14 files changed, 1460 insertions, 306 deletions
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
index 3202936..48e5356 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
@@ -6,6 +6,7 @@
 
 CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex			\
+	chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex			\
 	chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex				\
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
index 86a5d47..5ebb795 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
@@ -9,18 +9,17 @@
 \lhead{Orthogonalität}
 \rhead{}
 \input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex}
-\input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex}
 \input{chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex}
+%\input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex}
 \input{chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex}
 \input{chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex}
 \input{chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex}
 \input{chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex}
 
-\section{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Jacobi-Polynome
-\item Tschebyscheff-Polynome
-\end{itemize}
+%\section{TODO}
+%\begin{itemize}
+%\end{itemize}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index 870c8a8..55f9700 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -482,4 +482,81 @@ Dies zeigt auch der Graph in
 Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
 
 \subsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
+Die Nullstellen der Legendre-Polynome ergaben ein gutes
+Integrationsverfahren für Polynome auf einem beschränkten
+Intervall.
+Die Beispiele haben aber auch gezeigt, dass Stellen, wo die
+Ableitung des Integranden divergiert, die Genauigkeit stark
+beeinträchtigen können.
+Ausserdem ist das Verfahren nicht anwendbar auf uneigentliche
+Integrale.
+
+\subsubsection{Umgang mit Singularitäten}
+Die Lösung des Problems mit Stellen mit divergenter Ableitung
+besteht darin, die Stützstellen in der Nähe dieser Stellen
+zu konzentrieren.
+Die Verwendung einer Gewichtsfunktion $w(x)$ kann genau dies
+erreichen.
+Statt das Integral einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen, 
+kann man $f(x)=g(x)w(x)$ schreiben, wobei $w(x)$ so
+gewählt werden soll, dass das Verhalten der Steigung an
+den Intervallenden gut wiedergibt.
+Dies ist mit einer Jacobischen Gewichtsfunktion immer möglich.
+Statt der Nullstellen der Legendre-Polynome sind dann die
+Nullstellen der Jacobi-Polynome  und die Funktionswete von $g(x)$
+an diesen Stellen zu verwenden,  die Gewichte sind
+die Integrale von $l_i(x) P^{(\alpha,\beta)}(x)$.
+
+\subsubsection{Uneigentliche Integrale}
+Die Berechnung eines uneigentlichen Integrals auf dem Intervall
+$(0,\infty)$ oder $(-\infty,\infty)$ ist aus mehreren Gründen nicht
+direkt mit dem früher beschriebenen Gauss-Quadraturverfahren
+möglich.
+
+Die Stützstellen, die bei der Gauss-Quadratur in einem Intervall
+$(a,b)$ verwendet werden, entstehen dadurch, dass man die Nullstellen
+der Legendre-Polynome in $(-1,1)$ auf das Intervall $(a,b)$
+skaliert.
+Dies führt offensichtlich nicht zum Erfolg, wenn ein oder beide
+Intervallgrenzen unendlich sind.
+Dieses Problem kann dadurch gelöst werden, dass man das unendliche
+Intervall $(a,\infty)$ mit
+\[
+x =  a + \frac{1-t}{t}
+\]
+auf das Intervall $[0,1]$ transformiert.
+
+Will man beim Intervall $(0,\infty)$ bleiben, dann ist zu beachten,
+dass das Integral eines Polynomes immer divergent ist, es ist also
+auf jeden Fall nötig, den Integranden durch Funktionen zu approximieren,
+die genügend schnell gegen $0$ gehen.
+Polynome beliebigen Grades können verwendet werden, wenn sie mit
+einer Funktion multipliziert werden, die schneller als jedes Polynom
+gegen $0$ geht, so dass das Integral immer noch konvergiert.
+Die Funktionen $e^{-x}$ für das Intervall $(0,\infty)$ oder
+$e^{-x^2}$ für das Intervall $(-\infty,\infty)$ kommen dafür in Frage.
+
+Um das Integral von $f(x)$ im Intervall $(0,\infty)$ zu berechnen,
+schreibt man daher zunächst
+\[
+\int_0^\infty f(x)\,dx
+=
+\int_0^\infty g(x)e^{-x}\,dx
+=
+\int_0^\infty g(x) w(x)\,dx
+\quad\text{mit}\quad
+w(x)=e^{-x}
+\text{ und }
+g(x)=f(x)e^x.
+\]
+Dann approximiert $g(x)$ man durch ein Interpolationspolynom,
+so wie man das bei der Gauss-Quadratur gemacht hat.
+Als Stützstellen müssen dazu die Nullstellen der Laguerre-Polynome
+verwendet werden.
+Als Gewichte $w_i$ sind die Integrale der $l_i(x)e^{-x}$
+zu verwenden.
+
+
+
+
 
