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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index 2bbb1f4..d836277 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -825,4 +825,89 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ vorkommt, aber nicht in der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. +\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_2F_1$} +Das Integral +\[ +f(x) += +\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt +\] +kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden. +Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden +Faktor als +\[ +(1-xt)^{-a} += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k +\] +zu schreiben. +Setzt man dies ins Integral ein, erhält man +\[ +f(x) += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt. +\] +Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe +der Gamma-Funktion geschrieben werden. +Es gilt +\[ +B(k+b,c-b) += +\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}. +\] +Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man +\begin{align*} +\Gamma(u+k) +&= +\Gamma(u+k-1) (u+k-1) += +\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1) +\\ +&= +\ldots +\\ +&= +\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1) +\end{align*} +schreiben, womit das Integral zu +\begin{align*} +f(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)} += +\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k +\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k} +\\ +&= +\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)} +\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k += +\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x) +\end{align*} +vereinfacht werden kann. +Damit ist das Integral bestimmt. +Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man +die folgende Integraldarstellung. + +\begin{satz} +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die +Integraldarstellung +\[ +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x +\biggr) += +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt. +\] +\end{satz} + + |