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diff --git a/buch/chapters/050-differential/arcsin.maxima b/buch/chapters/050-differential/arcsin.maxima new file mode 100644 index 0000000..260d8a9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/arcsin.maxima @@ -0,0 +1,5 @@ +u: asin(x); +up: diff(u,x); +upp: diff(up,x); + +(1-x^2)*upp-x*up ; diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 16527ad..55eb78a 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Bessel-Funktionen \label{buch:differntialgleichungen:section:bessel}} +\rhead{Bessel-Funktionen} Die Besselsche Differentialgleichung erlaubt Wellen mit zylindrischer Symmetrie und die Strömung in einem zylindrischen Rohr zu beschreiben. diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index de6752f..b93bc6e 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Hypergeometrische Differentialgleichung \label{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch}} +\rhead{Hypergeometrische Differentialgleichung} Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F1(a,b;c;x)$ wurde in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} als Potenzreihe mit sehr speziellen Koeffizienten, die sich aus @@ -377,6 +378,7 @@ x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2} -ab y = 0 +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:eulerhyper} \end{equation} hat die Lösung \[ @@ -628,20 +630,20 @@ Dies ist natürlich die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. \subsubsection{Die Differentialgleichungen für $\mathstrut_1F_0$} In diesen Fälle gibt es nur jeweils einen einzigen Operator anzuwenden. -Wir betrachten zunächst den Fall $w(z) = \mathstrut_1F_0(\alpha; z)$ +Wir betrachten zunächst den Fall $w(z) = \mathstrut_1F_0(a; z)$ und finden direkt die Differentialgleichung \begin{align*} -\biggl(z\frac{d}{dz}+\alpha\biggr)w +\biggl(z\frac{d}{dz}+a\biggr)w &= \frac{d}{dz}w \\ -zw'+\alpha w +zw'+a w &= w' \\ (1-z)w' &= -\alpha w. +a w. \end{align*} \begin{beispiel} @@ -684,29 +686,33 @@ sie erfüllt also die genannte Differentialgleichung. % \subsubsection{Die Differentialgleichungen für $\mathstrut_0F_1$} Für die Funktion $\mathstrut_0F_1$ setzen wir -$w(z)=\mathstrut_0F_1(;\beta;z)$. +$w(z)=\mathstrut_0F_1(;b;z)$. In diesem Fall gibt es keine Operatoren $D_{a_i}$ anzuwenden, die linke Seite der Differentialgleichung ist also einfach die Funktion $w$. -Für die rechte Seite ist der Operator $D_{\beta-1}$ anzuwenden, was auf +Für die rechte Seite ist der Operator $D_{b-1}$ anzuwenden, was auf die Differentialgleichung -\begin{align*} +\begin{align} w &= \frac{d}{dz} -\biggl(z\frac{d}{dz}+\beta -1\biggr)w +\biggl(z\frac{d}{dz}+b -1\biggr)w +\notag \\ w &= -\frac{d}{dz}(zw'+\beta w - w) +\frac{d}{dz}(zw'+b w - w) +\notag \\ w &= -zw''+w'+\beta w' -w' +zw''+w'+b w' -w' +\notag \\ 0 &= -zw''+\beta w' - w -\end{align*} +zw''+b w' - w +\label{buch:differentialgleichungen:0f1:dgl} +\end{align} führt. \begin{beispiel} @@ -787,90 +793,100 @@ tatsächlich die Kosinus-Funktion als Lösung hat. % Die Differentialgleichung für 1F1 % \subsubsection{Die Differentialgleichung für $\mathstrut_1F_1$} -Wir