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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index 1c0861a..ea847bc 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -233,7 +233,13 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} berechnet werden. \end{satz} -\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +\subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in +\eqref{buch:rekursion:gamma:wert12} +direkt mit Hilfe der Integraldefinition berechnet. +Hier wird eine alternative Berechnungsmöglichkeit mit Hilfe der +Beta-Funktion vorgestellt. + Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} untersuchen wir den Fall $y=1-x$. In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 1a2d155..737cf7f 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -494,6 +494,28 @@ die Werte der Fakultät annimmt. \label{buch:rekursion:fig:gamma}} \end{figure} +\subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$} +Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ +zu berechnen. +Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition +der Gamma-Funktion und berechnen +\begin{align} +\Gamma({\textstyle\frac12}) +&= +\int_0^\infty t^{-\frac12} e^{-t}\,dt += +\int_0^\infty s^{-1} e^{-s^2}\cdot 2s\,ds += +2\int_0^\infty e^{-s^2}\,ds += +\int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds += +\sqrt{\pi}. +\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +\end{align} +Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte +einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist. + \subsubsection{Alternative Lösungen} Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. @@ -515,8 +537,28 @@ in grün. Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen gemeinsam. +In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:satz-von-carlson} +wir mit Mitteln der komplexen Funktionentheorie gezeigt, dass eine +Funktion, die für ganzzahlige Argument mit $\Gamma(x)$ zusammenfällt +und sich im Rest der rechten Halbebene nur durch eine beschränkte +Funktion von $\Gamma(x)$ unterscheidet, mit $\Gamma(x)$ +identisch sein muss. +Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat, +welches hier nicht bewiesen wird. + +\begin{satz}[Wielandt] +Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit +den folgenden drei Eigenschaften +\begin{enumerate} +\item $f(1)=1$ +\item $f(z+1)=zf(z)$ für $\operatorname{Re}z>0$ +\item $f(z)$ ist beschränkt im Streifen $1\le \operatorname{Re}z< 2$ +\end{enumerate} +Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $. +\end{satz} - +% XXX Gamma in the interval (1,2) +%Man beachte, dass \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion} Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die @@ -548,6 +590,7 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus \frac{1}{s^\alpha}\int_0^\infty u^{\alpha} e^{-u}\,du = \frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1). +\qedhere \] \end{proof} @@ -599,7 +642,7 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck \[ \Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z). \] -Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. +Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$} Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$. |