diff options
Diffstat (limited to 'buch/chapters/050-differential')
| -rw-r--r-- | buch/chapters/050-differential/bessel.tex | 27 |
1 files changed, 25 insertions, 2 deletions
diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex index 5cf15b5..b07002d 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex @@ -20,14 +20,37 @@ die Bessel-Funktionen. \subsection{Die Besselsche Differentialgleichung} % XXX Wo taucht diese Gleichung auf Die Besselsche Differentialgleichung ist die Differentialgleichung -\[ +\begin{equation} x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2-\alpha^2)y = 0 -\] +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +\end{equation} zweiter Ordnung für eine auf dem Interval $[0,\infty)$ definierte Funktion $y(x)$. Der Parameter $\alpha$ ist eine beliebige komplexe Zahl $\alpha\in \mathbb{C}$, die Lösungsfunktionen hängen daher von $\alpha$ ab. +\subsubsection{Eigenwertproblem} +Die Besselsche Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator +\index{Bessel-Operator}% +\[ +B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + x^2 +\] +schreiben. +Eine Lösung $y(x)$ der Gleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +erfüllt +\[ +By += +x^2y''+xy+x^2y +=\alpha^2 y, +\] +ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert +$\alpha$. + +\subsubsection{Indexgleichung} Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Art~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg} mit \[ |