aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/040-rekursion
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc5
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/beta.tex121
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex487
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex213
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex19
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex231
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile11
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp26
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m19
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex425
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp94
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdfbin0 -> 49497 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex86
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile30
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdfbin0 -> 109772 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex236
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m58
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m43
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdfbin0 -> 30943 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex89
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/order.m119
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdfbin0 -> 32688 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex125
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/integral.tex103
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex2
25 files changed, 2372 insertions, 170 deletions
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index c5887f7..cd54c80 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -4,9 +4,12 @@
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \
+CHAPTERFILES += \
chapters/040-rekursion/gamma.tex \
+ chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex \
+ chapters/040-rekursion/integral.tex \
chapters/040-rekursion/beta.tex \
+ chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex \
chapters/040-rekursion/linear.tex \
chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex \
chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex \
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index ea847bc..20e3f0e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -3,11 +3,19 @@
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
-\subsection{Die Beta-Funktion
-\label{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}}
+\section{Die Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:gamma:section:beta}}
Die Eulersche Integralformel für die Gamma-Funktion in
-Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde bisher nicht
-gerechtfertigt.
+Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} wurde in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:integral-eindeutig}
+mit dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup}
+von Bohr-Mollerup gerechtfertigt.
+Man kann Sie aber auch als Grenzfall der Beta-Funktion verstehen,
+die in diesem Abschnitt dargestellt wird.
+
+
+\subsection{Beta-Integral
+\label{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}}
In diesem Abschnitt wird das Beta-Integral eingeführt, eine Funktion
von zwei Variablen, welches eine Integral-Definition mit einer
reichaltigen Menge von Rekursionsbeziehungen hat, die sich direkt auf
@@ -24,6 +32,7 @@ B(x,y)
\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt
\]
für $\operatorname{Re}x>0$, $\operatorname{Re}y>0$.
+\index{Beta-Integral}%
\end{definition}
Aus der Definition kann man sofort ablesen, dass $B(x,y)=B(y,x)$.
@@ -225,6 +234,7 @@ Durch Einsetzen der Integralformel im Ausdruck
Satz.
\begin{satz}
+\index{Satz!Beta-Funktion und Gamma-Funktion}%
Die Beta-Funktion kann aus der Gamma-Funktion nach
\begin{equation}
B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
@@ -233,6 +243,16 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
berechnet werden.
\end{satz}
+%
+% Info über die Beta-Verteilung
+%
+\input{chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex}
+
+\subsection{Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion}
+Die nahe Verwandtschaft der Gamma- mit der Beta-Funktion ermöglicht
+nun, weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion mit Hilfe der Beta-Funktion
+herzuleiten.
+
\subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?}
Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in
\eqref{buch:rekursion:gamma:wert12}
@@ -304,6 +324,9 @@ $(-\frac12)!$ als Wert
\]
der Gamma-Funktion interpretiert.
+%
+% Alternative Parametrisierung
+%
\subsubsection{Alternative Parametrisierungen}
Die Substitution $t=\sin^2 s$ hat im vorangegangenen Abschnitt
ermöglicht, $\Gamma(\frac12)$ zu ermitteln.
@@ -366,8 +389,10 @@ wobei wir
\]
verwendet haben.
Diese Darstellung des Beta-Integrals wird später
-% XXX Ort ergänzen
+in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:spiegelungsformel}
dazu verwendet, die Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion
+\index{Gamma-Funktion!Spiegelungsformel}%
+\index{Spiegelungsformel der Gamma-Funktion}%
herzuleiten.
Eine weitere mögliche Parametrisierung verwendet $t = (1+s)/2$
@@ -391,17 +416,23 @@ B(x,y)
\label{buch:rekursion:gamma:beta:symm}
\end{equation}
+%
+%
+%
\subsubsection{Die Verdoppelungsformel von Legendre}
Die trigonometrische Substitution kann dazu verwendet werden, die
Legendresche Verdoppelungsformel für die Gamma-Funktion herzuleiten.
\begin{satz}[Legendre]
+\index{Satz!Verdoppelungsformel@Verdoppelungsformel für $\Gamma(x)$}%
\[
\Gamma(x)\Gamma(x+{\textstyle\frac12})
=
2^{1-2x}\sqrt{\pi}
\Gamma(2x)
\]
+\index{Verdoppelungsformel}%
+\index{Gamma-Funktion!Verdoppelungsformel von Legendre}%
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
@@ -484,83 +515,3 @@ Setzt man $x=\frac12$ in die Verdoppelungsformel ein, erhält man
in Übereinstimmung mit dem aus \eqref{buch:rekursion:gamma:gamma12}
bereits bekannten Wert.
-\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
-Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
-\begin{align*}
-\binom{n}{k}
-&=
-\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
-\intertext{geschrieben werden.
-Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}.
-\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus
-wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}.
-\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt,
-den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass
-der Binomialkoeffizient schliesslich}
-&=
-\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)}
-=
-\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)}
-\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
-\end{align*}
-geschrieben werden kann.
-Die Rekursionsbeziehung
-\[
-\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
-\]
-der Binomialkoeffizienten erzeugt das vertraute Pascal-Dreieck,
-die Formel \eqref{buch:rekursion:gamma:binombeta} für die
-Binomialkoeffizienten macht daraus
-\[
-\frac{n-1}{B(n-k,k-1)}
-=
-\frac{n-2}{B(n-k,k-2)}
-+
-\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)},
-\]
-die für ganzzahlige Argumente gilt.
-Wir wollen nachrechnen, dass dies für beliebige Argumente gilt.
-\begin{align*}
-\frac{(n-1)\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\\
-\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k)\Gamma(k-2)}
-+
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-\intertext{Durch Zusammenfassen der Faktoren im Zähler mit Hilfe
-der Rekursionsformel für die Gamma-Funktion und Multiplizieren
-mit dem gemeinsamen Nenner
-$\Gamma(n-k)\Gamma(k-1)=(n-k-1)\Gamma(n-k-1)(k-2)\Gamma(k-2)$ wird daraus}
-\Gamma(n)
-&=
-(k-2)
-\Gamma(n-1)
-+
-(n-k-1)
-\Gamma(n-1)
-\intertext{Indem wir die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion auf
-die rechte Seite anwenden können wir erreichen, dass in allen Termen
-ein Faktor
-$\Gamma(n-1)$ auftritt:}
-(n-1)\Gamma(n-1)
-&=
-(k-2)\Gamma(n-1)
-+
-(n+k-1)\Gamma(n-1)
-\\
-n-1
-&=
-k-2
-+
-n-k-1
-\end{align*}
-
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex
new file mode 100644
index 0000000..77715ca
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/betaverteilung.tex
@@ -0,0 +1,487 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\subsection{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
+\label{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}}
+\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
+In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
+$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
+Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
+Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
+des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
+zu finden.
+Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
+Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
+
+\subsubsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+\label{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax}}
+Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
+den Wert
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X\le x)^n
+=
+F_X(x)^n.
+\end{align*}
+Für die Gleichverteilung ist
+\[
+F_{\text{equi}}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x< 0
+\\
+x&\qquad 0\le x\le 1
+\\
+1&\qquad 1<x.
+\end{cases}
+\]
+In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
+\[
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x<0\\
+x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1&\qquad 1 < x.
+\end{cases}
+\]
+Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0 &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+kann man zum Beispiel den Erwartungswert
+\[
+E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
+=
+\int_{-\infty}^\infty
+x
+\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
+\,dx
+=
+\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
+=
+\biggl[
+\frac{n}{n+1}x^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{n}{n+1}
+\]
+berechnen.
+
+Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
+Sie ist
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
+\\
+&=
+1-
+P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
+\\
+&=
+1-
+(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
+\\
+&=
+1-(1-F_X(x))^n,
+\end{align*}
+Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
+Verteilungsfunktion des Minimums
+\[
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0 &\qquad x<0 \\
+1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1 &\qquad 1 < x
+\end{cases}
+\]
+mit Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\begin{cases}
+n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0 &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+und Erwartungswert
+\begin{align*}
+E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
+&=
+\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
+=
+\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
+\\
+&=
+\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
+=
+\biggl[
+-
+\frac{1}{n+1}
+(1-x)^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{1}{n+1}.
+\end{align*}
+Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
+der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
+Werten $X_i$.
+
+\subsubsection{Der $k$-t-grösste Wert}
+Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
+Zufallsvariablen.
+Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
+mit
+\[
+X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
+\]
+bezeichnet.
+Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
+Ordnungsstatistiken.
+Die in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+und
+$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
+sind die Fälle
+\begin{align*}
+X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
+X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
+\end{align*}
+
+Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir
+die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
+übersteigen.
+Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
+mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
+\[
+P(X_{k:n} \le x)
+=
+P\left(
+|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
+\right).
+\]
+
+Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
+Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
+Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
+Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
+Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
+\begin{equation}
+F_{X_{k:n}}(x)
+=
+P(X_{k:n}\le x)
+=
+\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
+\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn}
+\end{equation}
+mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
+
+\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
+von \eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\frac{d}{dx}
+F_{X_{k:n}}(x)
+\\
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\bigl(
+iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
+-
+F_X(x)^k
+(n-i)
+(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\varphi_X(x)
+\bigr)
+\\
+&=
+\sum_{i=k}^n
+\binom{n}{i}
+\varphi_X(x)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
+\bigl(
+iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
+\bigr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
+\biggr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+-
+\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\\
+&=
+\varphi_X(x)
+\biggl(
+k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
++
+\sum_{i=k+1}^{n+1}
+\left(
+i\binom{n}{i}
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+\right)
+F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
+\biggr)
+\end{align*}
+Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
+\begin{align*}
+i\binom{n}{i}
+-
+(n-i+1)\binom{n}{i-1}
+&=
+n\binom{n-1}{i-1}
+-
+n
+\binom{n-1}{i-1}
+=
+0
+\end{align*}
+folgt jetzt
+\begin{align*}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}.
+\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
+}
+\varphi_{X_{k:n}}(x)
+&=
+k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\end{align*}
+Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
+\[
+\beta(k,n-k+1)(x)
+=
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
+\]
+Tatsächlich ist die Normierungskonstante
+\begin{align}
+\frac{1}{B(k,n-k+1)}
+&=
+\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
+\label{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}
+\end{align}
+Andererseits ist
+\[
+k\binom{n}{k}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+=
+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
+\]
+in Übereinstimmung mit~\eqref{buch:rekursion:ordnung:betaverteilung:normierung1}.
+Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} dargestellt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/order.pdf}
+\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
+Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
+mit $n=10$.
