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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex index 8a19437..d3d70fe 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/flaeche.tex @@ -61,7 +61,7 @@ x(t_i) &y(t_i) \\ x(t_i) &y(t_i) \\ \dot{x}(t_{i+1}) & \dot{y}(t_{i+1}) \end{matrix}\biggr| -(t_{i+1}-t_{i}) +(t_{i+1}-t_{i}). \end{align*} Die letzte Summe kann als Riemann-Summe und damit als Approximation für das Integral @@ -160,6 +160,8 @@ berechnet werden. Ellipsen und Hyperbeln sind besonders einfach zu parametrisieren und damit ist auch die Fläche, die von Ellipsen oder Hyperbeln berandet wird, besonders einfach zu berechnen. +Der Flächeninhalt eines Ellipsensektors hat eine besondere Bedeutung +für die Formulierung der Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung. \subsubsection{Ellipse} Für die Ellipse mit der Gleichung diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile index 457a0a1..af652ab 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/Makefile @@ -7,9 +7,11 @@ all: \ deftrig.pdf \ einheitskreis.pdf \ + ellipse.pdf \ hyperbelflaeche.pdf \ hyperbel.pdf \ kegelschnitte.pdf \ + parabel.pdf \ polargleichung.pdf \ zylinder.pdf @@ -19,12 +21,18 @@ deftrig.pdf: deftrig.tex einheitskreis.pdf: einheitskreis.tex pdflatex einheitskreis.tex +ellipse.pdf: ellipse.tex + pdflatex ellipse.tex + hyperbelflaeche.pdf: hyperbelflaeche.tex pdflatex hyperbelflaeche.tex hyperbel.pdf: hyperbel.tex pdflatex hyperbel.tex +parabel.pdf: parabel.tex + pdflatex parabel.tex + polargleichung.pdf: polargleichung.tex pdflatex polargleichung.tex diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ee4717c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex new file mode 100644 index 0000000..b1d9d9a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/ellipse.tex @@ -0,0 +1,81 @@ +% +% ellipse.tex -- Geometrie einer Ellipse +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\e{3} + +\begin{scope} +\clip (-6.3,-5.5) rectangle (6.3,5.5); +\foreach \s in {7,8,9,11,12,13,14,15,16}{ + %\def\s{9} + \pgfmathparse{\s/2} + \xdef\a{\pgfmathresult} + \pgfmathparse{sqrt(\a*\a-\e*\e)} + \xdef\b{\pgfmathresult} + \draw[color=red!30,line width=1.4pt] + plot[domain=0:360,samples=100] + ({\a*cos(\x)},{\b*sin(\x)}); +} +\end{scope} + +\coordinate (O) at (0,0); +\coordinate (F1) at (3,0); +\coordinate (F2) at (-3,0); +\coordinate (A) at (5,0); +\coordinate (Aminus) at (-5,0); +\coordinate (B) at (0,4); + +\def\winkel{140} +\pgfmathparse{5*cos(\winkel)} +\xdef\Px{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{4*sin(\winkel)} +\xdef\Py{\pgfmathresult} +\coordinate (P) at (\Px,\Py); + +\draw[->] (-6.3,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-5.6) -- (0,5.8) coordinate[label={right:$y$}]; + +\draw[color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (0,4); +\draw[color=blue,line width=1pt] (0,0) -- (3,0); +\draw[color=blue,line width=1pt] (0,4) -- (3,0); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:360,samples=100] + ({5*cos(\x)},{4*sin(\x)}); + +\node[color=blue] at ($0.5*(O)+0.5*(F1)$) [above] {$e$}; +\node[color=blue] at ($0.5*(O)+0.5*(B)$) [left] {$b$}; +\node[color=blue] at ($0.5*(F1)+0.5*(B)$) [above right] {$a$}; + +\fill[color=darkgreen] (P) circle[radius=0.08]; +\node[color=darkgreen] at (P) [above left] {$P$}; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (F1) -- (P) -- (F2); +\node[color=darkgreen] at ($0.55*(P)+0.45*(F1)$) [below] {$\overline{F_1P}$}; +\node[color=darkgreen] at ($0.50*(P)+0.50*(F2)$) [left] {$\overline{F_2P}$}; + +\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (A) [above