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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex index f060243..72c2cb4 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex @@ -268,14 +268,15 @@ gefunden werden kann. Die Grundlage dafür war die Matrix $J$. Für die hyperbolischen Funktionen verwenden wir die Matrix -\[ +\begin{equation} K = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, -\] +\label{buch:geometrie:hyperbolisch:matrixK} +\end{equation} damit lässt sich $H_t$ als \[ H_t @@ -353,6 +354,22 @@ Die Quotienten heissen der {\em hyperbolische Tangens} und der {\em hyperbolische Kotangens}. \end{definition} +\begin{satz} +\label{buch:geometrie:hyperbolisch:Hparametrisierung} +Die orientierungserhaltenden $2\times 2$-Matrizen, die das +Minkowski-Skalarprodukt invariant lassen und die Zeitrichtung +erhalten, lassen sich mit den hyperbolischen Funktionen als +\[ +H_{\tau} += +\begin{pmatrix} +\cosh \tau & \sinh \tau \\ +\sinh \tau & \cosh \tau +\end{pmatrix} +\] +parametrisieren. +\end{satz} + \subsubsection{Elementare Eigenschaften} Es ist nachzuprüfen, dass $\cosh^2 \tau-\sinh^2\tau=1$ ist. Das kann man ebenfalls direkt nachrechnen: |