+\label{buch:rekursion:ordnung:fig:order}}
+\end{figure}
+
+%
+% Die Beta-Funktion
+%
+\subsection{Die Beta-Verteilung
+\label{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung}}
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die im
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:ordnung:section:ordnungsstatistik}
+gefunden worden ist, ist nicht nur für ganzzahlige Exponenten
+definiert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=0.92\textwidth]{chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}
+\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
+$\beta(a,b,x)$
+für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
+Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
+sind im kleinen Quadrat rechts im Graphen
+als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
+\label{buch:rekursion:ordnung:fig:betaverteilungn}}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}
+Die Beta-Verteilung ist die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\beta_{a,b}(x)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{1}{B(a,b)}
+x^{a-1}(1-x)^{b-1}&\qquad 0\le x \le 1\\
+0&\qquad\text{sonst.}
+\end{cases}
+\]
+\end{definition}
+
+Die Beta-Funktion ist also die Normierungskonstante der Beta-Verteilung.
+Die wichtigsten Kennzahlen der Beta-Verteilung wie Erwartungswert und
+Varianz lassen sich alle ebenfalls als Werte der Beta-Funktion ausdrücken.
+
+\subsubsection{Erwartungswert}
+Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
+der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
+Die Rechnung ergibt:
+\begin{align*}
+E(X_{k:n})
+&=
+\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+1,n-k+1)
+\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
+&=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
+=
+\frac{k}{n+1}
+\end{align*}
+ausdrücken kann.
+Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
+
+Für die Beta-Verteilung lässt sich die Rechnung noch allgemeiner
+durchführen.
+Der Erwartungswert einer $\beta_{a,b}$-verteilten Zufallsvariablen $X$
+ist
+\begin{align*}
+E(X)
+&=
+\int_0^1 x \beta_{a,b}(x)\,dx
+=
+\frac{1}{B(a,b)}
+\int_0^1 x\cdot x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx
+=
+\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}
+=
+\frac{a}{a+b}.
+\end{align*}
+Durch Einsetzen von $a=k+1$ und $b=n-k+1$ lassen sich die für die
+Ordnungsstatistik berechneten Werte wiederfinden.
+
+\subsubsection{Varianz}
+Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
+der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
+Er ist
+\begin{align*}
+E(X_{k:n}^2)
+&=
+\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
+=
+k
+\binom{n}{k}
+\int_0^1
+x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
+\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
+&=
+k\binom{n}{k}
+B(k+2,n-k+1)
+=
+k\frac{n!}{k!(n-k)!}
+\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
+\end{align*}
+Die Varianz wird damit
+\begin{align}
+\operatorname{var}(X_{k:n})
+&=
+E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
+\notag
+\\
+&
+=
+\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
+=
+\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
+=
+\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
+\label{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+\end{align}
+In Abbildung~\ref{buch:rekursion:ordnung:fig:order} ist die Varianz der
+Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
+Rechteck dargestellt.
+
+Auch die Varianz kann ganz allgemein für die Beta-Verteilung
+bestimmt werden.
+Dazu berechnen wir zunächst
+\begin{align*}
+E(X^2)
+&=
+\frac{1}{B(a,b)}
+\int_0^1
+x^2\cdot x^{a-1}(1-y)^{b-1}\,dx
+=
+\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}.
+\end{align*}
+Daraus folgt dann
+\[
+\operatorname{var}(X)
+=
+E(X^2)-E(X)^2
+=
+\frac{B(a+2,b)B(a,b)-B(a+1,b)^2}{B(a,b)^2}.
+\]
+
+Die Formel~\eqref{buch:rekursion:ordnung:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
+besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
+Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
+also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
+extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
new file mode 100644
index 0000000..57e503a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex
@@ -0,0 +1,213 @@
+%
+% bohrmollerup.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Der Satz von Bohr-Mollerup
+\label{buch:rekursion:subsection:bohr-mollerup}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf}
+\caption{Der Graph der Funktion $\log|\Gamma(x)|$ ist für $x>0$ konvex.
+Die blau hinterlegten Bereiche zeigen an, wo die Gamma-Funktion
+negative Werte annimmt.
+\label{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}}
+\end{figure}
+Die Integralformel und die Grenzwertdefinition für die Gamma-Funktion
+zeigen beide, dass das Problem der Ausdehnung der Fakultät zu einer
+Funktion $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ eine Lösung hat, aber es ist noch
+nicht klar, in welchem Sinn dies die einzig mögliche Lösung ist.
+Der Satz von Bohr-Mollerup gibt darauf eine Antwort.
+
+Der Graph
+in Abbildung~\ref{buch:rekursion:gamma:loggammaplot}
+zeigt, dass die Werte der Gamma-Funktion für $x>0$ so schnell
+anwachsen, dass sogar die Funktion $\log|\Gamma(x)|$ konvex ist.
+Der Satz von Bohr-Mollerup besagt, dass diese Eigenschaft zur
+Charakterisierung der Gamma-Funktion verwendet werden kann.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:satz:bohr-mollerup}
+Eine Funktion $f\colon \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ mit den Eigenschaften
+\begin{enumerate}[i)]
+\item $f(1)=1$,
+\item $f(x+1)=xf(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}^+$ und
+\item die Funktion $\log f(t)$ ist konvex
+\end{enumerate}
+ist die Gamma-Funktion: $f(t)=\Gamma(t)$.
+\index{Satz!von Bohr-Mollerup}%
+\index{Bohr-Mollerup, Satz von}%
+\end{satz}
+
+Für den Beweis verwenden wir die folgende Eigenschaft einer konvexen
+Funktion $g(x)$.
+Sei
+\begin{equation}
+S(y,x) = \frac{g(y)-g(x)}{y-x}
+\qquad\text{für $y-x$}
+\end{equation}
+die Steigung der Sekante zwischen den Punkten $(x,g(x))$ und $(y,g(y))$
+des Graphen von $g$.
+Da $g$ konvex ist, ist $S(y,x)$ eine monoton wachsende Funktion
+der beiden Variablen $x$ und $y$, solange $y>x$.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir halten zunächst fest, dass die Bedingungen i) und ii) zur Folge haben,
+dass $f(n+1)=n!$ ist für alle positiven natürlichen Zahlen.
+Für die Steigung einer Sekante der Funktion $g(x)=\log f(x)$ kann damit
+für natürliche Argumente bereits berechnet werden, es ist
+\[
+S(n,n+1)
+=
+\frac{\log n! - \log (n-1)!}{n+1-n}
+=
+\frac{\log n + \log (n-1)! - \log(n-1)!}{1}
+=
+\log n
+\]
+und entsprechend auch $S(n-1,n) = \log(n-1)$.
+
+\begin{figure}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\draw (-6,0) -- (6,0);
+
+\node at (-5,0) [above] {$n-1\mathstrut$};
+\node at (0,0) [above] {$n\mathstrut$};
+\node at (3,0) [above] {$n+x\mathstrut$};
+\node at (5,0) [above] {$n+1\mathstrut$};
+
+\node[color=blue] at (-5,-2.3) {$S(n-1,n)\mathstrut$};
+\node[color=red] at (-1.666,-2.3) {$S(n-1,n+x)\mathstrut$};
+\node[color=darkgreen] at (1.666,-2.3) {$S(n,n+x)\mathstrut$};
+\node[color=orange] at (5,-2.3) {$S(n,n+1)\mathstrut$};
+
+\node at (-3.333,-2.3) {$<\mathstrut$};
+\node at (0,-2.3) {$<\mathstrut$};
+\node at (3.333,-2.3) {$<\mathstrut$};
+
+\draw[color=blue] (-5,0) -- (-5,-2) -- (0,0);
+\draw[color=red] (-5,0) -- (-1.666,-2) -- (3,0);
+\draw[color=darkgreen] (0,0) -- (1.666,-2) -- (3,0);
+\draw[color=orange] (0,0) -- (5,-2) -- (5,0);
+
+\fill (-5,0) circle[radius=0.08];
+\fill (0,0) circle[radius=0.08];
+\fill (3,0) circle[radius=0.08];
+\fill (5,0) circle[radius=0.08];
+
+\draw[double,color=blue] (-5,-2.5) -- (-5,-3.0);
+\draw[double,color=orange] (5,-2.5) -- (5,-3.0);
+
+\node[color=blue] at (-5,-3.3) {$\log (n-1)\mathstrut$};
+\node[color=orange] at (5,-3.3) {$\log (n)\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\caption{Für den Beweis des Satzes von Bohr-Mollerup wird die
+Sekantensteigung $S(x,y)$ für die Argumente $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$
+verwendet.
+\label{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}}
+\end{figure}
+Wir wenden jetzt die eben erwähnte Tatsache, dass $S(x,y)$ monoton
+wachsend ist, auf die Punkte $n-1$, $n$, $n+x$ und $n+1$ wie
+in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup} an, wobei
+$0<x<1$ ist.
+
+Die linke Ungleichung in Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}
+ist
+\begin{align}
+\log(n-1)
+&<
+S(n-1,n+x)
+=
+\frac{\log f(n+x) -\log(n-2)!}{n+x-n+1}
+\notag
+\\
+(x+1)\log(n-1) + \log(n-2)!
+&< \log f(n+x),
+\notag
+\\
+x\log(n-1) + \log(n-1)!
+&< \log f(n+x)
+\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:eqn1}
+\intertext{sie schätzt $\log f(n+x)$ nach unten ab.
+Die Exponentialfunktion ist monoton wachsen, wendet man sie auf
+\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:eqn1} an, erhält man}
+(n-1)^x (n-1)!
+&<
+f(n+x).
+\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:ungllinks}
+\end{align}
+Ganz ähnlich folgt aus der Ungleichung rechts in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:bohr-mollerup}
+\begin{align}
+\frac{\log f(n+x)-\log (n-1)!}{n+x-n}
+&< \log n
+\notag
+\\
+\log f(n+x) - \log(n-1)!
+&<
+x \log n
+\notag
+\\
+\log f(n+x)
+&<
+x\log n + \log(n-1)!
+\notag
+\intertext{und nach Anwendung der Exponentialfunktion}
+f(n+x)
+&<
+n^x (n-1)!
+\label{buch:rekursion:bohr-mollerup:unglrechts}
+\end{align}
+Die Funktion $f(n+x)$ können wir jetzt mit der Funktionalgleichung ii)
+durch $f(x)$ ausdrücken:
+\begin{align*}
+f(n+x)
+&=
+(x+n-1)f(n+x-1)
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)f(n+x-2)
+\\
+&\vdots
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)\dots x\,f(x)
+=
+(x)_n f(x).
+\end{align*}
+Zusammen mit den Ungleichungen
+\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:ungllinks}
+und
+\eqref{buch:rekursion:bohr-mollerup:unglrechts}
+erhalten wir
+\begin{align*}
+(n-1)^x (n-1)!
+&<
+(x)_n f(x)
+<
+n^x (n-1)!