right] {$A_+$}; +\fill[color=red] (Aminus) circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at (Aminus) [above left] {$A_-$}; + +\fill[color=blue] (F1) circle[radius=0.08]; +\fill[color=blue] (F2) circle[radius=0.08]; +\node at (F1) [below right] {$F_1$}; +\node at (F2) [below left] {$F_2$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf Binary files differindex c2205bf..40a830b 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..76d682e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex new file mode 100644 index 0000000..c6eb700 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/parabel.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% parabel.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\f{2.0} +\def\X{2.7} +\coordinate (F) at (0,\f); + +\begin{scope} + \clip (-6.1,-1) rectangle (6.1,4.6); + \foreach \x in {-5.5,-5,...,6}{ + \draw[color=gray!30,line width=1pt] + (\x,4.7) -- (\x,{\x*\x/(4*\f)}); + \draw[color=gray!50,line width=1pt] + (\x,{\x*\x/(4*\f)}) -- (F); + } +\end{scope} + +\draw[->] (-6.1,0) -- (6.4,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-2.3) -- (0,4.8) coordinate[label={right:$y$}]; + +\begin{scope} + \clip (-6.05,-1) rectangle (6.05,4.6); + \draw[color=red,line width=2pt] + plot[domain=-6.2:6.2,samples=100] ({\x},{\x*\x/(4*\f)}); +\end{scope} + +\fill[color=darkgreen] (\X,{\X*\X/(4*\f)}) circle[radius=0.08]; +\draw[color=darkgreen,line width=1pt] (F) -- (\X,{\X*\X/(4*\f)}) -- (\X,-\f); +\node[color=darkgreen] at (\X,{\X*\X/(4*\f)}) + [below right] {$P{\color{black}\mathstrut=(x,y)}$}; + +\node[color=darkgreen] at (\X,{0.5*(-\f+\X*\X/(4*\f))}) + [right] {$\overline{Pl}{\color{black}\mathstrut=y+f}$}; +\node[color=darkgreen] at ($0.8*(F)+0.2*(\X,{\X*\X/(4*\f)})+(0,-0.2)$) + [above right] + {$\overline{PF}{\color{black}\mathstrut=\sqrt{x^2+(y-f)^2}}$}; + +\node at (F) [above left] {${\color{blue}F}=(0,f)$}; +\draw[color=blue,line width=1pt] (-6,-\f) -- (6,-\f); +\fill[color=blue] (F) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (-4,-\f) [above] {$l$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf Binary files differindex 2e73d80..2580050 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf +++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/zylinder.pdf diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex index 6b3c507..0879a5e 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex @@ -242,6 +242,29 @@ l(\alpha) \end{equation} für die Länge der Kurve. +% +% hierhin verschoben für bessere Platzierung +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf} +\caption{Hyperbeln, Parabeln und Ellipsen sind die Schnittkurven einer +Ebene mit einem Kegel. +Der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Schnittebene bestimmt, +welche Art von Schnittkurve entsteht. +Wenn keine der Mantellinien des Kegels parallel ist zur Ebene, dann +entsteht eine Ellipse (rechts). +In der Mitte ist genau eine Mantellinie (hellblau) parallel zur Ebene, +es ensteht eine Parabel und links gibt es genau zwei verschiedene +Mantellinien des Kegels (hellblau), die zur Ebene parallel sind, +es entsteht eine Hyperbel. +\label{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}} +\end{figure} +% + +% +% Kreis +% \subsection{Kreis} Die Länge eines Bogens auf dem Einheitskreis zwischen dem Punkt $(1,0)$ und $P=(x,y)$ mit $x^2+y^2=1$ ist nach Definition der @@ -280,32 +303,30 @@ Tatsächlich ist die Ableitung davon was mit der Integralformel~\ref{buch:geometrie:eqn:kreislaenge} übereinstimmt. -\subsection{Hyperbeln -\label{buch:geometrie:subsection:hyperbeln}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/kegelschnitte.pdf} -\caption{Hyperbeln, Parabeln und Ellipsen sind die Schnittkurven einer -Ebene mit einem Kegel. -Der Winkel zwischen der Achse des Kegels und der Schnittebene bestimmt, -welche Art von Schnittkurve entsteht. -Wenn keine der Mantellinien des Kegels parallel ist zur Ebene, dann -entsteht eine Ellipse (rechts). -In der Mitte ist genau eine Mantellinie (hellblau) parallel zur Ebene, -es ensteht eine Parabel und links gibt es genau zwei verschiedene -Mantellinien des Kegels (hellblau), die zur Ebene parallel sind, -es entsteht eine Hyperbel. -\label{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}} -\end{figure} -Eine Hyperbel entsteht durch Schneiden eines geraden Kreiskegels mit -einer Ebene wie in Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}. -Es lässt sich ableiten, dass die Punkte der Hyperbel die Eigenschaft -haben, dass die Differenzt der Entfernung von zwei festen Punkte, -den sogenannten Brennpunkten, konstant ist. -Dies ist die Definition, von der wir in diesem Abschnitt ausgehen -wollen. - -\subsubsection{Geometrie einer Hyperbel} +\subsection{Kegelschnitte +\label{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}} +Kegelschnitte sind die Schnittkurven eines geraden Kreiskegels +mit einer Ebene (Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte}). +Der Kreis ist der Spezialfall des Schnittes mit einer horizontalen +Ebene. +Im Gegensatz zum Kreis lässt sich aber die Kurvenlänge nicht mehr +in geschlossener Form berechnen. + +\subsubsection{Koordinatengleichung} +Aus der in Abbildung~\ref{buch:geometrie:laenge:fig:kegelschnitte} +dargestellten Geometrie kann man die folgende Charakterisierung von +Ellipsen und Hyperbeln ableiten. + +\begin{definition} +\label{buch:geometrie:def:kegelschnitte} +Gegeben sind die Punkte $F_1$ und $F_2$ in der Ebene, sie heissen +die {\em Brennpunkte}. +Die Punkte in der Ebene, deren Abstandssumme von zwei festen Punkten $F_1$ +und $F_2$ konstant ist, bilden eine {\em Ellipse}. +Die Punkte in der Ebene, deren Abstandsdifferenz von zwei festen Punkten +$F_1$ und $F_2$ konstant ist, bilden eine {\em Hyperbel}. +\end{definition} + \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/030-geometrie/images/hyperbel.pdf} @@ -317,40 +338,76 @@ Die Differenz $\pm 2a$ führt auf die Hyperbeln mit Halbachsen $a$ und $b$. \label{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d}} \end{figure} -Die Brennpunkte der Hyperbel sollen $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$ sein. -Die Grösse $e$ heisst auch die {\em lineare Exzentrizität} der Hyperbel. -Die beiden Äste der Hyperbel schneiden die $x$-Achse in den Punkten -$A_\pm=(\pm a,0)$. -In Abbildung~\ref{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d} ist diese Situation -dargestellt. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/ellipse.pdf} +\caption{Geometrie einer Ellipse in der Ebene. +Die Ellipse besteht aus den Punkten $P$ der Ebene, deren Entfernungssumme +$\overline{F_1P}+\overline{F_2P}$ +zu zwei vorgegebenen Punkten $F_1$ und $F_2$ konstant ist. +Die Summe $\pm 2a$ führt auf die Ellipsen mit Halbachsen +$a$ und $b$. +\label{buch:geometrie:ellipse:fig:2d}} +\end{figure} +Aus der Definition~\ref{buch:geometrie:def:kegelschnitte} soll jetzt +eine Koordinatengleichung für Ellipsen und Hyperbeln hergeleitet werden. +Die Brennpunkte haben die Koordinaten $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$. +Die Grösse $e$ heisst auch die {\em lineare Exzentrizität}. +Die Abstandssumme bzw.