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diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index 0ea9c0c..2b7bf41 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -3,9 +3,9 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Orthogonalität -\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}} -\rhead{Orthogonale Polynome} +\section{Orthogonale Funktionenfamilien +\label{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}} +\rhead{Orthogonale Funktionenfamilien} Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals @@ -368,96 +368,96 @@ Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal. Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind. +%% +%% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie +%% +%\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} +%Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. +%Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ +%mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass +%auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt. +%Das Skalarprodukt ist +%\[ +%\langle f,g\rangle +%= +%\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr, +%\] +%als Operator verwenden wir +%\[ +%A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r), +%\] +%wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann. +%Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist. +%Dazu rechnen wir +%\begin{align} +%\langle Af,g\rangle +%&= +%\int_0^\infty +%r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r) +%\,dr +%\notag +%\\ +%&= +%\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr +%+ +%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr +%+ +%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. +%\notag +%\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher +%ändern wir daran weiter nichts. +%Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält} +%&= +%\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty +%- +%\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr +%+ +%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr +%+ +%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. +%\notag +%\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die +%Funktionen $f$ und $g$. +%Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das +%zweite Integral weg. +%Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$. +%Somit ergibt sich +%} +%&= +%-\langle f',g'\rangle +%+ +%\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr. +%\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa} +%\end{align} +%Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im +%letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen +%$f$ und $g$ symmetrische auftreten. +%Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist. +%Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch +%orthogonal sind. % -% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie +%Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung +%\[ +%\begin{aligned} +%&& +%Af&=\lambda f +%\\ +%&\Rightarrow\qquad& +%f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r) +%\\ +%&\Rightarrow\qquad& +%r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0 +%\end{aligned} +%\] +%sind. +% +%Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator +%$B$ definiert in +%\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}. +%Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten +%des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die +%Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist. % -\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} -Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. -Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ -mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass -auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt. -Das Skalarprodukt ist -\[ -\langle f,g\rangle -= -\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr, -\] -als Operator verwenden wir -\[ -A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r), -\] -wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann. -Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist. -Dazu rechnen wir -\begin{align} -\langle Af,g\rangle -&= -\int_0^\infty -r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r) -\,dr -\notag -\\ -&= -\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr -+ -\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr -+ -\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. -\notag -\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher -ändern wir daran weiter nichts. -Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält} -&= -\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty -- -\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr -+ -\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr -+ -\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr. -\notag -\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die -Funktionen $f$ und $g$. -Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das -zweite Integral weg. -Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$. -Somit ergibt sich -} -&= --\langle f',g'\rangle -+ -\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr. -\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa} -\end{align} -Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im -letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen -$f$ und $g$ symmetrische auftreten. -Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist. -Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch -orthogonal sind. - -Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung -\[ -\begin{aligned} -&& -Af&=\lambda f -\\ -&\Rightarrow\qquad& -f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r) -\\ -&\Rightarrow\qquad& -r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0 -\end{aligned} -\] -sind. - -Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator -$B$ definiert in -\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}. -Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten -des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die -Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist. - % % Orthogonale Polynome % @@ -515,7 +515,7 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} dargestellt. \begin{figure} \centering -\includegraphics{chapters/060-integral/images/legendre.pdf} +\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.pdf} \caption{Graphen der Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=1,\dots,10$. \label{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}} \end{figure} @@ -663,7 +663,7 @@ setzen muss. \begin{figure} \centering -\includegraphics{chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf} +\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.pdf} \caption{Orthogonalität der Legendre-Polynome $P_4(x)$ ({\color{blue}blau}) und $P_7(x)$ ({\color{darkgreen}grün}). Die blaue Fläche ist die Fläche unter dem Graphen @@ -723,24 +723,3 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. -\input{chapters/060-integral/jacobi.tex} - -\subsection{TODO} -\begin{itemize} -\item Jacobi-Polynome -\item Tschebyscheff-Polynome -\end{itemize} - -%% -%% Differentialgleichungen -%% -%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} -%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} -%\subsubsection{Legendre-Polyome} -%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} -%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} - -\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex} -\input{chapters/060-integral/sturm.tex} -\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex} - |