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diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index 9cc5356..09be355 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -9,5 +9,6 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ chapters/060-integral/orthogonal.tex \ + chapters/060-integral/legendredgl.tex \ chapters/060-integral/gaussquadratur.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex new file mode 100644 index 0000000..9aeac40 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex @@ -0,0 +1,369 @@ +% +% legendredgl.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten +Polynomen gefunden. +Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen. +In diesem Abschnitt sollen diese Funktionen mit der Potenzreihen-Methode +wiedergefunden werden. +Dabei stellt sich heraus, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen eines +selbstadjungierten Differentialgoperator sind. +Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten +Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu +verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. + +\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} +Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung +\begin{equation} +(1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0 +\label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} +\end{equation} +für eine Funktion $y(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$. + +Sei $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung +\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}. +Setzt man $y_s(x)=y(-x)$ in die Differentialgleichung ein, erhält +man +\[ +(1-x^2)y_s''(x) - 2x y'_s(x) + n(n+1)y_s(x) += +(1-x^2)y''(-x) +2x y(-x) +n(n+1)y(-x). +\] +Ersetzt man $t=-x$, dann wird daraus +\[ +(1-x^2)y''(t) -2t y(t) + n(n+1) y(t) = 0 +\] +aus der Differentialgleichung +\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}. +Insbesondere ist die gespiegelte Funktion $y_s(x)$ ebenfalls +eine Lösung der Differentialgleichung. + +Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung ist, dann lässt +sie sich in die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion +\[ +\left. +\begin{aligned} +y_g(x) &= \frac{y(x)+y(-x)}{2}\\ +y_u(x) &= \frac{y(x)-y(-x)}{2} +\end{aligned} +\quad +\right\} +\quad +\Rightarrow +\quad +y(x) = y_g(x) + y_u(x) +\] +zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen +$y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung +sind. + +\subsubsection{Potenzreihenlösung} +Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und +verwenden dazu den Ansatz +\[ +y(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k. +\] +\begin{align*} +(1-x^2) \sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2} +-2x\sum_{k=0}^\infty ka_kx^{k-1} ++ +n(n+1)\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +&= +0 +\\ +\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k +- +\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^k +- +2\sum_{k=1}^\infty ka_kx^k ++ +n(n+1)\sum_{k=0}^\infty a_kx^k +&= +0 +\end{align*} +Die Koeffizienten zur Potenz $k$ sind daher +\begin{align} +k&=0: +& +0&= +2a_2+n(n+1)a_0 +\notag +\\ +&& +a_2&=-\frac{n(n+1)}{2}a_0 +\notag +\\ +k&=1: +& +0&= +6a_3-2a_1+n(n+1)a_1 +\notag +\\ +&& +a_3&= \frac{2-n(n+1)}{6}a_1 +\notag +\\ +k&>1: +& +0&= +(k+2)(k+1)a_{k+2} -k(k-1)a_k -2ka_k +n(n+1) a_k +\notag +\\ +&& +a_{k+2} +&= +\frac{ k(k+1)-n(n+1) }{(k+2)(k+1)} +a_k +\label{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} +\end{align} +Wenn $a_1=0$ und $a_0\ne 1$ ist, dann ist die Funktion $y(x)$ gerade, +alle ungeraden Koeffizienten verschwinden. +Ebenso verschwinden alle geraden Koeffizienten, wenn $a_0=0$ und $a_1\ne 0$. +Für jede Lösung $y(x)$ der Differentialgleichung ist +$y_g(x)$ ein Lösung mit $a_1=0$ und $y_u(x)$ eine Lösung mit $a_0=0$. +Wir können die Diskussion der Lösungen daher auf gerade oder ungerade +Lösungen einschränken. + +Gesucht ist jetzt eine Lösung in Form eines Polynoms. +In diesem Fall müssen die Koeffizienten $a_k$ ab einem +gewissen Index verschwinden. +Dies tritt nach \eqref{buch:integral:legendre-dgl:eqn:akrek} genau +dann auf, wenn der Zähler für ein $k$ verschwindet. +Folglich gibt es genau dann Polynomlösungen der Differentialgleichungen, +wenn $n$ eine natürlich Zahl ist. +Ausserdem ist die Lösung ein Polynom $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$. +Das Polynom soll wieder so normiert sein, dass $\bar{P}_n(1)=1$ ist. + +Die Lösungen der Differentialgleichungen können jetzt explizit +berechnet werden. +Zunächst ist $\bar{P}_0(x)=1$ und $\bar{P}_1(x)=x$. +Für $n=2$ setzen wir zunächst $a_0=1$ und $a_1=0$ und erhalten +\[ +y(x) += +1 + \frac{0(0+1) - 2(2+1)}{(0+2)(0+1)}a_0 x^2 += +1 +-3x^2 +\qquad\text{oder}\qquad +\bar{P}_3(x) = \frac12(3x^2-1). +\] +Für $n=3$ starten wir von $a_1=1$ und $a_0=0$, was zunächst $a_2=0$ +impliziert. +Für $a_3$ finden wir +\[ +a_3=\frac{1(1+1)-3(3+1)}{(1+2)(1+1)} = -\frac53 +\qquad\Rightarrow\qquad +y(x) = x-\frac53x^3 +\qquad\Rightarrow\qquad +\bar{P}_3(x) = \frac12(5x^3-3x). +\] +Dies stimmt überein mit den früher gefundenen Ausdrücken für +die Legendre-Polynome. + +Die Potenzreihenlösung zeigt zwar, dass es für jedes $n\in\mathbb{N}$ +eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt. +Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome +orthogonal sind. + +\subsubsection{Eigenfunktionen} +Die Differentialgleichung +\eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} +Kann mit dem Differentialoperator +\[ +D = \frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx} +\] +als +\[ +Dy + n(n+1)y = 0 +\] +geschrieben werden. +Tatsächlich ist +\[ +Dy += +\frac{d}{dx} (1-x^2) \frac{d}{dy} += +\frac{d}{dx} (1-x^2)y' += +(1-x^2)y'' -2x y'. +\] +Dies bedeutet, dass die Lösungen $\bar{P}_n(x)$ Eigenfunktionen +des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind: +\[ +D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n. +\] + +\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} +Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn +für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt +\[ +\langle Af,g\rangle = \langle f,Ag\rangle +\] +gilt. +Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen, +dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen +Eigenwerten orthogonal sind. +Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen +\begin{equation*} +\begin{array}{rcccl} +\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\langle f,g\rangle +\\ +=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\langle f,g\rangle +\\ + & & 0 &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle +\end{array} +\end{equation*} +Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein. + +Der Operator $D$ ist selbstadjungiert, d.~h. +für zwei beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion $f$ und $g$ +auf dem Intervall $[-1,1]$ gilt +\begin{align*} +\langle Df,g\rangle +&= +\int_{-1}^1 (Df)(x) g(x) \,dx +\\ +&= +\int_{-1}^1 +\biggl(\frac{d}{dx} (1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x) +\,dx +\\ +&= +\underbrace{ +\biggl[ +\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) g(x) +\biggr]_{-1}^1 +}_{\displaystyle = 0} +- +\int_{-1}^1 +\biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \frac{d}{dx}g(x) +\,dx +\\ +&= +- +\int_{-1}^1 +\biggl(\frac{d}{dx}f(x)\biggr) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr) +\,dx +\\ +&= +- +\underbrace{ +\biggl[ +f(x) \biggl((1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr) +\biggr]_{-1}^1}_{\displaystyle = 0} ++ +\int_{-1}^1 +f(x) \biggl(\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d}{dx}g(x)\biggr) +\,dx +\\ +&= +\langle f,Dg\rangle. +\end{align*} +Dies beweist, dass $D$ selbstadjungiert ist. +Da $\bar{P}_n$ Eigenwerte des selbstadjungierten Operators $D$ zu +den verschiedenen Eigenwerten $-n(n+1)$ sind, folgt auch, dass +die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die +gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome +erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$. + +\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} + +Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der +Legendreschen Differentialgleichung, die sich nicht als Polynome +darstellen lassen. +Ist $n$ gerade, dann liefern die Anfangswerte $a_0=0$ und $a_1=1$ +eine ungerade Funktion, die Folge der Koeffizienten bricht +aber nicht ab, vielmehr ist +\begin{align*} +a_{k+2} +&= +\frac{k(k+1)}{(k+1)(k+2)}a_k += +\frac{k}{k+2}a_k. +\end{align*} +Durch wiederholte Anwendung dieser Rekursionsformel findet man +\[ +a_{k} += +\frac{k-2}{k}a_{k-2} += +\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}a_{k-4} += +\frac{k-2}{k}\frac{k-4}{k-2}\frac{k-6}{k-4}a_{k-6} += +\dots += +\frac{1}{k}a_1. +\] +Die Lösung hat daher die Reihenentwicklung +\[ +Q_0(x) = x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7+\dots += +\frac12\log \frac{1+x}{1-x} += +\operatorname{artanh}x. +\] +Die Funktion $Q_0(x)$ heisst {\em Legendre-Funktion zweiter Art}. + +Für $n=1$ wird die Reihenentwicklung $a_0=1$ und $a_1=0$ etwas +interessanter. +Die Rekursionsformel für die Koeffizienten ist +\[ +a_{k+2} += +\frac{k(k+1)-2}{(k+1)(k+2)} a_k. +\qquad\text{oder}\qquad +a_k += +\frac{(k-1)(k-2)-2}{k(k-1)} +a_{k-2} +\] +Man erhält der Reihe nach +\begin{align*} +a_2 &= \frac{-2}{2\cdot 1} a_0 = -1 +\\ +a_3 &= 0 +\\ +a_4 &= \frac{3\cdot 2-2}{4\cdot 3} a_2 = \frac{4}{4\cdot 3}a_2 = \frac13a_2 = -\frac13 +\\ +a_5 &= 0 +\\ +a_6 &= \frac{5\cdot 4-2}{6\cdot 5}a_4 = \frac{18}{6\cdot 5}a_4 = -\frac15 +\\ +a_7 &= 0 +\\ +a_8 &= \frac{7\cdot 6-2}{8\cdot 7}a_6 = \frac{40}{8\cdot 7} = -\frac17 +\\ +a_9 &= 0 +a_{10} &= \frac{9\cdot 8-2}{10\cdot 9}a_8 = \frac{70}{10\cdot 9} = -\frac19, +\end{align*} +woraus sich die Reihenentwicklung +\begin{align*} +y(x) +&= +-x^2 -\frac13x^4 -\frac15x^6 - \frac17x^8 -\frac19x^{10}-\dots +\\ +&= +-x\biggl(x+\frac13x^3 + \frac15x^5 + \frac17x^7 + \frac19x^9+\dots\biggr) += +-x\operatorname{artanh}x. +\end{align*} +Die {\em Legendre-Funktionen zweiter Art} $Q_n(x)$ werden allerdings +so definiert, dass gewisse Rekursionsformeln für die Legendre-Polynome, +die wir hier nicht hergeleitet haben, auch für die $Q_n(x)$ gelten. +In dieser Normierung muss statt des eben berechneten $y(x)$ die Funktion +\[ +Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 +\] +verwendet werden. + + + + + + diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex index ceba53a..109cd61 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex @@ -508,496 +508,15 @@ Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. -% -% Differentialgleichungen -% -\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} -\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} -\subsubsection{Legendre-Polyome} -\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} -Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} - %% -%% Anwendung: Gauss-Quadratur +%% Differentialgleichungen %% -%\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur} -%Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem -%von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. -%Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr -%gut durch Polynome approximieren lassen. -%Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome -%sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für -%andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird. -% -%\subsubsection{Interpolationspolynome} -%Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ -%ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten -%$x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt. -%Ein solches Polynom $p(x)$ hat $n+1$ Koeffizienten, die aus dem -%linearen Gleichungssystem der $n+1$ Gleichungen $p(x_i)=f(x_i)$ -%ermittelt werden können. -% -%Das Interpolationspolynom $p(x)$ lässt sich abera uch direkt -%angeben. -%Dazu konstruiert man zuerst die Polynome -%\[ -%l_i(x) -%= -%\frac{ -%(x-x_0)(x-x_1)\cdots\widehat{(x-x_i)}\cdots (x-x_n) -%}{ -%(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots\widehat{(x_i-x_i)}\cdots (x_i-x_n) -%} -%\] -%vom