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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex index 9782b64..af4c2f2 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex @@ -3,16 +3,149 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochscule % -\section{Lösungen von Polynomegleichungen +\section{Lösungen von Polynomgleichungen \label{buch:potenzen:section:loesungen}} \rhead{Lösungen von Polynomgleichungen} +Die Berechnung von Polynomen ist sehr einfach, da nur arithmetische +Grundoperationen benötigt werden. +In vielen Anwendungen sind jedoch die Argumente gefragt, für die ein +Polynom einen bestimmten Wert annimmt. +Es geht also um die Lösung von Gleichungen der Form +\[ +p(x) = c +\] +für ein Polynome $p(x)$ und eine Konstante $c\in\mathbb{C}$. % % Fundamentalsatz der Algebra % \subsection{Fundamentalsatz der Algebra} +\begin{satz}[Gauss] +Jedes Polynom $p(x)=a_nx^n+\dots + a_2x^2 + a_1x + a_0\in\mathbb{C}[x]$ +zerfällt in ein Produkt +\[ +p(x) += +a_n +(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n) +\] +für Nullstellen $\alpha_k\in\mathbb{C}$. +\end{satz} + % % Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke % \subsection{Lösbarkeit durch Wurzelausdrücke} +Der Fundamentalsatz macht keine Aussage darüber, wie die Nullstellen +eines Polynoms gefunden werden können. +Selbst für besonders einfache Gleichungen der Form +\[ +x^n = c +\qquad +\text{oder Polynome der Form} +\qquad +p(x) = x^n -c +\] +gibt es keine direkte, nur auf den arithmetischen +Operationen basierende Methode, eine Nullstelle oder Faktorisierung +in endlich vielen Schritten zu finden. +Dies rechtfertigt, für diese einfachen Fälle eine neue, spezielle +Funktion zu definieren, die mindestens für reelle Koeffizienten +die Nullstelle als Rückgabewert hat. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/010-potenzen/images/wurzel.pdf} +\caption[Graph der Wurzelfunktionen]{Graph der Wurzelfunktionen +%$x\mapsto\root{n}\of{x\mathstrut}$ +\ensuremath{x\mapsto\root{n}\of{x}} +als Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen $x\mapsto x^n$ für +$n=2$ ({\color{red}rot}), $n=3$ ({\color{blue}blau}), +$n=16$ ({\color{darkgreen}grün}) und $n=27$ ({\color{orange}orange}). +\label{buch:potenzen:fig:wurzel} +} +\end{figure} + +\begin{definition} +Die inverse Funktion der Potenzfunktion +$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto y=f(x)=x^n$ +heisst die $n$-{\em te Wurzel} und wird +\[ +\root{n}\of{\mathstrut\phantom{m}} += +f^{-1} +\colon +D\to\mathbb{R} +: +y\mapsto f^{-1}(y)=\root{n}\of{\mathstrut y} +\] +geschrieben. +Für gerades $n$ ist der Definitionsbereich der Wurzel nur +$D=\mathbb{R}_{\ge 0}$, für ungerades $n$ ist $D=\mathbb{R}$. +Für $n=2$ wird die Wurzel als +\( +\root{2}\of{\mathstrut y} += +\sqrt{\mathstrut y} +\) +geschrieben. +\end{definition} + +TODO: Graph der Wurzelfunktion hinzufügen + +Mit der Wurzelfunktion ist es jetzt möglich, auch kompliziertere +Gleichungen zu lösen: +\begin{enumerate} +\item +Für negative Argument $y<0$ müssen Quadratwurzeln als +$\sqrt{y\mathstrut}=i\sqrt{-y\mathstrut}$ definiert werden. +\item +Mindestens der Betrag der Wurzel einer komplexen Zahl lässt +sich jetzt sofort mittels $|\root{n}\of{c\mathstrut}|=\root{n}\of{|c|\mathstrut}$ +berechnen. +Für das Argument sind jedoch die in +Abschnitt~\label{buch:geometrie:section:trigonometrisch} definierten +trigonometrischen Funktionen notwendig. +\item +Die quadratische Gleichung +\[ +ax^2+bx+c=0 +\] +hat die Nullstellen +\[ +x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\mathstrut}}{2a}. +\] +\item +Für kubische Gleichungen hat Cardano eine Lösung gefunden, die +Nur Wurzelausdrücke und arithmetische Operationen verwendet. +Die Gleichung $x^3+px+q=0$ hat die Nullstelle +\[ +x += +\root{3}\of{-\frac{q}2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} ++ +\root{3}\of{-\frac{q}2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}. +\] +Falls das Argument der Quadratwurzel negativ ist, muss eine +Kubikwurzel aus einer komplexen Zahl berechnet werden, was +wieder über die Möglichkeiten der oben definierten Wurzelfunktionen +hinausgeht. +\item +Für die Lösung einer Gleichung vierten Grades hat Ferrari eine +Formel angegeben, die mit Wurzelausdrücken und arithmetischen +Operationen auskommt. +\end{enumerate} + +Allerdings ist damit auch bereits ausgeschöpft, was die +Wurzelfunktionen zur Lösung von Polynomgleichungen beitragen +können. +Der folgende Satz von Abel zeigt, dass man für Polynomgleichungen +höheren Grades nicht mit einer Lösung durch Wurzelausdrücke +rechnen kann. + +\begin{satz}[Abel] +Für Polynomegleichungen vom Grad $n\ge 5$ gibt es keine allgemeine +Lösung durch Wurzelausdrücke. +\end{satz} + |