+\intertext{oder nach Division durch $(x)_n$}
+%\underbrace{
+\frac{(n-1)^x (n-1)!}{(x)_n}
+%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)}
+&< f(x)
+<
+\frac{n^x (n-1)!}{(x)_n}
+=
+%\underbrace{
+\frac{n^x n!}{(x)_{n+1}}
+%}_{\displaystyle\to \Gamma(x)}
+\cdot
+%\underbrace{
+\frac{x+n}{n}
+%}_{\displaystyle\to 1}
+.
+\end{align*}
+Der Ausdruck ganz links und der erste Bruch rechts konvergieren
+für $n\to\infty$ beide gegen $\Gamma(x)$ und der Bruch ganz rechts
+konvergiert gegen $1$.
+Daher muss auch $f(x)=\Gamma(x)$ sein.
+\end{proof}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
index 165c48e..1771200 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
@@ -8,6 +8,25 @@
\label{buch:chapter:rekursion}}
\lhead{Spezielle Funktionen und Rekursion}
\rhead{}
+Die Fakultät $n!=1\cdot 2\cdots n$ ist eine ersten Funktionen, für die
+man normalerweise auch eine rekursive Definition kennenlernt.
+Rekursion ist eine besonders gut der numerischen Berechnung zugängliche
+Art, spezielle Funktionen zu definieren.
+In diesem Kapitel sollen daher in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma}
+zunächst die Gamma-Funktion als Verallgemeinerung konstruiert
+und charakterisiert werden.
+Die Beta-Funktion in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:section:beta}
+verallgemeinert diese Rekursionsbeziehungen.
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:linear}
+erinnert an die Methoden, mit denen lineare Rekursionsgleichungen
+gelöst werden können.
+Erfüllten die Koeffizienten einer Potenzreihe eine spezielle
+Rekursionsbeziehung, entsteht die besonders vielfältige Familie
+der hypergeometrischen Funktionen, die in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
+eingeführt werden.
\input{chapters/040-rekursion/gamma.tex}
\input{chapters/040-rekursion/beta.tex}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 737cf7f..7f19637 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -20,6 +20,8 @@ für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
\end{equation}
Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
+\index{Gamma-Funktion!Funktionalgleichung}%
+\index{Funktionalgleichung der Gamma-Funktion}%
erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
\subsection{Definition als Grenzwert}
@@ -71,6 +73,9 @@ gilt.
Der Plan ist, dies so umzuformen, dass man für $x$ eine beliebige
komplexe Zahl einsetzen kann.
+%
+% Pochhammer-Symbol
+%
\subsubsection{Pochhammer-Symbol}
Die spezielle Form des Nenners und des zweiten Faktors im Zähler
von \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:fakultaet}
@@ -113,6 +118,9 @@ x!
Der erste Faktor in diesem Ausdruck enthält jetzt nur noch Dinge,
die für beliebige $x\in\mathbb{C}$ definiert sind.
+%
+% Grenwertdefinition
+%
\subsubsection{Grenzwertdefinition}
Der zweite Bruch in \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3}
besteht aus Termen, die zwar nur für natürliches $x$ definiert sind,
@@ -141,8 +149,13 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
\[
\Gamma(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\,n^{x-1}}{(x)_n}.
\]
+\index{Grenzwertdefinition der Gamma-Funktion}%
+\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}%
\end{definition}
+%
+% Rekursionsgleichung für Gamma(x)
+%
\subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$}
Es ist aus der Herleitung klar, dass $\Gamma(n)=(n-1)!$ sein muss.
Wir sollten dies aber auch direkt aus der
@@ -195,15 +208,85 @@ x\lim_{n\to\infty}
\frac{n^{x-1}}{(n+1)^{x-1}}
\\
&=
+x
\Gamma(x)
\lim_{n\to\infty} \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{x-1}
=
-\Gamma(x),
+x\Gamma(x),
\end{align*}
Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
+%
+% Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol
+%
+\subsubsection{Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol}
+Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt
+\begin{align*}
+\Gamma(x+n)
+&=
+(x+n-1) \Gamma(x+n-1)
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)\Gamma(x+n-2)
+\\
+&=
+\underbrace{
+(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x-1)(x)
+}_{\text{$n$ Faktoren}} \Gamma(x)
+\\
+&=(x)_n \Gamma(x).
+\end{align*}
+Damit folgt
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Pochhammer-Symbol@Pochhammer-Symbol und $\Gamma(x)$}%
+\label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer}
+Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
+\[
+\Gamma(x+n) = (x)_n \Gamma(x).
+\]
+Das Pochhammer-Symbol $(x)_n$ ist für alle natürlichen $n$ gegeben durch
+\[
+(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.
+\]
+\end{satz}
+
+%
+% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition
+%
\subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition}
+\begin{table}
+\centering
+%\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|}
+\hline
+\log_{10} n& n&n!n^{x-1}/(x)_n\mathstrut & \text{Fehler%
+\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+ 1& 10&1.\underline{7}947392559855804&0.0222854050800643\\
+ 2& 100&1.\underline{77}46707942830697&0.0022169433775536\\
+ 3& 1000&1.\underline{772}6754214755178&0.0002215705700017\\
+ 4& 10000&1.\underline{7724}760067171375&0.0000221558116213\\
+ 5& 100000&1.\underline{77245}60664742375&0.0000022155687214\\
+ 6& 1000000&1.\underline{77245}40724623101&0.0000002215567940\\
+ 7& 10000000&1.\underline{7724538}730613721&0.0000000221558560\\
+ 8& 100000000&1.\underline{77245385}31233258&0.0000000022178097\\
+ 9& 1000000000&1.\underline{77245385}11320680&0.0000000002265519\\
+ 10& 10000000000&1.\underline{772453850}9261316&0.0000000000206155\\
+ 11&100000000000&1.\underline{77245385}14549788&0.0000000005494627\\
+ & \infty&1.\underline{7724538509055161}&
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Numerische Berechnung mit der Grenzwertdefinition
+und rekursiver Berechnung von $n!/(x)_n$ mit Hilfe der Folge
+\eqref{buch:rekursion:gamma:pnfolge}.
+Die Konvergenz ist sehr langsam, die Anzahl korrekter Stellen
+wächst logarithmisch mit $n$.
+\label{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}}
+\end{table}
Die Grenzwertdefinition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition}
ist zwar zweifellos richtig, kann aber nicht für die numerische
Berechnung der Gamma-Funktion verwendet werden.
@@ -237,6 +320,24 @@ ist.
Die Approximation mit Hilfe der Grenzwertdefinition kann also
grundsätzlich nicht mehr als zwei korrekte Nachkommastellen liefern.
+Den Quotienten $n!/(x)_n$ kann man mit Hilfe der Rekursionsformel
+\begin{equation}
+p_n = p_{n-1}\cdot \frac{n}{x+n-1},\qquad
+p_0 = 0
+\label{buch:rekursion:gamma:pnfolge}
+\end{equation}
+etwas effizienter berechnen.
+Insbesondere umgeht man damit das Problem, dass $n!$ den Wertebereich
+des \texttt{double} Datentyps sprengt.
+Der Wert der Gamma-Funktion kann dann durch $p_nn^{x-1}$ approximiert
+werden.
+Die Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung} fasst die
+Resultate zusammen und zeigt, dass die Konvergenz logarithmisch ist:
+die Anzahl korrekter Nachkommastellen ist $\log_{10}n$.
+
+%
+% Produktformel
+%
\subsection{Produktformel}
Ein möglicher Ausweg aus den numerischen Schwierigkeiten mit der
Grenzwertdefinition ist, den schnell wachsenden Faktor $n!$
@@ -244,6 +345,7 @@ in den Zähler zu bringen, so dass er der Konvergenz etwas nachhilft.
Wir berechnen daher den Kehrwert $1/\Gamma(x)$.
\begin{satz}
+\index{Satz!Produktformel@Produktformel für $\Gamma(x)$}%
\label{buch:rekursion:gamma:satz:produktformel}
Der Kehrwert der Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
\begin{equation}
@@ -253,8 +355,10 @@ xe^{\gamma x}
\prod_{k=1}^\infty
\biggl(1+\frac{x}k\biggr)\,e^{-\frac{x}{k}},
\label{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel}
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
\end{equation}
wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
+\index{Euler-Mascheronische Konstante}%
\[
\gamma
=
@@ -262,6 +366,8 @@ wobei $\gamma$ die Euler-Mascheronische Konstante
\biggl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\biggr)
\]
ist.
+\index{Gamma-Funktion!Produktformel}%
+\index{Produktformel für die Gamma-Funkion}%
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
@@ -368,16 +474,20 @@ vollständig bewiesen.
\begin{table}
\centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
-k & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n) \\
+k & n & \Gamma(\frac12,n) & \Gamma(\frac12) - \Gamma(\frac12,n)%
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
-1 & 1.\underline{7}518166478 & -0.0206372031 \\
-2 & 1.\underline{77}02543372 & -0.0021995137 \\
-3 & 1.\underline{772}2324556 & -0.0002213953 \\
-4 & 1.\underline{7724}316968 & -0.0000221541 \\
-5 & 1.\underline{77245}16354 & -0.0000022156 \\
-6 & 1.\underline{772453}6293 & -0.0000002216 \\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+ 1& 10& 1.\underline{7}518166478& -0.0206372031 \\
+ 2& 100& 1.\underline{77}02543372& -0.0021995137 \\
+ 3& 1000& 1.\underline{772}2324556& -0.0002213953 \\
+ 4& 10000& 1.\underline{7724}316968& -0.0000221541 \\
+ 5& 100000& 1.\underline{77245}16354& -0.0000022156 \\
+ 6&1000000& 1.\underline{772453}6293& -0.0000002216 \\
+\infty& & 1.\underline{7724538509}&
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Werte $\Gamma(\frac12,n)$ von $\Gamma(\frac12)$ berechnet mit
@@ -385,6 +495,9 @@ $n=10^k$ Faktoren der
Produktformel~\eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produktformel}
und der zugehörige Fehler.
Die korrekten Nachkommastellen sind unterstrichen.
+Die Konvergenz ist genau gleich langsam wie in der Berechnung mit
+Hilfe der Grenzwert-Definition in
+Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:produktberechnung}.
\label{buch:rekursion:gamma:gammatabelle}}
\end{table}
@@ -422,6 +535,8 @@ z
\mapsto
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt
\]
+\index{Gamma-Funktion!Integraldefinition}%
+\index{Integraldefinition der Gamma-Funktion}%
\end{definition}
Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
@@ -436,6 +551,9 @@ die richtigen Werte für natürliche Argumente hat, es wird aber auch
gezeigt, dass dies nicht ausreicht um zu schliessen, dass die
Integralformel mit der früher definierten Gamma-Funktion übereinstimmt.
+%
+% Funktionalgleichung für die Integraldefinition
+%
\subsubsection{Funktionalgleichung für die Integraldefinition}
Tatsächlich ist es einfach nachzuprüfen, dass die Funktionalgleichung
der Gamma-Funktion auch für die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma}
@@ -480,8 +598,8 @@ ganzzahlige Argumente übereinstimmen.
