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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex index fb7d5ff..3dcf523 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex @@ -6,4 +6,193 @@ \section{Jacobi-Polynome \label{buch:integrale:subsection:jacobi-polynome}} \rhead{Jacobi-Polynome} +Das $L^2$-Skalarprodukt von +Definition~\label{buch:orthogonal:def:skalarprodukt} +ist nicht das einzige Skalarprodukt von Funktionen, bezüglich dem +orthogonale Funktionenfamilien konstruiert werden können. +Die Definition~\label{buch:orthogonal:def:skalarproduktw} +erlaubt, das Skalarprodukt mit einer Gewichtsfunktion +zu erweitern. +Auch in diesem Abschnitt geht es um Polynome, deren Werte auf +dem Intervall $(-1,1)$ interessieren. +Die Legendre-Polynome waren aus den Monomen konstruiert worden durch +Orthogonalisierung bezüglich des gewöhnlichen $L^2$-Skalarproduktes. +Die Normierung war einigermassen willkürlich gewählt worden und +hatte nichts mit dem Skalarprodukt zu tun. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf} +\caption{Nullstellen und Pole der Gewichtsfunktion (rot) legen Ort +und Grad von Polen und Nullstellen der Funktionen fest, die beschränkte +$\|\,\cdot\,\|_w$-Norm haben. +An den Stellen $\pm 1$ und $\pm\frac12$ hat die Gewichtsfunktion +Pole bzw.~Nullstellen mit Grad $\alpha$. +Der blaue Bereich deutet an, wie schnell die Funktion $f$ in diesem +Bereich anwachsen kann, bzw.~wie schnell nahe der Polstelle gegen $0$ +gehen muss. +\label{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}} +\end{figure} +% +% Pole und Nullstellen der Gewichtsfunktion +% +\subsection{Pole und Nullstellen +\label{buch:orthogonal:pole-und-nullstellen}} +Das Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$ ist nur sinnvoll +für Funktionen $f(x)$, für die die Norm $\|f\|_w$ definiert ist. +An einer Nullstelle $x_0$ der Gewichtsfunktion $w$ darf die Funktion $f$ +einen Pol haben. +Solange $f(x)$ für $x\to x_0$ nicht zu schnell divergiert, kann +das Produkt $|f(x)|^2 w(x)$ immer noch integrierbar sein. + + +Um dies etwas genauer zu quantifizieren, nehmen wir an, dass +$w(x)$ an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle vom Grad $\alpha$ hat. +Dies bedeutet, dass $w(x) \approx C|x-x_0|^\alpha$ ist für eine geeignete +Konstante $C$ und für $|x-x_0|<\varepsilon$. +Ein Pol von $f$ vom Grad $a$ an der Stelle $x_0$ führt entsprechend auf +eine Abschätzung $|f(x)| \approx D|f(x)|^{-a}$ für $|x-x_0|<\varepsilon$. +Dann ist +\[ +|f(x)|^2 w(x) \approx CD |x-x_0|^{\alpha-2a}. +\] +Für das Integral in der Nähe von $x_0$ ist +\begin{align*} +\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} +|f(x)|^2 w(x)\,dx +&\approx +CD +\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} +|x-x_0|^{\alpha-2a}\,dx += +2CD +\int_0^\varepsilon +t^{\alpha-2a} +\,dt +\\ +&= +2CD +\begin{cases} +\displaystyle +\; +\biggl[\frac{t^{\alpha-2a+1}}{\alpha-2a+1}\biggr]_0^\varepsilon +&\qquad +\alpha-2a=-1 +\\[7pt] +\displaystyle +\; +\biggl[ \log t \biggr]_0^\varepsilon +&\qquad +\text{sonst.