setzen wieder $w(z) = \mathstrut_1F_1(\alpha;\beta;z)$. -Es sind die Operatoren $D_\alpha$ und $D_{\beta-1}$ anzuwenden. +Wir setzen wieder $w(z) = \mathstrut_1F_1(a;b;z)$. +Es sind die Operatoren $D_a$ und $D_{b-1}$ anzuwenden. Es ergibt sich die Differentialgleichung \begin{align*} -\biggl(z\frac{d}{dz}+\alpha\biggr)w +\biggl(z\frac{d}{dz}+a\biggr)w &= -\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz} +\beta-1\biggr)w +\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz} +b-1\biggr)w \\ -zw'+\alpha w +zw'+a w &= \frac{d}{dz} -(zw'+\beta w - w) +(zw'+b w - w) \\ -zw'+\alpha w +zw'+a w &= -zw'' +w'+\beta w' - w' +zw'' +w'+b w' - w' \\ 0 &= -zw'' + (\beta - z)w' - \alpha w. +zw'' + (b - z)w' - a w. \end{align*} % % Die hypergeometrische Differentialgleichung für 2F1 % \subsubsection{Die Differentialgleichung für $\mathstrut_2F_1$} -Für die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;z)$ +Für die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(a,b;c;z)$ ist die Difrentialgleichung von der Form \[ -\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) -\biggl(z\frac{d}{dz} + \beta\biggr)w +\biggl(z\frac{d}{dz} + a\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz} + b\biggr)w = \frac{d}{dz} -\biggl(z\frac{d}{dz}+\gamma -1\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz}+c -1\biggr) w. \] Durchführen der Ableitungen auf beiden Seiten ergibt für die linke Seite \begin{align*} -\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) -\biggl(z\frac{d}{dz} + \beta\biggr)w +\biggl(z\frac{d}{dz} + a\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz} + b\biggr)w &= -\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) -(zw'+\beta w) +\biggl(z\frac{d}{dz} + a\biggr) +(zw'+b w) \\ &= -z^2w'' + zw' + \beta zw' + \alpha(zw'+\beta w) +z^2w'' + zw' + b zw' + a(zw'+b w) \\ &= -z^2w'' + (1+\alpha+\beta )zw' + \beta\alpha w +z^2w'' + (1+a+b )zw' + ba w \intertext{und die rechte Seite} -\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz}+\gamma-1\biggr)w +\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz}+c-1\biggr)w &= -\frac{d}{dz}(zw'+\gamma w-w) +\frac{d}{dz}(zw'+c w-w) \\ &= -zw''+w'+\gamma w' - w' +zw''+w'+c w' - w' \\ &= -zw'' +\gamma w'. +zw'' +c w'. \end{align*} Durch Gleichsetzen ergibt sich jetzt \begin{align*} -z^2w'' + (1+\alpha+\beta )zw' + \alpha\beta w +z^2w'' + (1+a+b )zw' + ab w &= -zw'' +\gamma w' +zw'' +c w' \\ 0 &= z(1-z)w'' + -(\gamma-z(1+\alpha+\beta))w' +(c-z(1+a+b))w' - -\alpha\beta +ab w \end{align*} Dies ist die früher definierte hypergeometrische Differentialgleichung. -\subsubsection{Differentialgleichungen für $w(x^2)$ und $xw(x^2)} - - % % Gerade und ungerade Funktionen % -\subsubsection{Gerade und ungerade Funktionen} +\subsection{Differentialgleichung für +$x^\varrho\cdot\mathstrut_pF_q(a_i;b_j;sx^\nu)$} +In verschiedenen Beispielen ist gezeigt worden, wie sich +wohlbekannte Funktionen durch hypergeometrische Funktionen +ausdrücken lassen. +Aus der Differentialgleichung der hypergeometrischen Funktionen +muss sich daher auch eine Differentialgleichung für die +gesuchten Funktionen ergeben. +Zum