Der folgende Abschnitt macht deutlich, dass es sehr viele Funktionen gibt,
die ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllen.
Eine vollständige Rechtfertigung für diese Definition wird später
-in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:beta}
-\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:gamma:subsection:integralbeweis}
+in Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
auf Seite~\pageref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
gegeben.
@@ -494,9 +612,13 @@ die Werte der Fakultät annimmt.
\label{buch:rekursion:fig:gamma}}
\end{figure}
+%
+% Der Wert Gamma(1/2)
+%
\subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$}
Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$
zu berechnen.
+\index{Gamma-Funktion!WertGamma12@Wert von $\Gamma(\frac12)$}%
Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition
der Gamma-Funktion und berechnen
\begin{align}
@@ -511,12 +633,16 @@ der Gamma-Funktion und berechnen
\int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds
=
\sqrt{\pi}.
-\label{buch:rekursion:gamma:betagamma}
+\label{buch:rekursion:gamma:wert12}
\end{align}
Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist.
-\subsubsection{Alternative Lösungen}
+%
+% Alternative Lösungen
+%
+\subsubsection{Alternative Lösungen der
+Funktionalgleichung~\ref{buch:rekursion:eqn:gammadef}}
Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle
@@ -547,6 +673,8 @@ Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat,
welches hier nicht bewiesen wird.
\begin{satz}[Wielandt]
+\index{Satz!von Wielandt}%
+\index{Wielandt, Satz von}%
Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit
den folgenden drei Eigenschaften
\begin{enumerate}
@@ -560,11 +688,16 @@ Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $.
% XXX Gamma in the interval (1,2)
%Man beachte, dass
+%
+% Laplace-Transformierte der Potenzfunktion
+%
\subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}
Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die
Laplace-Transformation der Potenzfunktion zu berechnen.
+\index{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
\begin{satz}
+\index{Satz!Laplace-Transformierte der Potenzfunktion}%
Die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion $f(t)=t^\alpha$ ist
\[
(\mathscr{L}f)(s)
@@ -594,7 +727,11 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus
\]
\end{proof}
+%
+% Pol erster Ordnung bei z=0
+%
\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
+\index{Gamma-Funktion!Pol@Pol bei $z=0$}%
Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
Der Wert für $z=1$ ist
@@ -644,15 +781,23 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
\]
Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
+%
+% Ausdehnung auf Re(z) < 0
+%
\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
+\index{Gamma-Funktion!analytische Fortsetzung}%
+\index{analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion}%
Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
-für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
-In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
+für die $\Gamma(z)$ definiert ist, nicht nur für diejenigen $z$, für
+die das Integral konvergiert.
+Wir können Sie daher verwenden, um das Argument in den Bereich
+zu bringen, wo das Integral zur Berechnung verwendet werden kann.
+Dazu berechnen wir
\[
\Gamma(z)
=
@@ -665,29 +810,44 @@ In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
\dots
=
\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
+=
+\frac{\Gamma(z+n)}{(z)_n}.
\]
-Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
-Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
-Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
-Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
-nicht negativen ganzen Zahlen.
+Dies gilt für jedes natürlich $n$.
+Für $n$ gross genug, genauer für
+$n\ge |\operatorname{Re}z|$,
+ist $\operatorname{Re}(z+n)=\operatorname{Re}z + n>0$ und damit
+kann $\Gamma(z+n)$ mit der Integralformel berechnet werden.
+
+Die Gamma-Funktion hat keine Nullstellen, aber in der Nähe von $z=-n$
+hat der Nenner eine Nullstelle erster Ordnung.
+Somit hat $\Gamma(z)$ Pole erster Ordnung bei den negativen
+ganzen Zahlen und bei $0$, wie sie in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} gezeigt werden.
+%
+% Numerische Berechnung
+%
\subsubsection{Numerische Berechnung}
\begin{table}
\centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
-k & y(10^k) & y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2}) \\
+k & n=10^k & y(n) & y(n) - \Gamma(\frac{5}{3}) 
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
-1 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\
-2 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\
-3 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\
-4 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\
-5 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
-6 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+1 & 10 & 0.0000000000 & -0.9027452930 \\
+2 & 100 & 0.3319129461 & -0.5708323468 \\
+3 & 1000 & 0.\underline{902}5209490 & -0.0002243440 \\
+4 & 10000 & 0.\underline{902745}1207 & -0.0000001723 \\
+5 & 100000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+6 & 1000000 & 0.\underline{902745}0962 & -0.0000001968 \\
+ & \infty & 0.\underline{9027452929} &
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
\hline
\end{tabular}
-\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{2})$ mit Hilfe
+\caption{Resultate der Berechnung von $\Gamma(\frac{5}{3})$ mit Hilfe
der Differentialgleichung \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}.
Die korrekten Stellen sind unterstrichen.
Es sind immerhin sechs korrekte Stellen gefunden, wobei nur 337
@@ -697,21 +857,28 @@ Auswertungen des Integranden notwendig waren.
Im Prinzip könnte die Integraldefinition der numerischen Berechnung
entgegenkommen.
Um diese Hypothese zu prüfen, berechnen wir das Integral für
-$z=\frac52$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
+$z=\frac53$ mit Hilfe der äquivalenten Differentialgleichungen
\begin{equation}
\dot{y}(t) = t^{z-1}e^{-t}
-\qquad\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
+\qquad
+\text{mit Anfangsbedingung $y(0)=0$}.
\label{buch:rekursion:gamma:eqn:gammadgl}
\end{equation}
+\index{Gamma-Funktion!Loesung@Lösung mit Differentialgleichung}
Der gesuchte Wert ist der Grenzwert $\lim_{t\to\infty} y(t)$.
In der Tabelle~\ref{buch:rekursion:gamma:table:gammaintegral}
sind die Werte von $y(10^k)$ sowie die Differenzen
-$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{2})$ zusammengefasst.
+$y(10^k) - \Gamma(\frac{5}{3})$ zusammengefasst.
Die Genauigkeit erreicht sechs korrekte Nachkommastellen mit nur
337 Auswertungen des Integranden.
+Eine noch wesentlich effizientere Auswertung des $\Gamma$-Integrals
+mit Hilfe der Gauss-Laguerre-Quadratur wird in Kapitel~\ref{chapter:laguerre}
+von Patrick Müller dargestellt.
%
%
%
+\input{chapters/040-rekursion/bohrmollerup.tex}
+\input{chapters/040-rekursion/integral.tex}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..0804e74
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/Makefile
@@ -0,0 +1,11 @@
+#
+# Makefile -- build gamma limit test programm
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+l: l.cpp
+ g++ -O2 -g -Wall `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl` \
+ -o l l.cpp
+
+test: l
+ ./l
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp
new file mode 100644
index 0000000..7a86800
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.cpp
@@ -0,0 +1,26 @@
+/*
+ * l.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <cstdio>
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ double x = 0.5;
+ double g = tgamma(x);
+ printf("limit: %20.16f\n", g);
+ double p = 1;
+ long long N = 100000000000;
+ long long n = 10;
+ for (long long k = 1; k <= N; k++) {
+ p = p * k / (x + k - 1);
+ if (0 == k % n) {
+ double gval = p * pow(k, x-1);
+ printf("%12ld %20.16f %20.16f\n", k, gval, gval - g);
+ n = n * 10;
+ }
+ }
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m
new file mode 100644
index 0000000..32b6442
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gammalimit/l.m
@@ -0,0 +1,19 @@
+#
+# l.m -- Berechnung der Gamma-Funktion
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10000;
+
+function retval = gamma(x, n)
+ p = 1;
+ for k = (1:n)
+ p = p * k / (x + k - 1);
+ end
+ retval = p * n^(x-1);
+endfunction
+
+for n = (100:100:N)
+ printf("Gamma(%4d) = %10f\n", n, gamma(0.5, n));
+end
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index d92e594..13ba3b2 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -16,22 +16,38 @@ n^3S_{n}
mit Anfangswerten $S_0=1$ und $S_1=8$ angeben?
Dies scheint auf den ersten Blick unmöglich kompliziert, man kann aber
zeigen, dass
-\[
+\begin{equation}
S_n
=
\sum_{k=0}^n
\binom{2n-2k}{n-k}^2 \binom{2k}{k}^2
-\]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn}
+\end{equation}
gilt (\cite[p.~xi]{buch:ab}).
Die Lösung ist also eine Summe von Summanden, die sehr viel einfacher
aussehen und vor allem die besondere Eigenschaft haben, dass die
-Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von von $k$
+Quotienten aufeinanderfolgender Terme rationale Funktionen von $k$
sind.
-% XXX Quotient berechnen
-Eine besonders simple solche Funktion ist die geometrische Reihe, die
-im Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}
-in Erinnerung gerufen wird.
+\begin{definition}
+Ein Folge heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+\index{hypergeometrische Folge}%
+\index{Folge, hypergeometrisch}%
+Terme eine rationale Funktion des Folgenindex ist.
+\end{definition}
+
+Die Terme der Reihenentwicklungen aller bisher behandelten speziellen
+Funktionen waren hypergeometrisch.
+Im aktuellen Abschnitt soll daher die Klasse der sogenannten
+hypergeometrischen Funktionen untersucht werden, die durch diese
+Eigenschaft charakterisiert sind.
+
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten}
+wird klar, dass Folgen, deren Terme aus Fakultäten und Binomialkoeffizienten
+immer hypergeometrisch sind.
+Die Untersuchung der geometrischen Reihe in
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}
+motiviert die Namensgebung.
Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}
definiert den Begriff der hypergeometrischen Reihe und zeigt,
wie sie in eine Standardform gebracht werden können.
@@ -39,22 +55,101 @@ In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}
schliesslich wird an Hand von Beispielen gezeigt, wie bekannte
Funktionen als hypergeometrische Funktionen interpretiert werden können.
+%
+% Quotienten von Binomialkoeffizienten
+%
+\subsection{Quotienten von Binomialkoeffizienten
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:binomialkoeffizienten}}
+Aufeinanderfolgende Terme der Summe
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn}
+sollen als Quotienten eine rationale Funktion haben.
+Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Folgen, die durch Fakultäten
+oder Binomialkoeffizienten definiert sind, wie die beiden folgenden
+Sätze zeigen.
