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diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex index 6c8a1df..12555b8 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex @@ -3,7 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +\rhead{Differentialgleichungen orthogonaler Polynome} Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten Polynomen gefunden. Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen. @@ -15,7 +16,7 @@ Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. -\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} +\subsection{Legendre-Differentialgleichung} Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} (1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0 @@ -60,7 +61,7 @@ zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen $y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. -\subsubsection{Potenzreihenlösung} +\subsection{Potenzreihenlösung} Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und verwenden dazu den Ansatz \[ @@ -169,7 +170,7 @@ eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt. Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome orthogonal sind. -\subsubsection{Eigenfunktionen} +\subsection{Eigenfunktionen} Die Differentialgleichung \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} Kann mit dem Differentialoperator @@ -197,7 +198,7 @@ des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind: D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n. \] -\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} +\subsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt \[ @@ -273,7 +274,7 @@ die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$. -\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +\subsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} %Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} % Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der |