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diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex new file mode 100644 index 0000000..70cf8f3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/202.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +Finden Sie $x$ derart, dass $(\tan x)^{\tan x}=2$ + +\begin{loesung} +Zunächst setzen wir $y=\tan x$, dann wird die Gleichung zu $y^y = 2$. +Der Logarithmus davon ist $y\log y = \log 2$. +Mit der Bezeichnung $t=\log y$ wird daraus die Gleichung +\[ +te^t = \log 2, +\] +die mit der Lambert-$W$-Funktion gelöst werden kann, die Lösung ist +$t=W(\log 2)$. +Darus kann man jetzt wieder $y=e^t=e^{W(\log 2)}$ bekommen. +So finden wir die Lösung +$x = \arctan e^{W(\log 2)}\approx 1.00064239632968$. +Durch Addition von ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ erhält man +weitere Lösungen. +\end{loesung} |