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Quotienten von Fakultäten}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo}
+Der Quotient aufeinanderfolgender Folgenglieder
+der Folge $c_k=(a+bk)!$ ist der ein Polynom vom Grad $b$.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis]
+\begin{align*}
+\frac{c_{k+1}}{c_k}
+&=
+\frac{(a+b(k+1))!}{(a+bk)!}
+=
+\frac{(a+bk+b)!}{(a+b)!}
+\\
+&=
+(a+bk+1)(a+bk+2)\cdots(a+bk+b)
+=
+(a+bk+1)_b
+\end{align*}
+Das Pochhammer-Symbol hat $b$ Faktoren, es ist ein Polynom vom Grad $b$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Quotienten von Binomialkoeffizienten}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo}
+Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte der Binomialkoeffizienten
+\[
+f_k
+=
+\binom{a+bk}{c+dk}
+\]
+ist eine rationale Funktion von $k$ mit Zähler- und Nennergrad $b$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Indem man die Binomialkoeffizienten mit Fakultäten als
+\[
+\binom{a+bk}{c+dk}
+=
+\frac{(a+bk)!}{(c+dk)!(a-c+(b-d)k)!}
+\]
+ausschreibt, findet man mit
+Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo}
+für die Quotienten
+\begin{align}
+\frac{f_{k+1}}{f_k}
+&=
+\frac{(a+bk+1)_b}{(c+dk+1)_d\cdot(a-c+(b-d)k+1)_{b-d}}
+\label{buch:rekursion:eqn:binomquotient}
+\end{align}
+Die Pochhammer-Symbole sind Polynome vom Grad $b$, $d$ bzw.~$b-d$.
+Insbesondere ist auch das Nenner-Polynom vom Grad $d+(b-d)=b$.
+\end{proof}
+
+Aus den Sätzen~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:fakquo}
+und
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:binomquo}
+folgt jetzt sofort, dass auch der Quotient aufeinanderfolgender
+Summanden der Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:Sn}
+eine rationale Funktion von $k$ ist.
+
+%
+% Die geometrische Reihe
+%
\subsection{Die geometrische Reihe
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:geometrisch}}
-Die besonders einfache Potenzreihe
+Die Reihe
\[
f(q)
=
\sum_{k=0}^\infty aq^k
\]
-heisst die {\em geometrische Reihe}.
+heisst die {\em geometrische Reihe} ist besonders einfache
+Reihe mit einer hypergeometrischen Folge von Termen.
+\index{geometrische Reihe}%
+\index{Reihe!geometrische}%
Die Partialsummen
\[
S_n
=
\sum_{k=0}^n aq^k
\]
-kann mit der Differenz
+können aus der Differenz
\begin{equation}
(1-q)S_n
=
@@ -75,8 +170,7 @@ a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:geomsumme}
\end{equation}
auflösen kann.
-
-Fü $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert
+Für $q<1$ geht $q^n\to 0$ und damit konvergiert
$S_n$ gegen
\[
\sum_{k=0}^\infty aq^k
@@ -97,6 +191,9 @@ Die Berechnung der Summe in
beruht darauf, dass die Multiplikation mit $q$ einen ``anderen''
Teil der Summe ergibt, der sich in der Differenze weghebt.
+%
+% Hypergeometrische Reihen
+%
\subsection{Hypergeometrische Reihen
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:reihen}}
Es ist plausibel, dass eine etwas lockerere Bedingung an die
@@ -105,11 +202,15 @@ ermöglichen wird, interessante Aussagen über die durch die
Reihe beschriebenen Funktionen zu machen.
\begin{definition}
-Eine Reihe
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
+Eine durch die Reihe
\[
f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
\]
-heisst {\em hypergeometrisch}, wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+definierte Funktion $f(x)$ heisst {\em hypergeometrisch},
+wenn der Quotient aufeinanderfolgender
+\index{hypergeometrisch}
+\index{Reihe!hypergeometrisch}
Koeffizienten eine rationale Funktion von $k$ ist,
wenn also
\[
@@ -120,9 +221,13 @@ wenn also
mit Polynomen $p(k)$ und $q(k)$ ist.
\end{definition}
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen}
Die geometrische Reihe ist natürlich eine hypergeometrische Reihe,
wobei $p(k)/q(k)=1$ ist.
-Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, durch die Taylor-Reihe
+Etwas interessanter ist die Exponentialfunktion, die durch die Taylor-Reihe
\[
e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
\]
@@ -165,7 +270,30 @@ eine rationale Funktion mit Zählergrad $0$ und Nennergrad $2$.
Es gibt also eine hypergeometrische Reihe $f(z)$ derart, dass
$\cos x = f(x^2)$ ist.
-Seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
+%
+% Die hypergeometrischen Funktione pFq
+%
+\subsubsection{Die hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_pF_q$}
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def:allg}
+einer hypergeometrischen Funktion wie auch die Verschiedenartigkeit
+der Beispiele kännen den Eindruck vermitteln, dass die diese Klasse
+von Funktionen unübersichtlich gross sein könnte.
+Dem ist jedoch nicht so.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass alle hypergeometrischen
+Funktionen durch die in
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} definierten
+Funktionen $\mathstrut_pF_q$ ausgedrückt werden.
+Die hypergeometrischen Funktionen können also vollständig parametrisiert
+werden.
+
+Zu diesem Zweick sie
+\[
+f(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kx^k
+\]
+eine hypergeometrische Funktion und
+seien $p(k)$ und $q(k)$ zwei Polynome derart, dass
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{p(k)}{q(k)}.
\]
@@ -201,12 +329,12 @@ Dazu nehmen wir an, dass $a_i$, $i=1,\dots,n$ die Nullstellen von $p(k)$ sind
und $b_j$, $j=1,\dots,m$ die Nullstellen von $q(k)$, dass man also
die Polynome als
\begin{align*}
-p(k) &= x(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
+p(k) &= s(k-a_1)(k-a_2)\cdots(k-a_n)
\\
q(k) &= (k-b_1)(k-b_2)\cdots(k-b_m)
\end{align*}
schreiben kann.
-Der Faktor $x$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
+Der Faktor $s$ ist nötig, weil die Polynome $p(k)$ und $q(k)$ nicht
notwendigerweise normiert sind.
Um das Produkt der Quotienten zu vereinfachen, nehmen wir für den Moment
@@ -216,14 +344,14 @@ Dann ist nach
\[
a_{k}
=
-x^{k}
+s^{k}
\frac{
(k-1-a_1) \cdots (2-a_1)(1-a_1)(0-a_1)
}{
(k-1-b_1) \cdots (2-b_1)(1-b_1)(0-b_1)
}
=
-\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} x^k.
+\frac{(-a_1)_k}{(-b_1)_k} s^k.
\]
Die Koeffizienten können daher als Quotienten von Pochhammer-Symbolen
geschrieben werden.
@@ -233,13 +361,16 @@ von der Form
a_k
=
\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
-x^ka_0.
+s^ka_0.
\]
-Jede hypergeometrische Reihe kann daher in der Form
+Jede hypergeometrische Funktion kann daher in der Form
\[
+f(x)
+=
a_0
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(-a_1)_k(-a_2)_k\cdots (-a_n)_k}{(-b_1)_k(-b_2)_k\cdots(-b_m)_k}
+s^k
x^k
\]
geschrieben werden.
@@ -273,9 +404,10 @@ zusätzlichen Faktor $(1)_k$ im Zähler des Bruchs von Pochhammer-Symbolen
kompensieren, wodurch sich der Grad $p$ des Zählers natürlich um $1$
erhöht.
-Die oben analysierte Summe $S$ kann mit der Definition als
+Die oben analysierte Summe für $f(x)$ kann mit der
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} als
\[
-S
+f(x)
=
a_0
\cdot
@@ -283,11 +415,75 @@ a_0
\begin{matrix}
-a_1,-a_2,\dots,-a_n,1\\
-b_1,-b_2,\dots,-a_m
-\end{matrix}; x
+\end{matrix}; sx
\biggr)
\]
beschrieben werden.
+%
+% Elementare Rechenregeln
+%
+\subsubsection{Elementare Rechenregeln}
+Die Funktionen $\mathstrut_pF_q$ sind nicht alle unabhängig.
+In Abschnitt~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}
+wird gezeigt werden, dass Ableitung und Stammfunktion einer hypergeometrischen
+Funktion durch Manipulation der Parameter $a_k$ und $b_k$ bestimmt werden
+können.
+Viel einfacher sind jedoch die folgenden, aus
+Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
+offensichtlichen Regeln:
+
+\begin{satz}[Permutationsregel]
+\index{Satz!Permutationsregel für hypergeometrische Funktionen}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel}
+Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine
+beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist
+\begin{equation}
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q
+\end{matrix}
+;x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}
+a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)}
+\end{matrix}
+;x
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Kürzungsformel]
+\index{Satz!Kürzungsformel für hypergeometrische Funktionen}%
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
+Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$
+überein, dann können sie weggelassen werden:
+\begin{equation}
+\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
+\begin{matrix}
+c,a_1,\dots,a_p\\
+c,b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr)
+=
+\mathstrut_{p}F_{q}\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix};
+x
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+%
+% Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
+%
\subsection{Beispiele von hypergeometrischen Funktionen
\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:beispiele}}
Viele der bekannten Reihenentwicklungen häufig verwendeter Funktionen
@@ -295,6 +491,9 @@ lassen sich durch die hypergeometrischen Funktionen von
Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def} ausdrücken.
In diesem Abschnitt werden einige Beispiel dazu gegeben.
+%
+% Die geometrische Reihe
+%
\subsubsection{Die geometrische Reihe}
In der geometrischen Reihe fehlt der Nenner $k!$, es braucht
daher einen Term $(1)_k$ im Zähler, um den Nenner zu kompensieren.
@@ -312,6 +511,9 @@ a\sum_{k=0}^\infty
a\cdot\mathstrut_1F_0(1,x).
\]
+%
+% Die Exponentialfunktion
+%
\subsubsection{Exponentialfunktion}
Die Exponentialfunktion ist die Reihe
\[
@@ -323,7 +525,10 @@ benötigt, es ist daher
e^x = \mathstrut_0F_0(x).
\]
-\subsubsection{Wurzelfunktion}
+%
+% Wurzelfunktionen
+%
+\subsubsection{Wurzelfunktionen}
Die Wurzelfunktion $x\mapsto \sqrt{x}$ hat keine Taylor-Entwicklung
in $x=0$, aber die Funktion $x\mapsto\sqrt{1+x}$ hat die Taylor-Reihe
\[
@@ -412,11 +617,33 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
\sqrt{1\pm x}
=
\sum_{k=0}^\infty
-\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(-x)^k}{k!}
+\biggl(-\frac12\biggr)_k \frac{(\pm x)^k}{k!}
=
\mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
\]
+Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}
+hergleitet wird,
+kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
+\begin{align*}
+(1+x)^\alpha
+&=
+1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots
+%\\
+%&
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k
+=
+\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr)
+\end{align*}
+durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken.
+Dieses Resultat ist der Inhalt von
+Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe}
+
+%
+% Logarithmusfunktion
+%
\subsubsection{Logarithmusfunktion}
Für $x\in (-1,1)$ konvergiert die Taylor-Reihe
\[
@@ -483,8 +710,11 @@ x\cdot
\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-x\biggr).