Grad $n$, wobei der Hut bedeutet, dass diese Faktoren -%im Produkt wegzulassen sind. -%Die Polynome $l_i(x)$ haben die Eigenschaft -%\[ -%l_i(x_j) = \delta_{ij} -%= -%\begin{cases} -%1&\qquad i=j\\ -%0&\qquad\text{sonst}. -%\end{cases} -%\] -%Die Linearkombination -%\[ -%p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x) -%\] -%ist dann ein Polynom vom Grad $n$, welches am den Stellen $x_j$ -%die Werte -%\[ -%p(x_j) -%= -%\sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x_j) -%= -%\sum_{i=0}^n f(x_i)\delta_{ij} -%= -%f(x_j) -%\] -%hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom. -% -%\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation} -%Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ -%kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden. -%Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt -%für die Integrale -%\[ -%\biggl|\int_{-1}^1 f(x)\,dx -\int_{-1}^1p(x)\,dx\biggr| -%\le -%\int_{-1}^1 |f(x)-p(x)|\,dx -%\le -%2\varepsilon. -%\] -%Ein Interpolationspolynom mit kleinem Fehler liefert also auch -%eine gute Approximation für das Integral. -% -%Da das Interpolationspolynome durch die Funktionswerte $f(x_i)$ -%bestimmt ist, muss auch das Integral allein aus diesen Funktionswerten -%berechnet werden können. -%Tatsächlich ist -%\begin{equation} -%\int_{-1}^1 p(x)\,dx -%= -%\int_{-1}^1 \sum_{i=0}^n f(x_i)l_i(x)\,dx -%= -%\sum_{i=0}^n f(x_i) -%\underbrace{\int_{-1}^1 -%l_i(x)\,dx}_{\displaystyle = A_i}. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef} -%\end{equation} -%Das Integral von $f(x)$ wird also durch eine mit den Zahlen $A_i$ -%gewichtete Summe -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx -%\approx -%\sum_{i=1}^n f(x_i)A_i -%\] -%approximiert. -% -%\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind} -%Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten. -%Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben, -%braucht man $2n+1$ Stützstellen. -%Andererseits gilt -%\[ -%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x a_0\,dx -%= -%\int_{-1}^1 a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2}+\dots +a_2x^2 +a_0\,dx, -%\] -%das Integral ist also bereits durch die $n+1$ Koeffizienten mit geradem -%Index bestimmt. -%Es sollte daher möglich sein, aus $n+1$ Funktionswerten eines beliebigen -%Polynoms vom Grad höchstens $2n$ an geeignet gewählten Stützstellen das -%Integral exakt zu bestimmen. -% -%\begin{beispiel} -%Wir versuchen dies für quadratische Polynome durchzuführen, also -%für $n=1$. -%Gesucht sind also zwei Werte $x_i$, $i=0,1$ und Gewichte $A_i$, $i=0,1$ -%derart, dass für jedes quadratische Polynome $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ -%das Integral durch -%\[ -%\int_{-1}^1 p(x)\,dx -%= -%A_0 p(x_0) + A_1 p(x_1) -%\] -%gebeben ist. -%Indem wir für $p(x)$ die Polynome $1$, $x$, $x^2$ und $x^3$ einsetzen, -%erhalten wir vier Gleichungen -%\[ -%\begin{aligned} -%p(x)&=\rlap{$1$}\phantom{x^2}\colon& 2 &= A_0\phantom{x_0}+ A_1 \\ -%p(x)&=x^{\phantom{2}}\colon& 0 &= A_0x_0 + A_1x_1 \\ -%p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ -%p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. -%\end{aligned} -%\] -%Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form -%\[ -%\left. -%\begin{aligned} -%A_0x_0 &= -A_1x_1\\ -%A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 -%\end{aligned} -%\quad -%\right\} -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%x_0^2=x_1^2 -%\quad -%\Rightarrow -%\quad -%x_1=-x_0. -%\] -%Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir -%\[ -%0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 -%\quad\Rightarrow\quad -%A_0=A_1. -%\] -%Aus der ersten Gleichung folgt jetzt -%\[ -%2= A_0+A_1 = 2A_0 \quad\Rightarrow\quad A_0 = 1. -%\] -%Damit bleiben nur noch die Werte von $x_i$ zu bestimmen, was -%mit Hilfe der zweiten Gleichung geschehen kann: -%\[ -%\frac23 = A_0x_0^2 + A_1x_1^2 = 2x_0^2 -%\quad\Rightarrow\quad -%x_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} -%\] -%Damit