diff options
Diffstat (limited to '')
| -rw-r--r-- | buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex | 69 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex | 12 |
2 files changed, 74 insertions, 7 deletions
diff --git a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex index 4e424f1..5ae989c 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex @@ -19,6 +19,7 @@ $\mathstrut_2F_1$} XXX An dieser Stelle Abschnitt 4.3.5 (Integraldarstellung) einfügen \begin{satz}[Euler] +\label{buch:integrale:eulertransformation:satz} Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ kann durch das Integral \begin{equation} @@ -28,10 +29,35 @@ Integral \int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a} \,dt +\label{buch:integrale:eulertransformation:satzeqn} \end{equation} dargestellt werden. \end{satz} +\subsubsection{Alternative Parametrisierungen} +Die Substitution $t=\sin^2 s$ ermöglicht eine alternative Parametrisierung +der Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion. +Wenden wir sie auf~\eqref{buch:integrale:eulertransformation:satzeqn} +an, erhalten wir wegen $dt = 2\cos s\sin s\,ds$ +\begin{align*} +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr) +&= +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2(b-1)}(s)\, +(1-\sin^2s)^{c-b-1} (1-z\sin^2 s)^{-a} +\,\cos s\sin s +\,ds +\\ +&= +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2b-1}(s)\,\cos^{2c-2b-1}(s)\, (1-z\sin^2 s)^{-a} +\,ds. +\end{align*} + +XXX Parametrisierung für Intervall $[0,\infty)$ + \subsection{Integraldarstellung als Integraltransformation} Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, wie sich die Funktion $\mathstrut_2F_1$ als ein Integral des Integranden @@ -171,4 +197,45 @@ Auflösen nach $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ ergibt die behauptete Formel. \end{proof} - +Auch die Euler-Transformation lässt sich mit Hilfe der Substitution +$t=\sin^2 s$ in eine alternative Parametrisierung umschreiben. +Sie ist +\begin{align*} +\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_{p+1}\\ +b_1,\dots,b_{q+1} +\end{matrix} +;z +\biggr) +&= +\frac{2\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q-1}-a_{p+1})} +\\ +&\quad\times +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2a_{p+1}-2}(s)\, \cos^{2b_{q+1}-2a_{p+1}-2}(s) +\, +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix};z\sin^2 s +\biggr) +\sin s\cos s +\,ds +\\ +&= +\frac{2\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q-1}-a_{p+1})} +\\ +&\quad\times +\int_0^{\frac{\pi}2} +\sin^{2a_{p+1}-1}(s)\, \cos^{2b_{q+1}-2a_{p+1}-1}(s) +\, +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix};z\sin^2 s +\biggr) +\,ds. +\end{align*} diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex index 109cd61..a764002 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex @@ -21,7 +21,7 @@ Polynome sind. \subsection{Skalarprodukt} Der reelle Vektorraum $\mathbb{R}^n$ trägt das Skalarprodukt \[ -\langle\;,\;\rangle +\langle\;\,,\;\rangle \colon \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} : @@ -45,7 +45,7 @@ Dazu dient die folgende Definition. Sei $V$ ein reeller Vektorraum. Eine bilineare Abbildung \[ -\langle\;,\;\rangle +\langle\;\,,\;\rangle \colon V\times V \to @@ -67,7 +67,7 @@ $\langle x,y\rangle$ und $\langle y,x\rangle$ gibt. Ein {\em Skalarprodukt} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine positiv definite, symmetrische bilineare Abbildung \[ -\langle\;,\;\rangle +\langle\;\,,\;\rangle \colon V\times V \to @@ -97,7 +97,7 @@ u^t\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)v = \sum_{k=1}^n u_iv_i\,w_i \] -und nennen $\langle \;,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt} +und nennen $\langle \;\,,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt} mit {\em Gewichten $w_i$}. \subsubsection{Skalarprodukte auf Funktionenräumen} @@ -109,7 +109,7 @@ Sei $V$ der reelle Vektorraum $C([a,b])$ der reellwertigen, stetigen Funktion auf dem Intervall $[a,b]$. Dann ist \[ -\langle\;,\;\rangle +\langle\;\,,\;\rangle \colon C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R} : @@ -165,7 +165,7 @@ gleich gewichtet werden. Sei $w\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+$ eine positive, stetige Funktion, dann ist \[ -\langle\;,\;\rangle_w +\langle\;\,,\;\rangle_w \colon C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R} : |