~-differenz wird mit $2a$ bezeichnet -Die Differenz der Entfernungen von $A_+$ zu den beiden Brennpunkten ist +Die Punkte $A_+=(a,0)$ und $A_-=(-a,0)$ sind Punkte der gesuchten +Kurven, +denn die Summe bzw.~Differenz der Entfernungen von $A_+$ zu den beiden +Brennpunkten ist \[ \overline{A_+F_2} -- +\pm \overline{A_+F_1} = +\begin{cases} +(a-e)+(a+e) = 2a +&\qquad\text{Ellipse} +\\ (e+a)-(e-a) = 2a +&\qquad\text{Hyperbel} +\end{cases} +\] +In Abbildung~\ref{buch:geometrie:hyperbel:fig:2d} ist diese Situation +für eine Hyperbel dargestellt, in +Abbildung~\ref{buch:geometrie:ellipse:fig:2d} für eine Ellipse. +Für eine Ellipse ist $e<a$, für eine Hyperbel ist $e>a$, wir schreiben +\[ +b^2 += +\begin{cases} +a^2-e^2&\qquad\text{Ellipse} \\ +e^2-a^2&\qquad\text{Hyperbel} +\end{cases} \] +Die Zahlen $a$ und $b$ heissen die {\em grosse} bzw.~{\em kleine Halbachse} +der Ellipse bzw.~Hyperbel. + Für einen beliebigen Punkt $P=(x,y)$ in der Ebene wird die Bedingung an die Abstände zu \[ \overline{PF_2} -- +\pm \overline{PF_1} = \sqrt{(x+e)^2+y^2} -- +\pm \sqrt{(x-e)^2+y^2} = 2a. \] +Hier und in der folgenden Rechnung gilt das obere Zeichen jeweils +für die Ellipse, das untere für die Hyperbel. Quadrieren ergibt \begin{align*} 4a^2 &= (x+e)^2+y^2 -+ +\pm 2\sqrt{ ((x+e)^2+y^2) ((x-e)^2+y^2) @@ -360,12 +417,12 @@ Quadrieren ergibt \\ 2a^2-x^2-e^2-y^2 &= -\sqrt{ +\pm\sqrt{ y^4 + y^2((x+e)^2 + (x-e)^2) +(x^2-e^2)^2 } \\ &= -\sqrt{y^4 + 2y^2 ( x^2+e^2) +x^4 - 2x^2e^2 + e^4}. +\pm\sqrt{y^4 + 2y^2 ( x^2+e^2) +x^4 - 2x^2e^2 + e^4}. \end{align*} Erneutes Quadrieren bringt auch die Wurzel auf der rechten Seiten zum Verschwinden: @@ -390,22 +447,31 @@ a^4+x^2e^2&=a^2(x^2+y^2+e^2) x^2(e^2-a^2)&=a^2(e^2-a^2) + a^2y^2. \notag \end{align} -Schreiben wir $b^2=e^2-a^2$ und stellen die Gleichung etwas um, -ergibt sich +Die Differenz $e^2-a^2$ ist bis auf das Vorzeichen identisch mit $b^2$, +genauer gilt +\begin{equation*} +\mp x^2b^2 = \mp a^2b^2 + a^2y^2. +\end{equation*} +Nach Division durch $\mp a^2b^2$ bleibt \begin{equation} -b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 +\frac{x^2}{a^2} = 1 \mp{y^2}{b^2} \qquad\Rightarrow\qquad -\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. +\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} = 1, \label{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} \end{equation} -Die Zahlen $a$ und $b$ heissen die {\em grosse} bzw.~{\em kleine Halbachse} -der Hyperbel. +die Koordinatengleichunggleichung einer Ellipse bwz.~Hyperbel. + +\subsubsection{Hyperbeln} Die Hyperbeln können auch als Graphen einer Funktion von $x$ gefunden werden. Dazu wird die Gleichung~\eqref{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} nach $y$ aufgelöst: \[ -\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2} - 1 +\frac{x^2}{a^2} +- +\frac{y^2}{b^2} += +1 \qquad\Rightarrow\qquad y = @@ -500,19 +566,39 @@ ausführbar und rechtfertigt die Definition neuer spezieller Funktionen. Die Kurvenlänge auf einer Hyperbel kann mit den in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} beschriebenen elliptischen Integralen beschrieben werden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/030-geometrie/images/parabel.pdf} +\caption{Eine Parabel ist die Menge der Punkte, die von der Geraden $l$ +und dem Brennpunkt $F$ gleichen Abstand haben. +\label{buch:geometrie:fig:parabel}} +\end{figure} -\subsection{Ellipsen -\label{buch:geometrie:subsection:ellipsen}} -Für eine Ellipse kann man die Parameterdarstellung +\subsubsection{Ellipsen} +Sei $(x,y)$ ein Punkt, der die +Ellipsengleichung~\eqref{buch:geometrie:hyperbel:gleichung} erfüllt. +Dann erfüllt $(X,Y)=(x/a, y/b)$ die Gleichung $X^2+Y^2=1$, ein Punkt auf +einem Kreis. +Insbesondere gibt es ein $t\in\mathbb{R}$ derart, dass \[ -t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix} +\frac{x}{a} = \cos t ,\quad \frac{y}{b}=\sin t +\qquad\Rightarrow\qquad +x=a\cos t,\quad y=b\sin t. \] -verwenden. +Somit ist +\[ +\gamma +\colon +\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 +: +t \mapsto\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix} +\] +eine Parametrisierung der Ellipse. Die Länge eines Ellipsenbogens zwischen den Winkelargumenten $\alpha$ und $\beta$ ist dann -\[ +\begin{align*} l(\alpha,\beta) -= +&= \int_\alpha^\beta \sqrt{ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t @@ -524,30 +610,106 @@ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t a^2 - (a^2-b^2)\cos^2 t } \,dt -= +\\ +&= a \int_\alpha^\beta \sqrt{ 1 - \frac{a^2-b^2}{a^2} \cos^2t } -\,dt. +\,dt = a\int_\alpha^\beta \sqrt{ 1-\varepsilon^2 \cos^2t } -\,dt -\] +\,dt. +\end{align*} Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar. Dies motiviert in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} die Definition~\ref{buch:elliptisch:def:integrale123} -der sogenannten elliptischen Intefrale als neue +der sogenannten elliptischen Integrale als neue spezielle Funktionen. Auf Seite~\pageref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang} wird gezeigt, dass der Umfang einer Ellipse $4aE(\varepsilon)$ ist, wobei $\varepsilon=e/a$ und $e^2=a^2-b^2$ (siehe auch Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}). +\subsubsection{Parabeln} +Aus der Geometrie der Kegelschnitte +(Abbildung~\ref{buch:geometrie:def:kegelschnitte}) +kann auch die folgende Charakterisierung einer Parabel abgeleitet werden. + +\begin{definition} +\label{buch:geometrie:def:parabel} +Sei $F$ ein Punkt in der Ebene $l$ eine Gerade, die $F$ nicht enthält. +$F$ heisst {\em Brennpunkt}, $l$ heisst {\em Leitgerade} der Parabel. +Die Menge aller Punkte $P$, die von $F$ und $l$ den gleichen +Abstand haben, heisst {\em Parabel}. +Die {\em Brennweite} $f$ ist der halbe Abstand von $F$ zu $l$, +also $\overline{Fl}=2f$. +\end{definition} + +Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man $F=(0,f)$ und +$l$ als die Gerade $y=-f$ annehmen +(siehe Abbildung~\ref{buch:geometrie:fig:parabel}). +Ein Punkt $P=(x,y)$ liegt genau dann auf der Parabel, wenn +\begin{align*} +\overline{Pl} +&= +\overline{PF} +\\ +(y+f)^2 +&= +x^2 + (y-f)^2 +\\ +y^2+2yf+f^2 +&= +x^2 + y^2-2yf+f^2 +\\ +4yf +&= +x^2 +\qquad\Rightarrow\qquad y=\frac{1}{4f}x^2. +\end{align*} +Eine Parabel ist also der Graph einer quadratischen Funktion. + +Parabeln haben erhebliche praktische Bedeutung, weil sie parallel zur +Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt $F$ fokusieren. + +\subsubsection{Bogenlänge einer Parabel} +Die Länge eines Parabelbogens zwischen $x_1$ und $x_2$ ist +\begin{align*} +l(x_1,x_2) +&= +\int_{x_1}^{x_2} +\sqrt{1+\biggl(\frac{1}{2f}x\biggr)^2} +\,dx +\end{align*} +Mit der Substitution $x=2ft$ wird das Integral zu +\[ +l(x_1,x_2) += +2f +\int_{x_1/2f}^{x_2/2f} +\sqrt{1+t^2} +\,dt += +f\biggl[ +\operatorname{arsinh} t +t\sqrt{1+t^2} +\biggr]_{x_1/2f}^{x_2/2f} += +\biggl[ +f +\operatorname{arsinh}\frac{x}{2f} ++ +\frac{x}{4f}\sqrt{4f^2+x^2} +\biggr]_{x_1}^{x_2}. +\] +Während also Ellipsen- und Hyperbelbogen nicht in geschlossener +Form berechnet werden können, ist dies für Parabelbögen sehr wohl +möglich. + |