ist das Problem gelöst: das Integral eines Polynoms vom Grad 3 -%im Interval $[-1,1]$ ist exakt gegeben durch -%\[ -%\int_{-1}^1 p(x)\,dx -%= -%p\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr) -%+ -%p\biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr). -%\] -%Das Integral kann also durch nur zwei Auswertungen des Polynoms -%exakt bestimmt werden. -% -%Im Laufe der Lösung des Gleichungssystems wurden die Gewichte $A_i$ -%mit bestimmt. -%Es ist aber auch möglich, die Gewichte zu bestimmen, wenn man die -%Stützstellen kennt. -%Nach \eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:Aidef} -%sind sie die $A_i$ gegeben als Integrale der Polynome -%$l_i(x)$, die im vorliegenden Fall linear sind: -%\begin{align*} -%l_0(x) -%&= -%\frac{x-x_1}{x_0-x_1} -%= -%\frac{x-\frac1{\sqrt{3}}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} -%= -%\frac12(1-\sqrt{3}x) -%\\ -%l_1(x) -%&= -%\frac{x-x_0}{x_1-x_0} -%= -%\frac{x+\frac1{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} -%= -%\frac12(1+\sqrt{3}x) -%\end{align*} -%Diese haben die Integrale -%\[ -%\int_{-1}^1\frac12(1\pm\sqrt{3}x)\,dx -%= -%\int_{-1}^1 \frac12\,dx -%= -%1, -%\] -%da das Polynom $x$ verschwindendes Integral hat. -%Dies stimmt mit $A_0=A_1=1$ überein. -%\label{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} -%\end{beispiel} -% -%Das eben vorgestellt Verfahren kann natürlich auf beliebiges $n$ -%verallgemeinert werden. -%Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und -%Gewichte sehr mühsam. -% -%\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome} -%Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum -%der Polynome vom Grad $n$. -% -%\begin{satz} -%\label{buch:integral:satz:gaussquadratur} -%Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$ -%orthogonal sind. -%Seien ausserdem $x_0<x_1<\dots<x_n$ Stützstellen im Intervall $[-1,1]$ -%und $A_i\in\mathbb{R}$ Gewichte derart dass -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx = -%\sum_{i=0}^n A_if(x_i) -%\] -%für jedes Polynom $f$ vom Grad höchstens $2n-1$, dann sind die Zahlen -%$x_i$ die Nullstellen des Polynoms $p$. -%\end{satz} -% -%\begin{proof}[Beweis] -%Sei $f(x)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $2n-1$. -%Nach dem Polynomdivisionsalgorithmus gibt es -%Polynome $q,r\in R_{n-1}$ derart, dass $f=qp+r$. -%Dann ist das Integral von $f$ gegeben durch -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx -%= -%\int_{-1}^1q(x) p(x)\,dx + \int_{-1}^1 r(x)\,dx -%= -%\langle q,p\rangle + \int_{-1}^1 r(x)\,dx. -%\] -%Da $p\perp R_{n-1}$ folgt insbesondere, dass $\langle q,p\rangle=0$. -% -%Da die Integrale auch aus den Werten in den Stützstellen berechnet -%werden können, muss auch -%\[ -%0 -%= -%\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx -%= -%\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) -%\] -%für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. -%Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden -%kann, den Grad $n-1$ haben, folgt -%\[ -%0 -%= -%\sum_{i=0}^n -%l_j(x_i)p(x_i) -%= -%\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), -%\] -%die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms -%$p(x)$ sein. -%\end{proof} -% -%Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das -%{\em Gausssche Quadraturverfahren}. -%Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome} -%bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz -%verlangte Eigenschaft, -%dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. -%Wählt man die $n$ Nullstellen von $P_n$ als Stützstellen, erhält man -%automatisch ein Integrationsverfahren, welches für Polynome vom Grad -%$2n-1$ exakt ist. -% -%\begin{beispiel} -%Das Legendre-Polynom $P_2(x) = \frac12(3x^2-1)$ hat die -%Nullstellen $x=\pm1/\sqrt{3}$, dies sind genau die im Beispiel -%auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen -%Sützstellen. -%\end{beispiel} -% -%\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur} -%Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet -%Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt. -%Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung -%angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}. -% -%\begin{satz} -%Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer -%Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$ -%eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare -%Funktion, dann ist der $E$ Fehler des Integrals -%\[ -%\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \sum_{i=0}^n A_i f(x_i) + E -%\] -%gegeben durch -%\begin{equation} -%E = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\int_{-1}^1 l(x)^2\,dx, -%\label{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel} -%\end{equation} -%wobei $l(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$ und $\xi$ ein geeigneter -%Wert im Intervall $[-1,1]$ ist. -%\end{satz} -% -%Dank dem Faktor $(2n+2)!$ im Nenner von -%\eqref{buch:integral:gaussquadratur:eqn:fehlerformel} -%geht der Fehler für grosses $n$ sehr schnell gegen $0$. -%Man kann auch zeigen, dass die mit Gauss-Quadratur mit $n+1$ -%Stützstellen berechneten Näherungswerte eines Integrals einer -%stetigen Funktion $f(x)$ für $n\to\infty$ immer gegen den wahren -%Wert des Integrals konvergieren. -% -%\begin{table} -%\def\u#1{\underline{#1}} -%\centering -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%\hline -% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%\hline -%\phantom{0}2 & 0.\u{95}74271077563381 & 0.\u{95}63709682242596 \\ -%\phantom{0}4 & 0.\u{95661}28333449730 & 0.\u{956}5513401768598 \\ -%\phantom{0}6 & 0.\u{9566114}812034364 & 0.\u{956}5847489712136 \\ -%\phantom{0}8 & 0.\u{956611477}5028123 & 0.\u{956}5964425360520 \\ -% 10 & 0.\u{9566114774905}637 & 0.\u{9566}018550715587 \\ -% 12 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}047952369826 \\ -% 14 & 0.\u{95661147749051}72 & 0.\u{9566}065680717177 \\ -% 16 & 0.\u{956611477490518}7 & 0.\u{9566}077187127541 \\ -% 18 & 0.\u{956611477490518}3 & 0.\u{9566}085075898731 \\ -% 20 & 0.\u{956611477490518}4 & 0.\u{9566}090718697414 \\ -%\hline -% \infty & 0.9566114774905183 & 0.9566114774905183 \\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ -%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal -%so vielen Stützstellen. -%Bereits mit 12 Stützstellen erreicht die Gauss-Quadratur -%Maschinengenauigkeit, die Trapezregel liefert auch mit 200 Stützstellen -%nicht mehr als 4 korrekte Nachkommastellen. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.5}} -%\end{table} -% -%%\begin{table} -%%\def\u#1{\underline{#1}} -%%\centering -%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%%\hline -%% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%%\hline -%%\phantom{0}2 & 1.\u{5}379206741571556 & 1.\u{5}093105464758343 \\ -%%\phantom{0}4 & 1.\u{51}32373472933831 & 1.\u{51}13754509594814 \\ -%%\phantom{0}6 & 1.\u{512}1624557410367 & 1.\u{51}17610879524799 \\ -%%\phantom{0}8 & 1.\u{51207}93479994321 & 1.\u{51}18963282632112 \\ -%% 10 & 1.\u{51207}13859966004 & 1.\u{51}19589735776959 \\ -%% 12 & 1.\u{512070}5317779943 & 1.\u{51}19930161260693 \\ -%% 14 & 1.\u{5120704}334802813 & 1.\u{5120}135471596636 \\ -%% 16 & 1.\u{5120704}216176006 & 1.\u{5120}268743889558 \\ -%% 18 & 1.\u{5120704}201359081 & 1.\u{5120}360123137213 \\ -%% 20 & 1.\u{5120704199}459651 & 1.\u{5120}425490275837 \\ -%%\hline -%% \infty & 1.5120704199172947 & 1.5120704199172947 \\ -%%\hline -%%\end{tabular} -%%\end{table} -% -%%\begin{table} -%%\def\u#1{\underline{#1}} -%%\centering -%%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%%\hline -%% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%%\hline -%%\phantom{0}2 & 1.\u{}6246862220133462 & 1.\u{5}597986803933712 \\ -%%\phantom{0}4 & 1.\u{5}759105515463101 & 1.\u{56}63563456168101 \\ -%%\phantom{0}6 & 1.\u{5}706630058381434 & 1.\u{56}77252866190838 \\ -%%\phantom{0}8 & 1.\u{56}94851106536780 & 1.\u{568}2298707696152 \\ -%% 10 & 1.\u{56}91283195332679 & 1.\u{568}4701957758742 \\ -%% 12 & 1.\u{56}90013806299465 & 1.\u{568}6030805941198 \\ -%% 14 & 1.