diff options
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r-- | buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex | 17 |
1 files changed, 11 insertions, 6 deletions
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index acfdb1a..a5af7d2 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Anwendung: Gauss-Quadratur % -\section{Anwendung: Gauss-Quadratur} +\section{Anwendung: Gauss-Quadratur +\label{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur}} \rhead{Gauss-Quadratur} Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. @@ -229,6 +230,7 @@ Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $n$. \begin{satz} +\index{Satz!Gaussquadratur}% \label{buch:integral:satz:gaussquadratur} Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$ orthogonal sind. @@ -263,7 +265,7 @@ werden können, muss auch = \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx = -\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i) \] für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden @@ -272,9 +274,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt 0 = \sum_{i=0}^n -l_j(x_i)p(x_i) +A_il_j(x_i)p(x_i) = -\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i) += +A_jp(x_j), \] die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ sein. @@ -282,7 +286,7 @@ $p(x)$ sein. Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das {\em Gausssche Quadraturverfahren}. -Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} +Die in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:legendre-polynome} bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz verlangte Eigenschaft, dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. @@ -304,6 +308,7 @@ Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}. \begin{satz} +\index{Satz!Gausssche Quadraturformel und Fehler}% Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$ eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare @@ -549,7 +554,7 @@ w(x)=e^{-x} \text{ und } g(x)=f(x)e^x. \] -Dann approximiert $g(x)$ man durch ein Interpolationspolynom, +Dann approximiert man $g(x)$ durch ein Interpolationspolynom, so wie man das bei der Gauss-Quadratur gemacht hat. Als Stützstellen müssen dazu die Nullstellen der Laguerre-Polynome verwendet werden. |