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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex index 073b004..de8f63f 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex @@ -367,3 +367,93 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 \] verwendet werden. +% +% +% +\subsection{Laguerre-Differentialgleichung +\label{buch:orthogonal:subsection:laguerre-differentialgleichung}} +Die Laguerre-Gewichtsfunktion $w_{\text{Laguerre}}(x)=e^{-x}$ +\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}% +führte auf die Laguerre-Polynome $L_n(x)$, die in +\eqref{buch:orthogonal:eqn:laguerre-polynom-hypergeometrisch} +als hypergeometrische Funktionen erkannt wurden. +Sie sind daher auch Lösungen der Differentialgleichung +der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_1F_1$, die in +\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1} dargestellt ist. + +Die Parameter der Darstellung von $L_n(x)$ als hypergeometrische +Funktion sind +\[ +L_n(x) = \mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix}-n\\1\end{matrix} +;x +\biggr) +\qquad\Rightarrow\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +a&=-n\\ +b&=1. +\end{aligned} +\right. +\] +Einsetzen dieser Parametrer in die Differentialgleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1} +\begin{equation} +zw'' + (1-z)w'+nw=0 +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:laguerre-dgl} +\end{equation} +Dies ist die {\em Laguerre-Differentialgleichung}. +\index{Laguerre-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Laguerre}% +Die Laguerre-Polynome sind also Lösungen der Laguerre-Differentialgleichung, +wenn der Parameter $n$ nicht-negativ ganzzahlig ist. + +Die allgemeine Laguerre-Differentialgleichung lässt beliebige reelle +Werte für den Koeffizienten von $y$ zu, sie lautet +\[ +zw''+(1-z)w'+\lambda w=0. +\] +Die Anfangsbedingungen für die hypergeometrische Funktion als Lösung +\begin{align*} +L_n(0) &= \mathstrut_1F_1(-\lambda; 1; 0) = 1\\ +\\ +L'_n(0) &= +\frac{d}{dx} +\mathstrut_1F_1(-\lambda;1;0) = \frac{-\lambda}{1} +\end{align*} +Der Satz +\ref{buch:differentialgleichungen:satz:1f1-dgl-loesungen} +schlägt eine zweite Lösung vor, im vorliegenden Fall mit $b=1$ +ist die zweite Lösung jedoch identisch zu ersten, es muss daher +ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden. + +XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung. + +\subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} +\index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}% +\index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}% +Die {\em assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} ist die +Differentialgleichung +\begin{equation} +zw'' + (\nu +1-z)w' + \lambda w = 0, +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:assoziierte-laguerre-dgl} +\end{equation} +also die Differentialgleichung für die hypergeometrische Funktion +$\mathstrut_1F_1$ mit Parametern $a=-\lambda$ und $b=\nu+1$. +Die Gleichung +\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:assoziierte-laguerre-dgl} +hat daher die Lösung +\( +\mathstrut_1F_1(-\lambda;\nu+1;x). +\) +Für natürliches $\lambda$ sind diese Lösungen Polynome +\[ +L_n^{(\nu)}(x) += +\mathstrut_1F_1\biggl( +\begin{matrix}-n\\\nu+1\end{matrix} +;x\biggr), +\] +sie heissen die {\em assoziierten Laguerre-Polynome}. +\index{assoziierte Laguerre-Polynome}% +\index{Laguerre-Polynome, assoziierte}% |