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile
index efe5d36..83f6762 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile
@@ -4,7 +4,7 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	legendre.pdf orthogonal.pdf weight.pdf jacobi.pdf
+all:	legendre.pdf orthogonal.pdf weight.pdf jacobi.pdf laguerre.pdf
 
 legendrepaths.tex:	legendre.m
 	octave legendre.m
@@ -22,6 +22,11 @@ weightfunction.tex:	weight.m
 jacobi:	jacobi.cpp
 	g++ --std=c++11 -O -Wall -g -o jacobi jacobi.cpp
 
+laguerre.pdf:	laguerre.tex laguerrepaths.tex
+	pdflatex laguerre.tex
+laguerrepaths.tex:	laguerre.m
+	octave laguerre.m
+
 jacobipaths.tex:	jacobi Makefile
 	./jacobi --a=0 --b=0 --prefix=legendre --outfile=jacobipaths.tex
 	./jacobi --a=1 --b=0 --degree=14 --prefix=aone >> jacobipaths.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf
index d1977f0..7fdc702 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.m b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.m
new file mode 100644
index 0000000..0a9c18c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.m
@@ -0,0 +1,55 @@
+#
+# laguerre.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+pkg load miscellaneous
+global N;
+N = 120;
+
+function retval = laguerre(n, x)
+	s = 1;
+	p = 1;
+	if (n == 0)
+		retval = p;
+	else
+		for k = (1:n)
+			p = p * x * (-n-1+k) / (k * k);
+			s = s + p;
+		endfor
+		retval = s;
+	end
+endfunction
+
+function retval = laguerrepath(fn, n, name)
+	global N;
+	h = 12 / N;
+	fprintf(fn, "\\def\\laguerre%s{\n", name)
+	fprintf(fn, "\t   ({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", 0, 1);
+	for i = (1:N)
+		x = h * i;
+		y = laguerre(n, x);
+		if (abs(y) > 100)
+			y = 100 * sign(y);
+		end
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.5f*\\dx},{%.5f*\\dy})", x, y);
+	endfor
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+endfunction
+
+fn = fopen("laguerrepaths.tex", "w");
+
+laguerrepath(fn,  0, "zero");
+laguerrepath(fn,  1, "one");
+laguerrepath(fn,  2, "two");
+laguerrepath(fn,  3, "three");
+laguerrepath(fn,  4, "four");
+laguerrepath(fn,  5, "five");
+laguerrepath(fn,  6, "six");
+laguerrepath(fn,  7, "seven");
+laguerrepath(fn,  8, "eight");
+laguerrepath(fn,  9, "nine");
+
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c16698e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.pdf
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.tex
new file mode 100644
index 0000000..537c4af
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.tex
@@ -0,0 +1,87 @@
+%
+% laguerre.tex -- Laguerre-Polynome
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\dx{1}
+\def\dy{0.33333}
+\input{laguerrepaths.tex}
+
+\definecolor{fone}{rgb}{1,0,0}
+\definecolor{ftwo}{rgb}{1.0,0,0.8}
+\definecolor{fthree}{rgb}{0.8,0,1}
+\definecolor{ffour}{rgb}{0,0,1}
+\definecolor{ffive}{rgb}{0,0.8,1}
+\definecolor{fsix}{rgb}{0,1,1}
+\definecolor{fseven}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{feight}{rgb}{0.2,1,0.6}
+\definecolor{fnine}{rgb}{0.6,0.8,0.2}
+\definecolor{ften}{rgb}{1,0.4,0}
+
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+
+\begin{scope}
+\clip (0,-5) rectangle (12,5);
+
+\draw[color=fone] \laguerrezero;
+\draw[color=ftwo] \laguerreone;
+\draw[color=fthree] \laguerretwo;
+\draw[color=ffour] \laguerrethree;
+\draw[color=ffive] \laguerrefour;
+\draw[color=fsix] \laguerrefive;
+\draw[color=fseven] \laguerresix;
+\draw[color=feight] \laguerreseven;
+\draw[color=fnine] \laguerreeight;
+\draw[color=ften] \laguerrenine;
+
+\end{scope}
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- (12.4,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-5.1}) -- (0,{5.3}) coordinate[label={$y$}];
+
+\def\marke#1#2{
+	\node[color=#1] at (0.5,{5-0.42*#2}) [right] {$n=#2$};
+}
+
+\marke{fone}{0}
+\marke{ftwo}{1}
+\marke{fthree}{2}
+\marke{ffour}{3}
+\marke{ffive}{4}
+\marke{fsix}{5}
+\marke{fseven}{6}
+\marke{feight}{7}
+\marke{fnine}{8}
+\marke{ften}{9}
+
+\foreach \x in {1,...,12}{
+	\draw ({\x},-0.05) -- ({\x},0.05);
+}
+\node at (5,-0.05) [below] {$5$};
+\node at (10,-0.05) [below] {$10$};
+
+\foreach \y in {1,...,15}{
+	\draw (-0.05,{\y*\dy}) -- (0.05,{\y*\dy});
+	\draw (-0.05,{-\y*\dy}) -- (0.05,{-\y*\dy});
+}
+\node at (-0.05,{1*\dy}) [left] {$1$};
+\node at (-0.05,{5*\dy}) [left] {$5$};
+\node at (-0.05,{10*\dy}) [left] {$10$};
+\node at (-0.05,{15*\dy}) [left] {$15$};
+\node at (-0.05,{-5*\dy}) [left] {$-5$};
+\node at (-0.05,{-10*\dy}) [left] {$-10$};
+\node at (-0.05,{-15*\dy}) [left] {$-15$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
index 073b004..de8f63f 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -367,3 +367,93 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1
 \]
 verwendet werden.
 
