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diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index fcda21b..df968f0 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -1504,3 +1504,35 @@ x^3y \qquad\Rightarrow\qquad y''-xy=0. \end{align*} Dies ist wie erwartet die Airy-Differentialgleichung. + +\subsection{Differentialgleichung der Tschebyscheff-Polynome} +Die Tschebyscheff-Polynome erster Art haben die Darstellung +\[ +T_n(x) = \cos(n\arccos x). +\] +Die Ableitungen sind +\begin{align*} +T'_n(x) &= \frac{n}{\sqrt{1-x^2}} \sin(n\arccos x) +\\ +T''_n(x) &= +-\frac{n^2}{1-x^2} T_n(x) ++ +n\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}} \sin(n\arccos x) +\end{align*} +Multipliziert man $T_n''(x)$ mit $(1-x^2)$ und subtrahiert +man $xT_n'(x)$, fällt der Term $\sin(n\arccos x)$ weg und es bleibt +\begin{equation} +(1-x^2)T''_n(x) -xT'_n(x) = -n^2 T_n(x), +\label{buch:differential:tschebyscheff:Tdgl} +\end{equation} +die Tschebyscheff-Polynome sind also Lösungen der Differentialgleichung +\begin{equation} +(1-x^2)y'' -xy' +n^2 y=0, +\label{buch:differential:tschebyscheff:Tdgl} +\end{equation} +sie heisst die {\em Tschbeyscheff-Differentialgleichung}. + +\subsubsection{Tschebyscheff-Differentialgleichung und hypergeometrische Differentialgleichung} +TODO + +\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials} |