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| -rw-r--r-- | buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex | 60 |
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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc index 8fd5db4..0bf775f 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc @@ -11,4 +11,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/030-geometrie/flaeche.tex \ chapters/030-geometrie/laenge.tex \ chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/1.tex \ + chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex \ chapters/030-geometrie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex index 088b683..f3f1d39 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex @@ -53,5 +53,6 @@ die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren. \begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} \uebungsaufgabe{1} +\uebungsaufgabe{2} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex new file mode 100644 index 0000000..7fedb46 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex @@ -0,0 +1,60 @@ +Finden Sie $x$ so, dass $\sin x = 2$. + +\begin{loesung} +Es ist klar, dass die Lösung nicht reell sein kann, da reelle +Argumente immer nur Sinus-Werte zwischen $-1$ und $1$ ergeben kann. +Die Darstellung der Sinus-Funktion als Linearkombination von +Exponentialfunktionen ergibt +\[ +\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = 2. +\] +Wir schreiben $y=e^{ix}$ und multiplizieren die Gleichung mit $y$, +so entsteht die quadratische Gleichung +\[ +y^2-4iy-1=0 +\] +mit den Lösungen +\[ +y_{\pm} += +2i\pm \sqrt{-4+1} += +2i\pm \sqrt{-3} += +(2\pm \sqrt{3})i += +(2\pm\sqrt{3})e^{\frac{i\pi}2}. +\] +Davon muss jetzt der Logarithmus bestimmt werden. +Der Realteil des Logarithmus ist der Betrag von $y_\pm$: +\begin{align*} +|y_\pm| &= 2\pm \sqrt{3} +\\ +\operatorname{arg} y_\pm &= \frac{\pi}2. +\end{align*} +Daraus bekommt man +\[ +x_\pm += +\frac{1}{i} +\log y_\pm += +\frac{1}{i} +( +\log |y_\pm| ++ +i\arg y_\pm +) += +\frac{\pi}2 +-i +\log(2\pm\sqrt{3}) +\approx +\begin{cases} +1.5707963 - 1.3169579i\\ +1.5707963 + 1.3169579i +\end{cases} +\] +Weitere Lösungen erhält man natürlich durch Addition von ganzzahligen +Vielfachen von $2\pi$. +\end{loesung} |