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Diffstat (limited to 'buch/chapters/040-rekursion')
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex46
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
index 45acf9f..2b0700e 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex
@@ -73,6 +73,9 @@ gilt.
Der Plan ist, dies so umzuformen, dass man für $x$ eine beliebige
komplexe Zahl einsetzen kann.
+%
+% Pochhammer-Symbol
+%
\subsubsection{Pochhammer-Symbol}
Die spezielle Form des Nenners und des zweiten Faktors im Zähler
von \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:fakultaet}
@@ -115,6 +118,9 @@ x!
Der erste Faktor in diesem Ausdruck enthält jetzt nur noch Dinge,
die für beliebige $x\in\mathbb{C}$ definiert sind.
+%
+% Grenwertdefinition
+%
\subsubsection{Grenzwertdefinition}
Der zweite Bruch in \eqref{buch:rekursion:gamma:eqn:produkt3}
besteht aus Termen, die zwar nur für natürliches $x$ definiert sind,
@@ -147,6 +153,9 @@ $x\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,-3,\dots\}$ ist der Grenzwert
\index{Gamma-Funktion!Grenzwertdefinition}%
\end{definition}
+%
+% Rekursionsgleichung für Gamma(x)
+%
\subsubsection{Rekursionsgleichung für $\Gamma(x)$}
Es ist aus der Herleitung klar, dass $\Gamma(n)=(n-1)!$ sein muss.
Wir sollten dies aber auch direkt aus der
@@ -199,15 +208,50 @@ x\lim_{n\to\infty}
\frac{n^{x-1}}{(n+1)^{x-1}}
\\
&=
+x
\Gamma(x)
\lim_{n\to\infty} \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^{x-1}
=
-\Gamma(x),
+x\Gamma(x),
\end{align*}
Weil $n/(n+1)\to 1$ ist und die Funktion $z\mapsto z^{x-1}$ für alle
nach der Definition zulässigen Werte von $x$ eine stetige Funktion ist.
%
+% Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol
+%
+\subsubsection{Gamma-Funktion und Pochhammer-Symbol}
+Durch Iteration der Rekursionsformel für $\Gamma(x)$ folgt jetzt
+\begin{align*}
+\Gamma(x+n)
+&=
+(x+n-1) \Gamma(x+n-1)
+\\
+&=
+(x+n-1)(x+n-2)\Gamma(x+n-2)
+\\
+&=
+\underbrace{
+(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x-1)(x)
+}_{\text{$n$ Faktoren}} \Gamma(x)
+\\
+&=(x)_n \Gamma(x).
+\end{align*}
+Damit folgt
+
+\begin{satz}
+\label{buch:rekursion:gamma:satz:gamma-pochhammer}
+Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion kann geschrieben werden als
+\[
+\Gamma(x+n) = (x)_n \Gamma(x).
+\]
+Das Pochhammer-Symbol $(x)_n$ ist für alle natürlichen $n$ gegeben durch
+\[
+(x)_n = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}.
+\]
+\end{satz}
+
+%
% Numerische Unzulänglichkeit der Grenzwertdefinition
%
\subsubsection{Numerische Unzulänglichkeiten der Grenzwertdefinition}