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diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex index 7b24e9f..0ca164d 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex @@ -132,7 +132,9 @@ ac + 2bd + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2}) \end{align*} \end{beispiel} - +% +% Rationale Funktionen +% \subsubsection{Rationalen Funktionen} Die als Antworten auf die Frage nach einer Stammfunktion akzeptablen Funktionen sollten alle rationalen Zahlen sowie die unabhängige @@ -174,5 +176,28 @@ zweier Brüche auch für Nenner funktioniert, die Polynome sind, und die Summe wzeier Brüche von Polynomen wieder in einen Bruch von Polynomen umwandelt. +% +% Warum rationale Zahlen? +% +\subsubsection{Warum die Beschränkung auf rationale Zahlen?} +Aus mathematischer Sicht gibt es gute Gründe, Analysis im Körper $\mathbb{R}$ +oder $\mathbb{C}$ zu betreiben. +Da Ableitung und Integral als Grenzwerte definiert sind, stellt diese +Wahl des Körpers sicher, dass die Grenzwerte auch tatsächlich existieren. +Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass über $\mathbb{C}$ +jedes Polynome in Linearfaktoren zerlegt werden kann. + +Der Einfachheit der Analyse in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ steht +die Schwierigkeit gegenüber, beliebige Elemente von $\mathbb{R}$ in +einem Computer exakt darzustellen. +Für Brüche in $\mathbb{Q}$ gibt es eine solche Darstellung durch +Paare von Ganzzahlen, wie sie die GNU Multiprecision Arithmetic Library +\cite{buch:gmp} realisiert. +Irrationale Zahlen dagegen können nur exakt gehandhabt werden, wenn +man im wesentlichen symbolisch mit ihnen rechnet. +Die Grundlage dafür wird in +Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:koerpererweiterungen} +gelegt. + |