^2}{1-k'^2y^2}}} +\cdot +\frac{k'^2y}{\sqrt{1-k'^2y^2}} +\cdot +\frac{1}{1-k'^2y^2} +\,dy +\\ +&= +\int_0^1 +\frac{\sqrt{1-k'^2y^2}}{\sqrt{k'^2y^2}} +\cdot +\frac{1}{\sqrt{1-k^2 -k'^2y^2}} +\cdot +\frac{k'^2y}{1-k'^2y^2} +\,dy +\\ +&= +\int_0^1 +\sqrt{1-k'^2y^2} +\cdot +\frac{1}{k'\sqrt{1-y^2}} +\cdot +\frac{k'}{1-k'^2y^2} +\,dy +\\ +&= +\int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}} += +K(k'). +\end{align*} +Die Höhe des Rechtecks des Wertebereichs der oberen Halbebene ist +als der Wert des vollständigen elliptischen Integrals erster Art +für den Komplementärmodul. +Das Bild der komplexen Ebene unter der Abbildung gegeben durch das +unvollständige elliptische Integral zweiter Art ist symmetrisch um +den Nullpunkt und hat Breite $2K(k)$ und Höhe $2K(k')$. \begin{figure} \centering |