\u{5689}515434853885 & 1.\u{568}6841603070025 \\ -%% 16 & 1.\u{5689}306507843050 & 1.\u{568}7372230731711 \\ -%% 18 & 1.\u{5689}214761291217 & 1.\u{568}7738235496322 \\ -%% 20 & 1.\u{56891}73062385982 & 1.\u{568}8001228530786 \\ -%%\hline -%% \infty & 1.5689135396691616 & 1.5689135396691616 \\ -%%\hline -%%\end{tabular} -%%\end{table} -% -%\begin{table} -%\def\u#1{\underline{#1}} -%\centering -%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}|} -%\hline -% n & \text{Gauss-Quadratur} & \text{Trapezregel} \\ -%\hline -%\phantom{0}2 & 1.\u{}6321752373234928 & 1.\u{5}561048774629949 \\ -%\phantom{0}4 & 1.\u{57}98691557134743 & 1.\u{5}660124134617943 \\ -%\phantom{0}6 & 1.\u{57}35853681692993 & 1.\u{5}683353001877542 \\ -%\phantom{0}8 & 1.\u{57}19413565928206 & 1.\u{5}692627503425400 \\ -% 10 & 1.\u{57}13388119633434 & 1.\u{5}697323578543481 \\ -% 12 & 1.\u{57}10710489948883 & 1.\u{570}0051217458713 \\ -% 14 & 1.\u{570}9362135398341 & 1.\u{570}1784766276063 \\ -% 16 & 1.\u{570}8621102742815 & 1.\u{570}2959121005231 \\ -% 18 & 1.\u{570}8186779483588 & 1.\u{570}3793521168343 \\ -% 20 & 1.\u{5707}919411931615 & 1.\u{570}4408749735932 \\ -%\hline -% \infty & 1.5707367072605671 & 1.5707367072605671 \\ -%\hline -%\end{tabular} -%\caption{Integral von $\sqrt{1-x^2}$ zwischen $-0.999$ und $0.999$ -%berechnet mit Gauss-Quadratur und der Trapezregel, aber mit zehnmal -%so vielen Stützstellen. -%Wegen der divergierenden Steigung des Integranden bei $\pm 1$ tun -%sich beide Verfahren sehr schwer. -%Trotzdem erreich die Gauss-Quadrator 4 korrekte Nachkommastellen -%mit 20 Stütztstellen, während die Trapezregel auch mit 200 Stützstellen -%nur 3 korrekte Nachkommastellen findet. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:table0.999}} -%\end{table} -% -%\begin{figure} -%\centering -%\includegraphics{chapters/060-integral/gq/gq.pdf} -%\caption{Approximationsfehler des -%Integrals~\eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral} -%in Abhängigkeit von $a$. -%Die Divergenz der Ableitung des Integranden an den Intervallenden -%$\pm 1$ führt zu schlechter Konvergenz des Verfahrens, wenn $a$ -%nahe an $1$ ist. -%\label{buch:integral:gaussquadratur:fehler}} -%\end{figure} -% -%Zur Illustration der Genauigkeit der Gauss-Quadratur berechnen wir -%das Integral -%\begin{equation} -%\int_{-a}^a \sqrt{1-x^2}\,dx -%= -%\arcsin a + a \sqrt{1-a^2} -%\label{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral} -%\end{equation} -%mit Gauss-Quadratur einerseits und dem Trapezverfahren -%andererseits. -%Da Gauss-Quadratur mit sehr viel weniger Sützstellen auskommt, -%berechnen wir die Trapeznäherung mit zehnmal so vielen Stützstelln. -%In den Tabellen~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5} -%und -%\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} -%sind die Resultate zusammengestellt. -%Für $a =\frac12$ zeigt -%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.5} -%die sehr schnelle Konvergenz der Gauss-Quadratur, schon mit -%12 Stützstellen wird Maschinengenauigkeit erreicht. -%Das Trapezverfahren dagegen erreicht auch mit 200 Stützstellen nur -%4 korrekte Nachkommastellen. -% -%An den Stellen $x=\pm 1$ divergiert die Ableitung des Integranden -%des Integrals \eqref{buch:integral:gaussquadratur:bspintegral}. -%Da grösste und kleinste Stützstelle der Gauss-Quadratur immer -%deutlich vom Rand des Intervalls entfernt ist, kann das Verfahren -%diese ``schwierigen'' Stellen nicht erkennen. -%Tabelle~\ref{buch:integral:gaussquadratur:table0.999} zeigt, wie -%die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist. -%Dies zeigt auch der Graph in -%Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}. -% -%\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion} +%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} +%\subsubsection{Legendre-Polyome} +%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} + +\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex} + \input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex} |