\]
-
+%
+% Trigonometrische Funktionen
+%
\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
+\index{trigonometrische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
Die Kosinus-Funktion wurde bereits als hypergeometrische Funktion erkannt,
im Folgenden soll dies auch noch für die Sinus-Funktion
durchgeführt werden.
@@ -509,7 +739,7 @@ x f(-x^2).
Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben
werden.
Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden:
-\[
+\begin{equation*}
f(z)
=
1
@@ -521,7 +751,7 @@ f(z)
\frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!}
+
\dots
-\]
+\end{equation*}
Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
@@ -561,15 +791,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren:
(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
\end{align*}
Setzt man dies in die Reihe ein, wird
-\[
+\begin{equation}
f(z)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k}
z^k
=
-\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr).
-\]
+\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr)
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+von
+Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
+angewendet.
Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
\begin{equation}
\sin x
@@ -585,28 +827,35 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\end{equation}
durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken.
+%
+% Hyperbolische Funktionen
+%
\subsubsection{Hyperbolische Funktionen}
+\index{hyperbolische Funktionen!als hypergeometrische Funktionen}%
Die für die Sinus-Funktion angewendete Methode lässt sich auch
auf die Funktion
\begin{align*}
\sinh x
&=
\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
-\\
-&=
+%\\
+%&
+=
x
\,
\biggl(
1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots
\biggr)
-\\
+\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion
+$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+schreiben als}
&=
-xf(-x^2)
-=
-x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
-\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
-;\frac{x^2}{4}
-\biggr)
+x\,f(-x^2)
+%=
+%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl(
+%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
+%;\frac{x^2}{4}
+%\biggr)
=
x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
@@ -618,18 +867,85 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$.
Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als
``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen.
+%
+% Tschebyscheff-Polynome
+%
\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
+\index{Tschebyscheff-Polynome}%
+Man kann zeigen, dass auch die Tschebyscheff-Polynome sich durch die
+hypergeometrischen Funktionen
+\begin{equation}
+T_n(x)
+=
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-n,n\\\frac12\end{matrix}
+;
+\frac12(1-x)
+\biggr)
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:tschebyscheff2f1}
+\end{equation}
+ausdrücken lassen.
+Beweisen kann man diese Beziehung zum Beispiel mit Hilfe der
+Differentialgleichungen, denen die Funktionen genügen.
+Diese Methode wird in
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch}
+von Kapitel~\ref{buch:chapter:differential} vorgestellt.
+
+Die Tschebyscheff-Polynome sind nicht die einzigen Familien von Polynomen,
+\index{Tschebyscheff-Polynome!als hypergeometrische Funktion}
+die sich durch $\mathstrut_pF_q$ ausdrücken lassen.
+Für die zahlreichen Familien von orthogonalen Polynomen, die in
+Kapitel~\ref{buch:chapter:orthogonalitaet} untersucht werden,
+trifft dies auch zu.
+Ein Funktion
+\[
+\mathstrut_pF_q
+\biggl(
+\begin{matrix}
+a_1,\dots,a_p\\
+b_1,\dots,b_q
+\end{matrix}
+;z
+\biggr)
+\]
+ist genau dann ein Polynom, wenn mindestens einer der Parameter
+$a_k$ eine negative ganze Zahl ist.
+Der Grad des Polynoms ist der kleinste Betrag der negativ ganzzahligen
+Werte unter den Parametern $a_k$.
+
+%
+% Die Funktionen 0F1
+%
+\subsubsection{Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf}
+\caption{Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1(;\alpha;x)$ für
+verschiedene Werte von $\alpha$.
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1}}
+\end{figure}
+Die Funktionen $\mathstrut_0F_1$ sind in den Beispielen mit der
+beschränkten trigonometrischen Funktion $\sin x$ und mit der
+exponentiell unbeschränkten Funktion $\sinh x$ mit dem gleichen
+Wert des Parameters und nur einem Wechsel des Vorzeichens des
+Arguments verbunden worden.
+Die Graphen der Funktionen $\mathstrut_0F_1$, die in
+Abbildung~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:0f1} dargestellt sind,
+machen dieses Verhalten plausibel.
+Es wird sich später zeigen, dass $\mathstrut_0F_1$ auch mit den Bessel-
+und den Airy-Funktionen verwandt sind.
-TODO
-\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials}
%
% Ableitung und Stammfunktion
%
-\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen}
+\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung}}
Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen
Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken.
-
+%
+% Ableitung
+%
\subsubsection{Ableitung}
Wir gehen aus von der Funktion
\begin{equation}
@@ -743,7 +1059,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als
\frac{1}{(\frac12)_k}
\frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k
=
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr)
\end{align*}
geschrieben werden kann.
@@ -752,16 +1068,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher
\frac{d}{dx} \cos x
&=
\frac{d}{dx}
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
=
\frac{1}{\frac12}
\,
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr)
=
-x
\cdot
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\intertext{Dies stimmt mit der in
\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen
@@ -771,6 +1093,9 @@ Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet}
\end{align*}
\end{beispiel}
+%
+% Stammfunktion
+%
\subsubsection{Stammfunktion}
Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie
die Ableitung finden.
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp
new file mode 100644
index 0000000..24ca3f1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.cpp
@@ -0,0 +1,94 @@
+/*
+ * 0f1.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstring>
+#include <cstdio>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <string>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+
+static int N = 100;
+static double xmin = -50;
+static double xmax = 30;
+static int points = 200;
+
+double f(double b, double x) {
+ double s = 1;
+ double p = 1;
+ for (int k = 1; k < N; k++) {
+ p = p * x / (k * (b + k - 1.));
+ s += p;
+ }
+ return s;
+}
+
+typedef std::pair<double, double> point_t;
+
+point_t F(double b, double x) {
+ return std::make_pair(x, f(b, x));
+}
+
+std::string ff(double f) {
+ if (f > 1000) { f = 1000; }
+ if (f < -1000) { f = -1000; }
+ char b[128];
+ snprintf(b, sizeof(b), "%.4f", f);
+ return std::string(b);
+}
+
+std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) {
+ char b[128];
+ out << "({" << ff(p.first) << "*\\dx},{" << ff(p.second) << "*\\dy})";
+ return out;
+}
+
+void curve(std::ostream& out, double b, const std::string& name) {
+ double h = (xmax - xmin) / points;
+ out << "\\def\\kurve" << name << "{";
+ out << std::endl << "\t" << F(b, xmin);
+ for (int i = 1; i <= points; i++) {
+ double x = xmin + h * i;
+ out << std::endl << "\t-- " << F(b, x);
+ }
+ out << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ std::ofstream out("0f1data.tex");
+
+ double s = 13/(xmax-xmin);
+ out << "\\def\\dx{" << ff(s) << "}" << std::endl;
+ out << "\\def\\dy{" << ff(s) << "}" << std::endl;
+ out << "\\def\\xmin{" << ff(s * xmin) << "}" << std::endl;
+ out << "\\def\\xmax{" << ff(s * xmax) << "}" << std::endl;
+
+ curve(out, 0.5, "one");
+ curve(out, 1.5, "two");
+ curve(out, 2.5, "three");
+ curve(out, 3.5, "four");
+ curve(out, 4.5, "five");
+ curve(out, 5.5, "six");
+ curve(out, 6.5, "seven");
+ curve(out, 7.5, "eight");
+ curve(out, 8.5, "nine");
+ curve(out, 9.5, "ten");
+
+ curve(out,-0.5, "none");
+ curve(out,-1.5, "ntwo");
+ curve(out,-2.5, "nthree");
+ curve(out,-3.5, "nfour");
+ curve(out,-4.5, "nfive");
+ curve(out,-5.5, "nsix");
+ curve(out,-6.5, "nseven");
+ curve(out,-7.5, "neight");
+ curve(out,-8.5, "nnine");
+ curve(out,-9.5, "nten");
+
+ out.close();
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2c35813
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex
new file mode 100644
index 0000000..1bc8b87
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/0f1.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+%
+% 0f1.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\input{0f1data.tex}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}
+\clip (\xmin,-1) rectangle (\xmax,5);
+\draw[color=blue!5!red,line width=1.4pt] \kurveone;
+\draw[color=blue!16!red,line width=1.4pt] \kurvetwo;
+\draw[color=blue!26!red,line width=1.4pt] \kurvethree;
+\draw[color=blue!37!red,line width=1.4pt] \kurvefour;
+\draw[color=blue!47!red,line width=1.4pt] \kurvefive;
+\draw[color=blue!57!red,line width=1.4pt] \kurvesix;
+\draw[color=blue!68!red,line width=1.4pt] \kurveseven;
+\draw[color=blue!78!red,line width=1.4pt] \kurveeight;
+\draw[color=blue!89!red,line width=1.4pt] \kurvenine;
+\draw[color=blue!100!red,line width=1.4pt] \kurveten;
+\def\ds{0.4}
+\begin{scope}[yshift=0.5cm]
+\node[color=blue!5!red] at (\xmin,{1*\ds}) [right] {$\alpha=0.5$};
+\node[color=blue!16!red] at (\xmin,{2*\ds}) [right] {$\alpha=1.5$};
+\node[color=blue!26!red] at (\xmin,{3*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$};
+\node[color=blue!37!red] at (\xmin,{4*\ds}) [right] {$\alpha=2.5$};
+\node[color=blue!47!red] at (\xmin,{5*\ds}) [right] {$\alpha=3.5$};
+\node[color=blue!57!red] at (\xmin,{6*\ds}) [right] {$\alpha=5.5$};
+\node[color=blue!68!red] at (\xmin,{7*\ds}) [right] {$\alpha=6.5$};
+\node[color=blue!78!red] at (\xmin,{8*\ds}) [right] {$\alpha=7.5$};
+\node[color=blue!89!red] at (\xmin,{9*\ds}) [right] {$\alpha=8.5$};
+\node[color=blue!100!red]at (\xmin,{10*\ds}) [right] {$\alpha=9.5$};
+\end{scope}
+\node at (-1.7,4.5) {$\displaystyle
+y=\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\alpha\end{matrix};x\biggr)$};
+\end{scope}
+
+\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$];
+\draw[->] (0,-0.5) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}[yshift=-6.5cm]
+\begin{scope}
+\clip (\xmin,-5) rectangle (\xmax,5);
+
+\draw[color=darkgreen!5!red,line width=1.4pt] \kurvenone;
+\draw[color=darkgreen!16!red,line width=1.4pt] \kurventwo;