} +\end{cases} +\end{align*} +Der Zähler $t^{\alpha-2a+1}$ divergiert für $t\to 0$ genau dann, +wenn $\alpha-2a+1<0$ oder $\alpha<2a-1$. +Auch im zweiten Fall, für $\alpha-2a+1=0$, divergiert das Integral. +Damit die Norm $\|f\|_w$ definiert ist, muss also $a<\frac12(\alpha+1)$ +sein. + +Ganz ähnlich führt eine Polstelle von $w$ vom Grad $\alpha$ +an der Stelle $x_0$ dazu, dass $f$ dort eine Nullstelle vom Grad +$a$ haben muss. +Das Normintegral konvergiert nur, wenn $2a-\alpha > -1$ ist +oder $a > \frac12(\alpha+1)$. + +Pole der Gewichtsfunktion schränken also ein, welche Funktionen +überhaupt der Untersuchung mit Hilfe des Skalarproduktes +$\langle\,\;,\;\rangle$ zugänglich sind +(Abbildung~\ref{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}). +Ist die Ordnung $\alpha$ des Poles grösser als $1$, dann müssen die Funktionen +eine Nullstelle mindestens vom Grad $\frac12(a+1)$ haben. +Nullstellen der Gewichtsfunktion erweitern die Klasse der Funktionen. +Ist die Ordnung der Nullstelle $\alpha$, dann dürfen die Funktionen einen +Pol der Ordnung kleiner als $\frac12(\alpha+1)$ haben. + + +% +% Die Jacobische Gewichtsfunktion +% +\subsection{Jacobische Gewichtsfunktion} +Die Gewichtsfunktion für die Legendrepolynome war $w(x)=1$, alle +Punkte im Intervall $(-1,1)$ hatten das gleiche Gewicht. +Diese soll jetzt ersetzt werden durch eine Gewichtsfunktion, die +den Punkten an den Intervallenden mehr oder weniger Gewicht gibt, +wobei auch zugelassen sein soll, dass die Gewichtung nicht symmetrisch +ist. + +\begin{definition} +Die {\em Jacobi-Gewichtsfunktion} ist die Funktion +\[ +w^{(\alpha,\beta)} +\colon (-1,1)\to\mathbb{R} +: +x\mapsto w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta +\] +mit $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. +Das Skalarprodukt zugehörige Skalarprodukt wird auch als +\[ +\langle\,\;,\;\rangle_{w^{(\alpha,\beta)}} += +\langle\,\;,\;\rangle_{(\alpha,\beta)} +\] +bezeichnet und die zugehörige Norm mit +\[ +\|f\|_{(\alpha,\beta)} += +\langle f,f\rangle_{(\alpha,\beta)} += +\int_{-1}^1 |f(x)|^2 w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx. +\] +\end{definition} + +\begin{definition} +Die {\em Jacobi-Polynome} $P^{(\alpha,\beta)}_n(x)$ sind +Polynome vom Grad $n$, die bezüglich des Skalarproduktes +$\langle\,\;,\;\rangle_{w^{(\alpha,\beta)}}$ orthogonal sind +und mit +\[ +P_n^{(\alpha,\beta)}(1) = \binom{n+\alpha}n +\] +normiert sind. +\end{definition} + +Für $\alpha=\beta=0$ entsteht die Gewichtsfunktion +$w^{(0,0)}(x)=1$, die Legendre-Polynome sind also der Spezialfall +$\alpha=\beta=0$ der Jacobi-Polynome. + +Der Exponent $\alpha$ in der Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +steuert das Gewicht, welches Punkte am rechten Rand des Intervalls +erhalten. +Für positive Werte von $\alpha$ hat $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ eine +Nullstelle vom Grad $\alpha$ an der Stelle $x=1$, nach +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:pole-und-nullstellen} +dürfen die Funktionen einen Pole der Ordnung $<\frac12(\alpha-1)$ haben. +Je grösser $\alpha$ ist, desto weniger Gewicht haben die Punkte +am rechten Rand des Intervalls und desto schneller darf eine Funktion +für $x\to 1$ divergieren. + +Für negative Werte von $\alpha$ hat $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ einen +Pol vom Grad $-\alpha$ an der Stelle $x=1$. +Funktionen müssen daher also ein Nullstelle mindestens vom Grad +$\frac12(1-\alpha)$ haben. + +% +% +% +\subsection{Jacobi-Polynome niedrigen Grades} + +% +% +% +\subsection{Jacobi-Polynome als hypergeometrische Funktionen} + +% +% +% +\subsection{Jacobi-Differentialgleichung} + +% +% +% +\subsection{Ableitung und Rodrigues-Formel} |