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-rw-r--r-- | buch/chapters/040-rekursion/linear.tex | 36 |
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex index a3ff0c2..33b8043 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex @@ -110,25 +110,47 @@ Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \qquad \lambda_\pm = \begin{cases} \displaystyle -\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi +\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi \\[8pt] \displaystyle -\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1}{\varphi}, +\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\varphi}, \end{cases} \] dabei ist $\varphi$ das Verhältnis des goldenen Schnittes. Die Anfangsbedingungen $F(0)=0$ und $F(1)=1$ bedeutet, dass -\[ -F(z) = \varphi^z - \frac{1}{\varphi^z} -\] -Dies ist die Funktion, die Matt Parker visualisiert hat. +\begin{equation} +F(z) = \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^z - \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(-\varphi)^z} +\label{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} +\end{equation} +Dies ist die Funktion, die Matt Parker in seinem Video visualisiert hat. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=0.82\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/fibonacci.pdf} +\caption{Komplexe Fibonacci-Zahlen-Funktion $F(z)$ von +\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccifunktion} +dargestellt als Abbildung $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. +Die ganzzahligen $z$ werden auf die wohlbekannten Fibonacci-Zahlen +abgebildet. +Zur besseren Lesbarkeit wird der Wertebereich dreimal dargestellt, +damit die Bilder der einzelnen reellen Teilintervalle in verschiedene +Wertebereich-Bilder verteilt werden können. +$x$-Werte zwischen $3n-\frac12$ und $3n+\frac12$ werden im obersten +Bildbereich dargestellt, solche zwischen $3n+\frac12$ und $3n+\frac32$ +im mittleren und schliesslich solche zwischen $3n+\frac32$ und $3n+\frac52$ +im untersten. +Die reelle Achse wird auf die grüne Kurve abgebildet. +\label{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph}} +\end{figure} +Abbildung~\eqref{buch:rekursion:linear:fibonaccigraph} zeigt die Abbildung +$z\mapsto F(z)$. Allerdings sind die Funktionen \[ F_{kl}(z) = +\frac{1}{\sqrt{5}} \varphi^ze^{2k\pi iz} - -\frac{1}{\varphi^z} e^{2l\pi z} +\frac{1}{\sqrt{5}(-\varphi)^z} e^{2l\pi z} \] ebenfalls Lösungen der Differenzengleichung mit den gleichen Anfangswerten. |