+%
+% 
+%
+\subsection{Laguerre-Differentialgleichung
+\label{buch:orthogonal:subsection:laguerre-differentialgleichung}}
+Die Laguerre-Gewichtsfunktion $w_{\text{Laguerre}}(x)=e^{-x}$
+\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}%
+führte auf die Laguerre-Polynome $L_n(x)$, die in 
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:laguerre-polynom-hypergeometrisch}
+als hypergeometrische Funktionen erkannt wurden.
+Sie sind daher auch Lösungen der Differentialgleichung
+der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_1F_1$, die in
+\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1} dargestellt ist.
+
+Die Parameter der Darstellung von $L_n(x)$ als hypergeometrische
+Funktion sind
+\[
+L_n(x) = \mathstrut_1F_1\biggl(
+\begin{matrix}-n\\1\end{matrix}
+;x
+\biggr)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+a&=-n\\
+b&=1.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Einsetzen dieser Parametrer in die Differentialgleichung
+\eqref{buch:differentialgleichungen:1f1}
+\begin{equation}
+zw'' + (1-z)w'+nw=0
+\label{buch:differentialgleichungen:eqn:laguerre-dgl}
+\end{equation}
+Dies ist die {\em Laguerre-Differentialgleichung}.
+\index{Laguerre-Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Laguerre}%
+Die Laguerre-Polynome sind also Lösungen der Laguerre-Differentialgleichung,
+wenn der Parameter $n$ nicht-negativ ganzzahlig ist.
+
+Die allgemeine Laguerre-Differentialgleichung lässt beliebige reelle
+Werte für den Koeffizienten von $y$ zu, sie lautet
+\[
+zw''+(1-z)w'+\lambda w=0.
+\]
+Die Anfangsbedingungen für die hypergeometrische Funktion als Lösung 
+\begin{align*}
+L_n(0)  &= \mathstrut_1F_1(-\lambda; 1; 0) = 1\\
+\\
+L'_n(0) &=
+\frac{d}{dx}
+\mathstrut_1F_1(-\lambda;1;0) = \frac{-\lambda}{1}
+\end{align*}
+Der Satz
+\ref{buch:differentialgleichungen:satz:1f1-dgl-loesungen}
+schlägt eine zweite Lösung vor, im vorliegenden Fall mit $b=1$
+ist die zweite Lösung jedoch identisch zu ersten, es muss daher
+ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden.
+
+XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung.
+
+\subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
+\index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}%
+\index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}%
+Die {\em assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} ist die
+Differentialgleichung
+\begin{equation}
+zw'' + (\nu  +1-z)w' + \lambda w = 0,
+\label{buch:differentialgleichungen:eqn:assoziierte-laguerre-dgl}
+\end{equation}
+also die Differentialgleichung für die hypergeometrische Funktion
+$\mathstrut_1F_1$ mit Parametern $a=-\lambda$ und $b=\nu+1$.
+Die Gleichung
+\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:assoziierte-laguerre-dgl}
+hat daher die Lösung
+\(
+\mathstrut_1F_1(-\lambda;\nu+1;x).
+\)
+Für natürliches $\lambda$ sind diese Lösungen Polynome
+\[
+L_n^{(\nu)}(x)
+=
+\mathstrut_1F_1\biggl(
+\begin{matrix}-n\\\nu+1\end{matrix}
+;x\biggr),
+\]
+sie heissen die {\em assoziierten Laguerre-Polynome}.
+\index{assoziierte Laguerre-Polynome}%
+\index{Laguerre-Polynome, assoziierte}%
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index 9447c6f..d06f46e 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -176,7 +176,7 @@ C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
 das {\em gewichtete Skalarprodukt} mit {\em Gewichtsfunktion $w(x)$}.
 \end{definition}
 