Beispiel lassen sich die Besselfunktionen durch hypergeometrische +Funktionen des Argumentes $-x^2/4$ schreiben, es muss also auch +möglich sein, die besselsche Differentialgleichung wieder aus +der eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung zu gewinnen. + +\subsubsection{Gerade und ungerade} Hypergeometrische Funktionen, deren Reihe mehr als einen Term enthalten, enthalten immer mindestens eine gerade und eine ungerade Potenz der unabhängigen Variable. @@ -883,6 +899,8 @@ Lösung $\cos x$ und die ungerade Lösung $\sin x$. Auch die Differentialgleichung $y''-y=0$ hat eine gerade Lösung, $\cosh x$, und eine ungerade Lösung, $\sinh x$. +\subsubsection{Symmetrien der eulerschen hypergeometrischen +Differentialgleichung} Hat die hypergeometrische Differentialgleichung gerade und ungerade Lösungen? Wenn es eine gerade Lösung $y(x)$ gibt, dann sollte die Substitution @@ -911,6 +929,7 @@ y(x) &= \frac{1}{-c+1}x^{-c+1} Dies zeigt, dass die hypergeometrische Differentialgleichung im allgemeinen keine geraden oder ungeraden Lösungen hat. +\subsubsection{Zusammengesetzte Funktionen} Die gerade oder ungeraden Funktionen, die in früheren Beispielen als hypergeometrische Funktionen dargestellt wurden, konnten also nicht Lösungen der hypergeometrische Differentialgleichung sein. @@ -927,22 +946,523 @@ g(x) \qquad\text{und}\qquad u(x) = -x\, +x\cdot \mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_1\end{matrix};x^2\biggr). \] +Viele wohlbekannte Funktionen $f(x)$ können aus einer hypergeometrischen +Funktion $w(z)$ als $g(x)=w(\pm x^2)$ oder $u(x)=xw(\pm x^2)$ erhalten +werden. +Für die hypergeometrische Funktion $w(z)$ ist eine definierende +Differentialgleichung bekannt. +Im Folgenden soll daraus eine Differentialgleichung für $f(x)$ +abgeleitet werden. + +Der Fall $w(-x^2)$ könnte natürlich auch durch Verwendung eines +imaginären Arguments wie in $w((ix)^2)$ auf den Fall $w(x^2)$ +zurückgeführt werden. +Um aber die Differentialgleichungen reell zu belassen, schreiben +wir $g(x)=w(sx^2)$ für eine gerade Funktion beziehungsweise +$u(x)=xw(sx^2)$ für eine ungerade Funktion. +Der Faktor $s$ kann ausserdem dazu verwendet werden, das Argument +zu skalieren, wie es zum Beispiel in der Darstellung der +Kosinus-Funktion als $\cos x = \mathstrut_0F_1(;\frac12;-\frac{x^2}4)$ +nötig ist. + +Um die Differentialgleichung für $g$ oder $u$ zu finden, berechnen wir die +Ableitungen von $g$ und $u$, drücken die Ableitungen von $w$ durch die +Ableitungen $g$ und $u$ aus und setzen sie in die Differentialgleichung +für $w$ ein. +Wir wollen dies im Folgenden nur für ein paar Beispiele niedrigerer +Ordnung tun. + +% +% Differentialgleichungen für g(x)=w(sx^2) +% +\subsubsection{Differentialgleichungen für $g(x)=w(sx^2)$ für $w=\mathstrut_2F_1$} +Die Ableitungen von $g$ sind +\[ +\begin{linsys}{3} + g(x)&=&w(sx^2)& & & & \\ + g'(x)&=& & &2sxw'(sx^2)& & \\ +g''(x)&=& & & 2sw'(sx^2)&+&4s^2x^2w''(sx^2)\\ +\end{linsys} +\] +Dies sind lineare Gleichungssysteme für die Ableitungen +von $w$, die wir nach $w'$ und $w''$ auflösen können. +Dies wird einfacher, wenn wir das Gleichungssysteme in +Matrixschreibweise darstellen mit der Matrix +\begin{equation*} +\begin{pmatrix} + g(x)\\ + g'(x)\\ +g''(x) +\end{pmatrix} += +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +1& 0& 0\\ +0& 2sx& 0\\ +0& 2s& 4s^2x^2 +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle = A_g} +\begin{pmatrix} +w(sx^2)\\ +w'(sx^2)\\ +w''(sx^2) +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +A_g^{-1} += +\begin{pmatrix} +1& 0 & 0 \\ +0& \frac{1}{2sx} & 0 \\ +0& -\frac{1}{4s^2x^3} & \frac{1}{4s^2x^2} +\end{pmatrix} +\end{equation*} +Damit lassen sich jetzt die Ableitungen von $w$ ausdrücken: +\begin{align*} + w(sx^2) &= g(x) \\ + w'(sx^2) &= \frac{1}{2sx} g'(x) \\ +w''(sx^2) &= \frac{1}{4s^2x^3}g'(x) + \frac{4}{4s^2x^2} g''(x) +\end{align*} +Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die eulersche hypergeometrische +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:eulerhyper} +%\[ +%z(1-z) \frac{d^2y}{dz^2} + (c+(a+b+1)z)\frac{dy}{dz} - abz = 0 +%\] +finden wir jetzt die Differentialgleichungen für $g(x)$ +wie folgt: +\begin{equation} +x(1-sx^2)g''(x) ++ +(2c-1-(2a+2b+1)sx^2) g'(x) +-4absx g(x) += +0. +\label{buch:differential:hypergeometrisch:geradedgl} +\end{equation} + + % % % -\subsubsection{Hypergeometrische Funktionen von $x^2$ und $x^3$} -Die hypergeometrischen Funktionen $w(z)$ als Lösungen der hypergeometrischen -Differentialgleichungen sind Potenzreihen, in denen kein Koeffizient -verschwindet, sofern die Lösung nicht ein Polynom ist. -Die trigonometrischen Funktionen sind nicht von dieser Art. -Sie lassen sich als Funktionen von $x^2$ schreiben. -Wir untersuchen in diesem Abschnitt, wie sich eine Differentialgleichung -von $y(x) = x^lw(tx^k)$ aus der Differentialgleichung für $w(z)$ gewinnen -lässt. +\subsubsection{Differentialgleichung von $x^\varrho w(sx^\nu)$} +Die Methode der verallgemeinerten Potenzreihen zeigt, dass eine +gewöhnliche Potenzreihe, wie $\mathstrut_pF_q$ eine ist, +manchmal nicht reicht, um eine Lösung einer Differentialgleichung +darzustellen. +Die Besselsche Differentialgleichung ist von dieser Art. +Eine verallgemeinerte Potenzreihe erhält man mit Hilfe eines +zusätzlichen Faktors der Form $x^\varrho$. +Der Fall $\varrho=1$ deckt auch die früher vorgeschlagene +Funktion $u(x)=x\cdot \mathstrut_pF_q(sx^2)$ ab. +In den bisherigen Beispielen haben wir als Argument für eine +hypergeometrische Funktion $\mathstrut_pF_q$ einen Ausdruck +der Form $sx^2$ verwendet, was für die Beispiele gereicht hat, +aber zum Beispiel für die später untersuchten Airy-Funktionen +nicht genügt. +Daher soll jetzt für eine Funktion $f(x) += x^\varrho\cdot \mathstrut_pF_q(sx^\nu)$ eine Differentialgleichung +aus der Differentialgleichung der hypergeometrischen Funktion +abgeleitet werden. +Dabei soll der im vorangegangenen Abschnitt behandelte Fall +$\varrho=0$ und $\nu=2$ als Leitlinie dienen. +Wie vorhin beginnen wir damit, die Ableitungen von $f(x)$ zu +berechnen: +\[ +\begin{linsys}{4} +f(x) &=& x^\varrho w(sx^\nu) + & & + & & +\\ +f'(x) &=& \varrho x^{\varrho-1} w(sx^\nu) + &+& \nu s x^{\varrho+\nu-1} w'(sx^\nu) + & & +\\ +f''(x) &=& (\varrho-1)\varrho