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-rw-r--r-- | buch/chapters/040-rekursion/linear.tex | 38 |
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex index 33b8043..303e1a6 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex @@ -98,6 +98,24 @@ F_{jk}(z) = e^{2k\pi i z} e^{b_jz} sind Lösungen der Differenzengleichung. \subsection{Komplexe Fibonacci-Zahlen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.82\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf} +\caption{Komplexe Fibonacci-Zahlen-Funktion $F(z)$ von +\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} +dargestellt als Abbildung $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. +Die ganzzahligen $z$ werden auf die wohlbekannten Fibonacci-Zahlen +abgebildet. +Zur besseren Lesbarkeit wird der Wertebereich dreimal dargestellt, +damit die Bilder der einzelnen reellen Teilintervalle in verschiedene +Wertebereich-Bilder verteilt werden können. +$x$-Werte zwischen $3k-\frac12$ und $3k+\frac12$ werden im obersten +Bildbereich dargestellt, solche zwischen $3k+\frac12$ und $3k+\frac32$ +im mittleren und schliesslich solche zwischen $3k+\frac32$ und $3k+\frac52$ +im untersten. +Die reelle Achse wird auf die grüne Kurve abgebildet. +\label{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph}} +\end{figure} Matt Parker vom Youtube-Kanal Stand-up Maths hat in einem Video\footnote{\url{https://youtu.be/ghxQA3vvhsk}} die Lösungsfunktionen für die Differenzengleichung der Fibonacci-Zahlen für beliebige @@ -123,24 +141,6 @@ F(z) = \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^z - \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(-\varphi)^z} \label{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} \end{equation} Dies ist die Funktion, die Matt Parker in seinem Video visualisiert hat. -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=0.82\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf} -\caption{Komplexe Fibonacci-Zahlen-Funktion $F(z)$ von -\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} -dargestellt als Abbildung $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. -Die ganzzahligen $z$ werden auf die wohlbekannten Fibonacci-Zahlen -abgebildet. -Zur besseren Lesbarkeit wird der Wertebereich dreimal dargestellt, -damit die Bilder der einzelnen reellen Teilintervalle in verschiedene -Wertebereich-Bilder verteilt werden können. -$x$-Werte zwischen $3n-\frac12$ und $3n+\frac12$ werden im obersten -Bildbereich dargestellt, solche zwischen $3n+\frac12$ und $3n+\frac32$ -im mittleren und schliesslich solche zwischen $3n+\frac32$ und $3n+\frac52$ -im untersten. -Die reelle Achse wird auf die grüne Kurve abgebildet. -\label{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph}} -\end{figure} Abbildung~\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph} zeigt die Abbildung $z\mapsto F(z)$. Allerdings sind die Funktionen @@ -150,7 +150,7 @@ F_{kl}(z) \frac{1}{\sqrt{5}} \varphi^ze^{2k\pi iz} - -\frac{1}{\sqrt{5}(-\varphi)^z} e^{2l\pi z} +\frac{1}{\sqrt{5}(-\varphi)^z} e^{2l\pi iz} \] ebenfalls Lösungen der Differenzengleichung mit den gleichen Anfangswerten. |