+\draw[color=darkgreen!26!red,line width=1.4pt] \kurventhree;
+\draw[color=darkgreen!37!red,line width=1.4pt] \kurvenfour;
+\draw[color=darkgreen!47!red,line width=1.4pt] \kurvenfive;
+\draw[color=darkgreen!57!red,line width=1.4pt] \kurvensix;
+\draw[color=darkgreen!68!red,line width=1.4pt] \kurvenseven;
+\draw[color=darkgreen!78!red,line width=1.4pt] \kurveneight;
+\draw[color=darkgreen!89!red,line width=1.4pt] \kurvennine;
+\draw[color=darkgreen!100!red,line width=1.4pt] \kurventen;
+\end{scope}
+
+\draw[->] (\xmin-0.2,0) -- (\xmax+0.3,0) coordinate[label=$x$];
+\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\def\ds{-0.4}
+\begin{scope}[yshift=-0.5cm]
+\node[color=darkgreen!5!red] at (\xmax,{1*\ds}) [left] {$\alpha=-0.5$};
+\node[color=darkgreen!16!red] at (\xmax,{2*\ds}) [left] {$\alpha=-1.5$};
+\node[color=darkgreen!26!red] at (\xmax,{3*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$};
+\node[color=darkgreen!37!red] at (\xmax,{4*\ds}) [left] {$\alpha=-2.5$};
+\node[color=darkgreen!47!red] at (\xmax,{5*\ds}) [left] {$\alpha=-3.5$};
+\node[color=darkgreen!57!red] at (\xmax,{6*\ds}) [left] {$\alpha=-5.5$};
+\node[color=darkgreen!68!red] at (\xmax,{7*\ds}) [left] {$\alpha=-6.5$};
+\node[color=darkgreen!78!red] at (\xmax,{8*\ds}) [left] {$\alpha=-7.5$};
+\node[color=darkgreen!89!red] at (\xmax,{9*\ds}) [left] {$\alpha=-8.5$};
+\node[color=darkgreen!100!red]at (\xmax,{10*\ds}) [left] {$\alpha=-9.5$};
+\end{scope}
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
index 9608a94..54ed23b 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile
@@ -3,7 +3,8 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf
+all: gammaplot.pdf fibonacci.pdf order.pdf beta.pdf loggammaplot.pdf \
+ 0f1.pdf
gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex
pdflatex gammaplot.tex
@@ -16,3 +17,30 @@ fibonaccigrid.tex: fibonacci.m
fibonacci.pdf: fibonacci.tex fibonaccigrid.tex
pdflatex fibonacci.tex
+
+order.pdf: order.tex orderpath.tex
+ pdflatex order.tex
+
+orderpath.tex: order.m
+ octave order.m
+
+beta.pdf: beta.tex betapaths.tex
+ pdflatex beta.tex
+
+betapaths.tex: betadist.m
+ octave betadist.m
+
+loggammaplot.pdf: loggammaplot.tex loggammadata.tex
+ pdflatex loggammaplot.tex
+
+loggammadata.tex: loggammaplot.m
+ octave loggammaplot.m
+
+0f1: 0f1.cpp
+ g++ -O -Wall -g -o 0f1 0f1.cpp
+
+0f1data.tex: 0f1
+ ./0f1
+
+0f1.pdf: 0f1.tex 0f1data.tex
+ pdflatex 0f1.tex
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0e6567b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
new file mode 100644
index 0000000..1e1a1b3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/beta.tex
@@ -0,0 +1,236 @@
+%
+% beta.tex -- display some symmetric beta distributions
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\input{betapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{12}
+\definecolor{colorone}{rgb}{1.0,0.6,0.0}
+\definecolor{colortwo}{rgb}{1.0,0.0,0.0}
+\definecolor{colorthree}{rgb}{0.6,0.0,0.6}
+\definecolor{colorfour}{rgb}{0.6,0.0,1.0}
+\definecolor{colorfive}{rgb}{0.0,0.0,1.0}
+\definecolor{colorsix}{rgb}{0.4,0.6,1.0}
+\definecolor{colorseven}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
+\definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8}
+\definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2}
+\definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0}
+\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0}
+\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4}
+
+\def\achsen{
+ \foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+ }
+ \foreach \y in {1,2,3,4}{
+ \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+ }
+ \def\x{1}
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+ \def\x{0}
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+
+ \draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1*\dx+0.4/\skala},0)
+ coordinate[label={$x$}];
+ \draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{\betamax*\dy+0.4/\skala},0)
+ coordinate[label={right:$\beta(a,b,x)$}];
+}
+
+\def\farbcoord#1#2{
+ ({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)})
+}
+\def\farbviereck{
+ \foreach \x in {1,2,3,4}{
+ \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4};
+ \draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x};
+ }
+ \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0}
+ coordinate[label={$a$}];
+ \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4}
+ coordinate[label={left: $b$}];
+ \foreach \x in {1,2,3,4}{
+ \node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$};
+ %\fill[color=white,opacity=0.7]
+ % \farbcoord{(\x-0.1)}{3.3}
+ % rectangle
+ % \farbcoord{(\x+0.1)}{4};
+ \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90]
+ {\tiny $a=\x$};
+ }
+}
+\def\farbpunkt#1#2#3{
+ \fill[color=#3] \farbcoord{#1}{#2} circle[radius={0.1/\skala}];
+}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.15}
+\def\dy{0.1}
+\def\opa{0.1}
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaaa;
+\draw[color=colortwo] \betabb;
+\draw[color=colorthree] \betacc;
+\draw[color=colorfour] \betadd;
+\draw[color=colorfive] \betaee;
+\draw[color=colorsix] \betaff;
+\draw[color=colorseven] \betagg;
+\draw[color=coloreight] \betahh;
+\draw[color=colornine] \betaii;
+\draw[color=colorten] \betajj;
+\draw[color=coloreleven] \betakk;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone}
+
+
+\def\betamax{4.9}
+
+\begin{scope}[yshift=-0.6cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaea;
+\draw[color=colortwo] \betaeb;
+\draw[color=colorthree] \betaec;
+\draw[color=colorfour] \betaed;
+\draw[color=colorfive] \betaee;
+\draw[color=colorsix] \betaef;
+\draw[color=colorseven] \betaeg;
+\draw[color=coloreight] \betaeh;
+\draw[color=colornine] \betaei;
+\draw[color=colorten] \betaej;
+\draw[color=coloreleven] \betaek;
+\draw[color=colortwelve] \betael;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.2cm]
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy});
+\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle;
+
+\draw[color=colorone] \betaal;
+\draw[color=colortwo] \betabl;
+\draw[color=colorthree] \betacl;
+\draw[color=colorfour] \betadl;
+\draw[color=colorfive] \betael;
+\draw[color=colorsix] \betafl;
+\draw[color=colorseven] \betagl;
+\draw[color=coloreight] \betahl;
+\draw[color=colornine] \betail;
+\draw[color=colorten] \betajl;
+\draw[color=coloreleven] \betakl;
+\draw[color=colortwelve] \betall;
+\end{scope}
+
+\achsen
+
+\farbviereck
+
+\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve}
+\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven}
+\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten}
+\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine}
+\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight}
+\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven}
+\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix}
+\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive}
+\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour}
+\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree}
+\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo}
+\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
new file mode 100644
index 0000000..5b466a6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/betadist.m
@@ -0,0 +1,58 @@
+#
+# betadist.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 201;
+global nmin;
+global nmax;
+nmin = -4;
+nmax = 7;
+n = nmax - nmin + 1
+A = 3;
+
+t = (nmin:nmax) / nmax;
+alpha = 1 + A * t .* abs(t)
+#alpha(1) = 0.01;
+
+#alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ];
+beta = alpha;
+names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight";
+ "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ]
+
+function retval = Beta(a, b, x)
+ retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b);
+ if (retval > 100)
+ retval = 100
+ end
+end
+
+function plotbeta(fn, a, b, name)
+ global N;
+ fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name));
+ fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0));
+ for x = (1:N-1)/(N-1)
+ X = (1-cos(pi * x))/2;
+ fprintf(fn, "\n\t--({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ X, Beta(a, b, X));
+ end
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("betapaths.tex", "w");
+
+for i = (1:n)
+ fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i));
+ fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i));
+end
+
+for i = (1:n)
+ for j = (1:n)
+ printf("working on %d,%d:\n", i, j);
+ plotbeta(fn, alpha(i), beta(j),
+ char(['a' + i - 1, 'a' + j - 1]));
+ end
+end
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m
new file mode 100644
index 0000000..5456e4f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.m
@@ -0,0 +1,43 @@
+#
+# loggammaplot.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+xmax = 10;
+xmin = 0.1;
+N = 500;
+
+fn = fopen("loggammadata.tex", "w");
+
+fprintf(fn, "\\def\\loggammapath{\n ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ xmax, log(gamma(xmax)));
+xstep = (xmax - 1) / N;
+for x = (xmax:-xstep:1)
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x)));
+endfor
+for k = (0:0.2:10)
+ x = exp(-k);
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x)));
+endfor
+fprintf(fn, "\n}\n");
+
+function retval = lgp(fn, x0, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\loggammaplot%s{\n", name);
+ fprintf(fn, "\\draw[color=red,line width=1pt] ");
+ for k = (-7:0.1:7)
+ x = x0 + 0.5 * tanh(k);
+ if (k > -5)
+ fprintf(fn, "\n\t-- ");
+ end
+ fprintf(fn, "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", x, log(gamma(x)));
+ endfor
+ fprintf(fn, ";\n}\n");
+endfunction
+
+lgp(fn, -0.5, "zero");
+lgp(fn, -1.5, "one");
+lgp(fn, -2.5, "two");
+lgp(fn, -3.5, "three");
+lgp(fn, -4.5, "four");
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a2963f2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
new file mode 100644
index 0000000..8ca4e1c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/loggammaplot.tex
@@ -0,0 +1,89 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\input{loggammadata.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+% add image content here
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{0.6}
+\def\xmax{8}
+\def\xmin{-4.9}
+\def\ymax{8}
+\def\ymin{-3.1}
+
+\fill[color=blue!20] ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-4*\dx},{\ymax*\dy});
+\fill[color=blue!20] ({-3*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-2*\dx},{\ymax*\dy});
+\fill[color=blue!20] ({-1*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({-0*\dx},{\ymax*\dy});
+
+\draw[->] ({\xmin*\dx-0.1},0) -- ({\xmax*\dx+0.3},0)
+ coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{\ymin*\dy-0.1}) -- (0,{\ymax*\dy+0.3})
+ coordinate[label={right:$y$}];
+
+\begin{scope}
+\clip ({\xmin*\dx},{\ymin*\dy}) rectangle ({\xmax*\dx},{\ymax*\dy});
+
+\foreach \x in {-1,-2,-3,-4}{
+ \draw[color=blue,line width=0.3pt]
+ ({\x*\dx},{\ymin*\dy}) -- ({\x*\dx},{\ymax*\dy});
+}
+
+\draw[color=red,line width=1pt] \loggammapath;
+
+\loggammaplotzero
+\loggammaplotone
+\loggammaplottwo
+\loggammaplotthree
+\loggammaplotfour
+
+\end{scope}
+
+\foreach \y in {0.1,10,100,1000,1000}{
+ \draw[line width=0.3pt]
+ ({\xmin*\dx},{ln(\y)*\dy})
+ --
+ ({\xmax*\dx},{ln(\y)*\dy}) ;
+}
+
+\foreach \x in {1,...,8}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05});
+ \node at ({\x*\dx},0) [below] {$\x$};
+}
+
+\foreach \x in {-1,...,-4}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.05}) -- ({\x*\dx},{0.05});
+}
+\foreach \x in {-1,...,-3}{
+ \node at ({\x*\dx},0) [below right] {$\x$};
+}
+\node at ({-4*\dx},0) [below left] {$-4$};
+
+\def\htick#1#2{
+ \draw (-0.05,{ln(#1)*\dy}) -- (0.05,{ln(#1)*\dy});
+ \node at (0,{ln(#1)*\dy}) [above right] {#2};
+}
+
+\htick{10}{$10^1$}
+\htick{100}{$10^2$}
+\htick{1000}{$10^3$}
+\htick{0.1}{$10^{-1}$}
+
+\node[color=red] at ({3*\dx},{ln(30)*\dy}) {$y=\log|\Gamma(x)|$};
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
new file mode 100644
index 0000000..762f458
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.m
@@ -0,0 +1,119 @@
+#
+# order.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10;
+global subdivisions;
+subdivisions = 100;
+global P;
+P = 0.5
+
+function retval = orderF(p, n, k)
+ retval = 0;
+ for i = (k:n)
+ retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i);
+ end
+end
+
+function retval = orderd(p, n, k)
+ retval = 0;
+ for i = (k:n)
+ s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i);
+ s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1);
+ retval = retval + nchoosek(n,i) * s;
+ end
+end
+
+function retval = orders(p, n, k)
+ retval = k * nchoosek(n, k) * p^(k-1) * (1-p)^(n-k);
+end
+
+function orderpath(fn, k, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
+ global N;
+ global subdivisions;
+ for i = (0:subdivisions)
+ p = i/subdivisions;
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p, orderF(p, N, k));
+ end
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderdpath(fn, k, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name);
+ global N;
+ global subdivisions;
+ for i = (1:subdivisions-1)
+ p = i/subdivisions;
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p, orderd(p, N, k));
+ end
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderspath(fn, k, name)
+ fprintf(fn, "\\def\\orders%s{\n\t(0,0)", name);
+ global N;
+ global subdivisions;
+ for i = (1:subdivisions-1)
+ p = i/subdivisions;
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p, orders(p, N, k));
+ end
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+ fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+
+orderpath(fn, 0, "zero");
+orderdpath(fn, 0, "zero");
+orderspath(fn, 0, "zero");
+
+orderpath(fn, 1, "one");
+orderdpath(fn, 1, "one");
+orderspath(fn, 1, "one");
+
+orderpath(fn, 2, "two");
+orderdpath(fn, 2, "two");
+orderspath(fn, 2, "two");
+
+orderpath(fn, 3, "three");
+orderdpath(fn, 3, "three");
+orderspath(fn, 3, "three");
+
+orderpath(fn, 4, "four");
+orderdpath(fn, 4, "four");
+orderspath(fn, 4, "four");
+
+orderpath(fn, 5, "five");
+orderdpath(fn, 5, "five");
+orderspath(fn, 5, "five");
+
+orderpath(fn, 6, "six");
+orderdpath(fn, 6, "six");
+orderspath(fn, 6, "six");
+
+orderpath(fn, 7, "seven");
+orderdpath(fn, 7, "seven");
+orderspath(fn, 7, "seven");
+
+orderpath(fn, 8, "eight");
+orderdpath(fn, 8, "eight");
+orderspath(fn, 8, "eight");
+
+orderpath(fn, 9, "nine");
+orderdpath(fn, 9, "nine");
+orderspath(fn, 9, "nine");
+
+orderpath(fn, 10, "ten");
+orderdpath(fn, 10, "ten");
+orderspath(fn, 10, "ten");
+
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
new file mode 100644
index 0000000..88b2b08
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
new file mode 100644
index 0000000..0284735
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/order.tex
@@ -0,0 +1,125 @@
+%
+% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{8}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\def\n{10}
+\def\E#1#2{
+ \draw[color=#2]
+ ({\dx*#1/(\n+1)},{-0.1/\skala}) -- ({\dx*#1/(\n+1)},{4.4*\dy});
+ \node[color=#2] at ({\dx*#1/(\n+1)},{3.2*\dy})
+ [rotate=90,above right] {$k=#1$};
+}
+\def\var#1#2{
+ \pgfmathparse{\dx*sqrt(#1*(\n-#1+1)/((\n+1)*(\n+1)*(\n+2)))}
+ \xdef\var{\pgfmathresult}
+ \fill[color=#2,opacity=0.5]
+ ({\dx*#1/(\n+1)-\var},0) rectangle ({\dx*#1/(\n+1)+\var},{4.4*\dy});
+}
+
+\input{orderpath.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1.6}
+\def\dy{0.5}
+
+\def\pfad#1#2{
+\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0)
+ --
+ #1
+ --
+ ({1*\dx+0.1/\skala},0.5);
+}
+
+\pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderone}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderthree}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfour}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfive}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordersix}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordereight}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordernine}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderten}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderseven}{darkgreen}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$F(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {0.5,1}{
+ \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=darkgreen] at ({0.64*\dx},{0.56*\dy}) [rotate=42] {$k=7$};
+
+\begin{scope}[yshift=-0.7cm]
+\def\dy{0.125}
+
+\foreach \k in {1,2,3,4,5,6,8,9,10}{
+ \E{\k}{blue!30}
+}
+\def\k{7}
+\var{\k}{orange!40}
+\node[color=blue] at ({\dx*\k/(\n+1)},{4.3*\dy}) [above] {$E(X_{7:n})$};
+
+\def\pfad#1#2{
+ \draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0)
+ --
+ #1
+ --
+ ({1*\dx+0.1/\skala},0.0);
+}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
+ rectangle ({1*\dx+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+
+\pfad{\orderdzero}{red!20}
+\pfad{\orderdone}{red!20}
+\pfad{\orderdtwo}{red!20}
+\pfad{\orderdthree}{red!20}
+\pfad{\orderdfour}{red!20}
+\pfad{\orderdfive}{red!20}
+\pfad{\orderdsix}{red!20}
+\pfad{\orderdeight}{red!20}
+\pfad{\orderdnine}{red!20}
+\pfad{\orderdten}{red!20}
+\E{\k}{blue}
+\pfad{\orderdseven}{red}
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({1.03*\dx},0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={right:$\varphi(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+ \draw ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) -- ({\x*\dx},{0.1/\skala});
+ \node at ({\x*\dx},{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+ \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+ \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=red] at ({0.67*\dx},{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex b/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex
new file mode 100644
index 0000000..df52a58
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/integral.tex
@@ -0,0 +1,103 @@
+%
+% integral.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Hochschule
+%
+\subsection{Integraldarstellung und der Satz von Bohr-Mollerup
+\label{buch:subsection:integral-eindeutig}}
+Die Integralformel
+\[
+f(x)
+=
+\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\]
+für die Gamma-Funktion erfüllt die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion.
+Aus dem Satz von Bohr-Mollerup~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} folgt,
+dass $f(x)=\Gamma(x)$, wenn gezeigt werden kann, dass $\log f(x)$
+konvex ist.
+Dies soll im Folgenden gezeigt werden.
+
+\subsubsection{Logarithmische Ableitung}
+Die Ableitungen der Funktion $\log f(x)$ sind die erste und
+zweite logarithmische
+Ableitung
+\begin{align}
+\frac{d}{dx}\log f(x)
+&=
+\frac{f'(x)}{f(x)}
+\notag
+\\
+\frac{d^2}{dx^2} \log f(x)
+&=
+\frac{f''(x)f(x)-f'(x)^2}{f(x)^2}.
+\label{buch:rekursion:eqn:zweiteablteitung}
+\end{align}
+Durch Ableiten unter dem Integralzeichen können die Ableitungen
+von $f$ als
+\begin{align*}
+f'(x)
+&=
+\int_0^\infty \log(t)\, t^{x-1} e^{-t}\,dt
+\\
+f''(x)
+&=
+\int_0^\infty \log(t)^2\, t^{x-1} e^{-t}\,dt
+\end{align*}
+bestimmt werden.
+Um nachzuweisen, dass $\log f(x)$ konvex ist, muss nur gezeigt werden,
+dass die zweite logarithmische Ableitung von $f(x)$ positiv ist, was
+gemäss~\eqref{buch:rekursion:eqn:zweiteablteitung} mit
+\begin{equation}
+f''(x)f(x)-f'(x)^2
+=
+\int_0^\infty \log(t)^2\, t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
+-
+\biggl(
+\int_0^\infty \log(t)\, t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\biggr)^2
+\ge 0
+\label{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}
+\end{equation}
+gleichbedeutend ist.
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+Die Integral in~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}
+können als Werte eines Skalarproduktes von Funktionen auf $\mathbb{R}^+$
+gelesen werden.
+Dazu definieren wir
+\begin{align}
+\langle u,v\rangle
+&=
+\int_0^\infty u(t)v(t)\,t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\label{buch:rekursion:gamma-integral:eqn:skalarprodukt}
+\\
+\|u\|^2
+&=
+\int_0^\infty u(t)^2 \,t^{x-1}e^{-t}\,dt,
+\notag
+\end{align}
+für alle Funktionen $u$ und $v$, für die die Integrale definiert sind.
+
+\subsubsection{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}
+Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für das
+Skalarprodukt~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:eqn:skalarprodukt}
+für die Funktion $u(t)=1$ und $v(t)=\log(t)$
+lautet
+\[
+|\langle u,v\rangle|^2
+=
+\biggl|
+\int_0^1 \log(t)\,t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\biggr|^2
+\le
+\|u\|^2\cdot \|v\|^2
+=
+\int_0^\infty 1\cdot t^{x-1}e^{-t}\,dt
+\int_0^\infty \log(t)^2\cdot t^{x-1}e^{-t}\,dt.
+\]
+Daraus folgt aber durch Umstellen unmittelbar die
+Ungleichung~\eqref{buch:rekursion:gamma-integral:ungleichung}.
+Damit ist gezeigt, dass $\log f(t)$ konvex ist und nach
+dem Satz~\ref{buch:satz:bohr-mollerup} folgt nun, dass $f(x)=\Gamma(x)$.
+
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
index f9d014e..5d76598 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur
-Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet.
+Fakultäten und andere elementare Funktionen verwendet.
\begin{loesung}
Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere