diff options
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r-- | buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex (renamed from buch/chapters/060-integral/sturm.tex) | 152 |
1 files changed, 141 insertions, 11 deletions
diff --git a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index e374bae..c8ee11a 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -3,14 +3,15 @@ % % (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\subsection{Sturm-Liouville-Problem +\section{Das Sturm-Liouville-Problem \label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}} +\rhead{Das Sturm-Liouville-Problem} Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden, dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. -\subsubsection{Differentialgleichung} +\subsection{Differentialgleichung} Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem. Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung \begin{equation} @@ -29,7 +30,7 @@ erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$ sowie die Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden. -\subsubsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen} +\subsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen} Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem. Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$. @@ -171,7 +172,7 @@ ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$. -\subsubsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung} +\subsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung} Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden. Dazu schreiben wir \[ @@ -271,7 +272,7 @@ Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung \eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} erfüllt sein muss. -\subsubsection{Skalarprodukt} +\subsection{Skalarprodukt} Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem Funktionenraum mit einem geeigneten Skalarprodukt zu finden. @@ -310,7 +311,7 @@ mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden. Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im Innerend es Intervalls sein. -\subsubsection{Der Vektorraum $H$} +\subsection{Der Vektorraum $H$} Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden Funktionen zusammenstellen. Zunächst müssen sie auf dem Intervall $[a,b]$ definiert sein und @@ -342,7 +343,7 @@ f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\; \biggr\}. \] -\subsubsection{Differentialoperator} +\subsection{Differentialoperator} Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$ bezüglich des modifizierten Skalarproduktes. @@ -362,9 +363,13 @@ $\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert. Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt definierten Vektorraumes $H$. +\subsection{Beispiele} +Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich +als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus. +Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher +automatisch für diese Funktionenfamilien. - -\subsubsection{Beispiel: Trigonometrische Funktionen} +\subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ und $w(x)=0$. @@ -426,7 +431,7 @@ Dann ist wegen die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. -\subsubsection{Beispiel: Bessel-Funktionen} +\subsubsection{Bessel-Funktionen} Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators \[ @@ -438,7 +443,7 @@ mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$. XXX TODO: Faktor 2 fehlt. -\subsubsection{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome} +\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der Tschebyscheff-Differentialgleichung \[ @@ -477,3 +482,128 @@ bezüglich des Skalarproduktes \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \] +\subsubsection{Jacobi-Polynome} +TODO + +\subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} +%\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} +Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung +lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators +bringen. +Dazu setzt man +\begin{align*} +p(z) +&= +z^c(z-1)^{a+b+1-c} +\\ +q(z) +&= +-abz^{c-1}(z-1)^{a+b-c} +\\ +w(z) +&= +z^{c-1}(z-1)^{a+b-c}. +\end{align*} +Setzt man dies in den Sturm-Liouville-Operator ein, erhält man +\begin{equation} +L += +-\frac{d}{dz}p(z)\frac{d}{dz} + q(z) += +-p(z)\frac{d^2}{dz^2} +-p'(z)\frac{d}{dz} ++q(z) +\label{buch:orthgonalitaet:eqn:hypersturm} +\end{equation} +Wir brauchen also +\begin{align*} +p'(z) +&= +cz^{c-1}(z-1)^{a+b+1-c} ++ +(a+b+1-c) +z^c +(z-1)^{a+b-c} +\\ +&= +\bigl( +c(z-1)+ +(a+b+1-c)z +\bigr) +\cdot +z^{c-1}(z-1)^{a+b-c} +\\ +&= +- +\bigl( +c-(a+b+1)z +\bigr) +\cdot +z^{c-1}(z-1)^{a+b-c}. +\end{align*} +Einsetzen in~\eqref{buch:orthgonalitaet:eqn:hypersturm} liefert +\begin{align*} +L +%= +%-\frac{d}{dz}p(z)\frac{d}{dz}+q(z) +&= +-z^c(z-1)^{a+b+1-c} \frac{d^2}{dz^2} ++ +w(z) +(c-(a+b+1)z) +\frac{d}{dz} +- +abw(z) +\\ +&= +w(z) +\biggl( +- +z(z-1) +\frac{d^2}{dz^2} ++ +(c-(a+b+1)z) +\frac{d}{dz} +-ab +\biggr) +\\ +&= +w(z) +\biggl( +z(1-z) +\frac{d^2}{dz^2} ++ +(c-(a+b+1)z) +\frac{d}{dz} +-ab +\biggr). +\end{align*} +Die Klammer auf der rechten Seite ist tatsächlich die linke Seite der +eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung. + +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(a,b;c;z)$ ist ein +Eigenvektor des Operators $L$ zum Eigenwert $\lambda$. +Sei jetzt $w(z)$ eine Eigenfunktion zum Eigenwert $\lambda\ne 0$, +also +\[ +z(1-z)w''(z) + (c-(a+b+1)z)w'(z) - ab w(z) = \lambda w(z). +\] +Kann man $a$ und $b$ so in $a_1$ und $b_1$ ändern, dass $a+b=a_1+b_1$ +gleich bleiben aber das Produkt den Wert $a_1b_1=ab-\lambda$? +$a_1$ und $b_1$ sind die Lösungen der quadratischen Gleichung +\[ +x^2 - (a+b)x + ab-\lambda = 0. +\] +Alle Eigenfunktionen des Operators $L$ sind also hypergeometrische +Funktion $\mathstrut_2F_1$. + +Da die Gewichtsfunktion $w(z)$ bei der Ersetzung $a\to a_1$ und $b\to b_1$ +sich nicht ändert ($w(z)$ hängt nur von der Summe $a+b$ ab, welche sich +nicht ändert), sind die beide beiden Eigenfunktionen bezüglich +des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(z)$ orthogonal. + + + + + + |