x^{\varrho-2} w(sx^\nu) + &+& \nu(2\varrho+\nu-1)sx^{\varrho+\nu-2} w'(sx^\nu) + &+& \nu^2 s^2 x^{\varrho+2\nu-2} w''(sx^\nu) +\end{linsys} +\] +Dies ist ein lineares Gleichungssystem, welches in Matrixform +geschrieben werden kann als +\[ +\begin{pmatrix} +f(x)\\ +f'(x)\\ +f''(x) +\end{pmatrix} += +% [ rho ] +% [ x ] +% [ ] +%(%o40) Col 1 = [ rho - 1 ] +% [ rho x ] +% [ ] +% [ 2 rho - 2 ] +% [ (rho - rho) x ] +% +% [ 0 ] +% [ ] +% [ rho + nu - 1 ] +% Col 2 = [ nu s x ] +% [ ] +% [ 2 rho + nu - 2 ] +% [ (2 nu rho + nu - nu) s x ] +% +% [ 0 ] +% [ ] +% Col 3 = [ 0 ] +% [ ] +% [ 2 2 rho + 2 nu - 2 ] +% [ nu s x ] +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +x^\varrho + & 0 + & 0 \\ +\varrho x^{\varrho-1} + & \nu s x^{\varrho+\nu-2} + & 0 \\ +(\varrho-1)\varrho x^{\varrho-2} + & \nu(2\varrho+\nu-1)sx^{\varrho+\nu-2} + & \nu^2 s^2 x^{\varrho+2\nu-2} +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle = A_f} += +\begin{pmatrix} +w(sx^\nu)\\ +w'(sx^\nu)\\ +w''(sx^\nu) +\end{pmatrix}. +\] +Die Inverse der Matrix $A_f$ ist +\[ +A_f^{-1} += +% [ 1 ] +% [ ---- ] +% [ rho ] +% [ x ] +% [ ] +% [ (- rho) - nu ] +% [ rho x ] +%(%o42) Col 1 = [ - ----------------- ] +% [ nu s ] +% [ ] +% [ 2 (- rho) - 2 nu ] +% [ (rho + nu rho) x ] +% [ ------------------------------- ] +% [ 2 2 ] +% [ nu s ] +% [ 0 ] +% [ ] +% [ (- rho) - nu + 1 ] +% [ x ] +% [ ----------------- ] +% Col 2 = [ nu s ] +% [ ] +% [ (- rho) - 2 nu + 1 ] +% [ (2 rho + nu - 1) x ] +% [ - ------------------------------------ ] +% [ 2 2 ] +% [ nu s ] +% [ 0 ] +% [ ] +% [ 0 ] +% [ ] +% Col 3 = [ (- rho) - 2 nu + 2 ] +% [ x ] +% [ ------------------- ] +% [ 2 2 ] +% [ nu s ] +\renewcommand{\arraystretch}{1.7} +\frac{1}{x^\varrho} +\begin{pmatrix} +\displaystyle 1 + & 0 + & 0 +\\ +\displaystyle-\frac{\varrho}{\nu s} x^{-\nu} + &\displaystyle \frac{1}{\nu s} x^{-\nu+1} + & 0 +\\ +\displaystyle\frac{\varrho^2+\nu\varrho}{\nu^2s^2}x^{-2\nu} + &\displaystyle -\frac{2\varrho+\nu-1}{\nu^2s^2} x^{-2\nu+1} + &\displaystyle \frac{1}{\nu^2s^2} x^{-2\nu+2} +\end{pmatrix} +\] +Damit kann man jetzt die Funktion $w(sx^\nu)$ und die Ableitungen +$w'(sx^\nu)$ und $w''(sx^\nu)$ durch $f$ und die Ableitungen davon +ausdrücken als +\begin{equation} +\renewcommand{\arraystretch}{2.3} +\begin{linsys}{4} +w(sx^\nu) + &=& \displaystyle \frac{1}{x^\varrho} f(x) + & & + & & +\\ +w'(sx^\nu) + &=& \displaystyle -\frac{\varrho}{\nu s} x^{-\varrho-\nu} f(x) + &+& \displaystyle \frac{1}{\nu s}x^{-\varrho-\nu+1} + & & +\\ +w''(sx^\nu) + &=& \displaystyle \frac{\varrho^2+\nu\varrho}{\nu^2 s^2}x^{-\varrho-2\nu} + &-& \displaystyle \frac{2\varrho+\nu-1}{\nu^2s^2} x^{-\varrho-2\nu+1} + &+& \displaystyle \frac{1}{\nu^2 s^2} x^{-\varrho-2\nu+2}. +\end{linsys} +\label{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:wsubst} +\end{equation} +Einsetzen in die Differentialgleichung der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_2F_1$ liefert die Differentialgleichung +\begin{equation} +\begin{aligned} +sx^4(x^2-1) f'' +%(%i50) ratsimp(subst(0,F,subst(0,Fp,ef))/Fpp) +%(%o50) -x^((-rho)-2*nu)*(s*x^6-x^4) +%(%i51) ratsimp(subst(0,F,subst(0,Fpp,ef))/Fp) +%\\ +&-( + ((-2\varrho-\nu+1) s x^5 +x^\nu(b+a+1)\nu s x^3-c\nu x) + + + (2\varrho+\nu-1)x^3 +)f' +\\ +%(%o51) -x^((-rho)-2*nu)*(((-2*rho)-nu+1)*s*x^5+x^nu*((b+a+1)*nu*s*x^3-c*nu*x) +% +(2*rho+nu-1)*x^3) +%(%i52) ratsimp(subst(0,Fp,subst(0,Fpp,ef))/F) +%(%o52) -x^((-rho)-2*nu)*(a*b*nu^2*s*x^(2*nu)+(rho^2+nu*rho)*s*x^4 +% +x^nu +% *(((-b)-a-1)*nu*rho*s*x^2 +% +c*nu*rho) +% +((-rho^2)-nu*rho)*x^2) +&-( + ab\nu^2 sx^{2\nu} + + \varrho(\varrho+\nu)sx^4 + + x^\nu((-b-a-1)\nu\varrho s x^2 + c\nu\varrho) + - \varrho(\varrho+\nu)x^2 +)f +=0 +\end{aligned} +\label{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:2f1dgl} +\end{equation} +für die Funktion +\[ +f(x)=x^\varrho \cdot\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}; sx^\nu +\biggr). +\] +Die Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:2f1dgl} +ist etwas unübersichtlich, daher soll sie in einem Beispiel illustriert +werden. +\begin{beispiel} +Früher in Aufgabe \ref{401} auf Seite \pageref{401} +wurde gezeigt, dass +\[ +\arcsin x = x\,\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}\frac12,\frac12\\\frac32\end{matrix};x^2 +\biggr) += +x^\nu\cdot \mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}; +sx^\nu +\biggr) +\] +ist. +Die Arkus-Sinus-Funktion ist daher Lösung der Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:2f1dgl} +mit +\[ +\varrho=1,\quad +a=\frac12,\quad +b=\frac12,\quad +c=\frac32,\quad +s=1,\quad +\nu=2, +\] +also +\begin{equation} +-\frac{x^2-1}{x}f'' +-f' += +0 +\qquad\Rightarrow\qquad +(1-x^2)f''=xf'. +\label{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:beispiel:arcsindgl} +\end{equation} +Tatsächlich ist +\[ +\frac{d}{dx}\arcsin x += +\frac{1}{(1-x^2)^{\frac12}} +\qquad\text{und}\qquad +\frac{d^2}{dx^2} \arcsin x += +\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}}, +\] +und nach Einsetzen in die Differentialgleichung +\[ +(1-x^2) +\cdot +\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}} +- +x +\cdot +\frac{1}{(1-x^2)^{\frac12}} += +0. +\] +Die Arkus-Sinus-Funktion ist also tatsächlich eine Lösung der +Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:beispiel:arcsindgl}. +\end{beispiel} + +% +% +% +\subsubsection{Differentialgleichung für Funktionen, die aus $\mathstrut_0F_1$ zusammengesetzt sind} +Die Substitutionen +\eqref{buch:differentialgleichungen:hypergeometrisch:wsubst} +angewendet auf die Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:0f1:dgl} +der Funktion $\mathstrut_0F_1$ +liefert +% +%(%i60) ratsimp(subst(0,F,subst(0,Fp,e0f1))/Fpp) +%(%o60) x^2 +%(%i61) ratsimp(subst(0,F,subst(0,Fpp,e0f1))/Fp) +%(%o61) ((-2*rho)+(beta-1)*nu+1)*x +%(%i62) ratsimp(subst(0,Fp,subst(0,Fpp,e0f1))/F) +%(%o62) (-nu^2*s*x^nu)+rho^2+(1-beta)*nu*rho +\begin{equation} +x^2f'' ++ +(-2\varrho+(\beta-1)\nu+1)xf' ++ +(-\nu^2sx^\nu + \varrho^2 -(\beta-1)\nu\varrho)f += +0. +\label{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} +\end{equation} +Die nächsten zwei Abschnitte sollen zeigen, wie sich daraus für die +Bessel-Funktionen wie auch die Airy-Funktionen, die sich durch +$\mathstrut_0F_1$ ausdrücken, die Besselsche und die Airysche +Differentialgleichung wiedergewonnen werden kann. + +% +% Besselsche Differentialgleichung +% +\subsubsection{Besselsche Differentialgleichung} +Die Besselfunktionen lassen sich in der Form +\begin{equation} +J_\alpha(x) += +\frac{(x/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \, +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\alpha+1\end{matrix};-\frac14x^2 +\biggr) += +\frac{1}{2^\alpha\Gamma(\alpha+1)} +x^\varrho\cdot +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\b\end{matrix};sx^\nu +\biggr) +\label{buch:differentialgleichungen:0f1:besselfunktion} +\end{equation} +schreiben. +Somit sollte sich aus der +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:0f1:dgl} +der Funktion $\mathstrut_0F_1$ die Besselsche Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} rekonstruieren lassen. +Dazu substituieren wir die aus +\eqref{buch:differentialgleichungen:0f1:besselfunktion} +abgelesenen Parameter +\[ +\varrho=\alpha,\quad\nu=2,\quad s=-\frac14,\quad b=\alpha+1 +\] +in \eqref{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} und erhalten +die Differentialgleichung +\begin{equation} +x^2y'' ++ +%(-2\alpha+2\alpha+1)xy' +xy' ++ +%(-4sx^2 + \alpha^2 -2\alpha^2)y +(x^2 - \alpha^2)y += +0. +\label{buch:differentialgleichungen:0F1:besseldgl} +\end{equation} +Dies ist tatsächlich die Besselsche Differentialgleichung. + +% +% Airy-Differentialgleichung +% +\subsubsection{Die Airy-Differentialgleichung} +Die in Aufgabe \ref{501} untersuchte +Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$ hat die Funktionen +\begin{align*} +y_1(x) +&= +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}9 +\biggr) +=x^\varrho\cdot \mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\b\end{matrix};sx^\nu +\biggr) +&&\text{mit $\varrho=0$, $\nu=3$, $s=\frac19$, $b=\frac23$, } +\intertext{und} +y_2(x) +&= +x\cdot +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}9 +\biggr) +=x^\varrho\cdot \mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\b\end{matrix};sx^\nu +\biggr) +&&\text{mit $\varrho=1$, $\nu=3$, $s=\frac19$, $b=\frac43$, } +\end{align*} +als Lösungen. +Die Differentialgleichung von $\mathstrut_0F_1$ sollte sich in diesem +Fall also auf die Airy-Differentialgleichung reduzieren lassen. + +Bei der Substition der Parameter in die Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:0F1:dgl} beachten wird, dass +die beiden möglichen Werte für $b$ auf $b-1=\pm\frac13$ +führen, mit dem positiven Zeichen für den zweiten Fall, in dem $\varrho=1$ +ist. +So ergibt sich die Differentialgleichung +\begin{align*} +x^2y'' ++ +(-2\varrho\pm\frac13\cdot 3+1)xy' ++ +(-x^\nu + \varrho^2 \mp\frac13\cdot 3\varrho)y +&= +0 +\\ +x^2y'' ++ +(-2\varrho\pm1+1)xy' ++ +(-x^3 + \varrho^2 \mp\varrho)y +&= +0 +\\ +x^2y'' +- +x^3y +&= +0 +\qquad\Rightarrow\qquad y''-xy=0. +\end{align*} +Dies ist wie erwartet die Airy-Differentialgleichung. diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index 127f4d7..2d95fb2 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Potenzreihenmethode \label{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode}} +\rhead{Potenzreihenmethode} Die Potenzreihenmethode versucht die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung als Potenzreihe um die Anfangsbedingung zu entwickeln. diff --git a/buch/chapters/050-differential/w.maxima b/buch/chapters/050-differential/w.maxima new file mode 100644 index 0000000..24dd91d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/050-differential/w.maxima @@ -0,0 +1,101 @@ + +z: s*x^2; +equation: z*(1-z)*Ypp + (c-(a+b+1)*z)*Yp-a*b*Y; + +gradef(w(x), wp(x)); +gradef(wp(x), wpp(x)); + +g: w(z); +gp: diff(g, x); +gpp: diff(gp, x); + +Ag: matrix( +[ coeff(g, w(z)), coeff(g, wp(z)), coeff(g, wpp(z)) ], +[ coeff(gp, w(z)), coeff(gp, wp(z)), coeff(gp, wpp(z)) ], +[ coeff(gpp,w(z)), coeff(gpp,wp(z)), coeff(gpp,wpp(z)) ] +); +Agi: invert(Ag); +W: Agi.matrix([G],[Gp],[Gpp]); + +eg: subst(W[1,1], Y, equation); +eg: subst(W[2,1], Yp, eg); +eg: subst(W[3,1], Ypp, eg); +eg: 4*s*x*eg; +eg: expand(ratsimp(eg)); +ratsimp(subst(0, G, subst(0, Gp, eg)) / Gpp); +ratsimp(subst(0, G, subst(0, Gpp, eg)) / Gp); +ratsimp(subst(0, Gp, subst(0, Gpp, eg)) / G); + + +u: x*w(z); +up: diff(u, x); +upp: diff(up, x); + +Au: matrix( +[ coeff(u, w(z)), coeff(u, wp(z)), coeff(u, wpp(z)) ], +[ coeff(up, w(z)), coeff(up, wp(z)), coeff(up, wpp(z)) ], +[ coeff(upp,w(z)), coeff(upp,wp(z)), coeff(upp,wpp(z)) ] +); +Aui: invert(Au); +W: Aui.matrix([U],[Up],[Upp]); + +eu: subst(W[1,1], Y, equation); +eu: subst(W[2,1], Yp, eu); +eu: subst(W[3,1], Ypp, eu); +eu: 4*s*x^3*eu; +eu: expand(ratsimp(eu)); +display2d: false$ +ratsimp(subst(0, U, subst(0, Up, eu)) / Upp); +ratsimp(subst(0, U, subst(0, Upp, eu)) / Up); +ratsimp(subst(0, Up, subst(0, Upp, eu)) / U); + +display2d: true$ + +/* allgemeiner Fall, f(x) = x^nu w(s * x^rho) */ + +z: s*x^nu; +f: x^rho * w(z); +fp: diff(f, x); +fpp: diff(fp, x); + +Af: ratsimp(matrix( +[ coeff(f, w(z)), coeff(f, wp(z)), coeff(f, wpp(z)) ], +[ coeff(fp, w(z)), coeff(fp, wp(z)), coeff(fp, wpp(z)) ], +[ coeff(fpp,w(z)), coeff(fpp,wp(z)), coeff(fpp,wpp(z)) ] +)); +Afi: invert(Af); +Afi: ratsimp(Afi); +W: Afi.matrix([F],[Fp],[Fpp]); + +ef: subst(W[1,1], Y, equation); +ef: subst(W[2,1], Yp, ef); +ef: subst(W[3,1], Ypp, ef); + ef: s * nu^2 * ef; +ef: expand(ratsimp(ef)); +display2d: true$ +c2: ratsimp(subst(0, F, subst(0, Fp, ef)) / Fpp); +c1: ratsimp(subst(0, F, subst(0, Fpp, ef)) / Fp); +c0: ratsimp(subst(0, Fp, subst(0, Fpp, ef)) / F); + +ratsimp(subst(1, s, subst(3/2, c, subst(1/2, b, subst(1/2, a, + subst(2, nu, subst(1, rho, c2))))))); +ratsimp(subst(1, s, subst(3/2, c, subst(1/2, b, subst(1/2, a, + subst(2, nu, subst(1, rho, c1))))))); +ratsimp(subst(1, s, subst(3/2, c, subst(1/2, b, subst(1/2, a, + subst(2, nu, subst(1, rho, c0))))))); + + +/* Differentialgleichung von 0F1 */ + +display2d: true$ +equation0f1: z*Ypp + beta*Yp - Y; +e0f1: subst(W[1,1], Y, equation0f1); +e0f1: subst(W[2,1], Yp, e0f1); +e0f1: subst(W[3,1], Ypp, e0f1); +e0f1: s*nu^2*x^(rho+nu) * e0f1; +e0f1: expand(ratsimp(e0f1)); +display2d: false$ +ratsimp(subst(0, F, subst(0, Fp, e0f1)) / Fpp); +ratsimp(subst(0, F, subst(0, Fpp, e0f1)) / Fp); +ratsimp(subst(0, Fp, subst(0, Fpp, e0f1)) / F); + |