-\subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
+\subsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
 In einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;\,,\;\rangle$
 kann aus einer beleibigen Basis $b_1,\dots,b_n$ mit Hilfe des 
 Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens immer eine
@@ -274,105 +274,16 @@ b_n
 \end{align*}
 berücksichtigen dies.
 
-\subsubsection{Selbstadjungierte Operatoren und Eigenvektoren}
-Symmetrische Matrizen spielen eine spezielle Rolle in der
-endlichdimensionalen linearen Algebra, weil sie sich immer
-mit einer orthonormierten Basis diagonalisieren lassen.
-In der vorliegenden Situation undendlichdimensionaler Vektorräume
-brauchen wir eine angepasste Definition.
-
-\begin{definition}
-Eine lineare Selbstabbildung $A\colon V\to V$
-eines Vektorrraums mit Skalarprodukt
-heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für alle Vektoren $u,v\in V$
-heisst $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$.
-\end{definition}
-
-Es ist wohlbekannt, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix
-zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
-Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier
-für spätere Verwendung fest.
-
-\begin{satz}
-Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$
-zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$
-orthogonal.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
-dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
-Eigenwerten orthogonal sind.
-Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
-\begin{equation*}
-\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
-\begin{array}{rcccrl}
-\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle
-&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
-=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle&
-\\[2pt]
-\hline
-         0           & &                        &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle&
-\end{array}
-\end{equation*}
-Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Sei $C^1([0,2\pi], \mathbb{C})=C^1(S^1,\mathbb{C})$
-der Vektorraum der $2\pi$-periodischen differenzierbaren Funktionen mit
-dem Skalarprodukt 
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \overline{f(t)}g(t)\,dt
-\]
-enthält die Funktionen $e_n(t) = e^{int}$.
-Der Operator
-\[
-D=i\frac{d}{dt}
-\]
-ist selbstadjungiert, denn mit Hilfe von partieller Integration erhält man
-\[
-\langle Df,g\rangle
-=
-\frac{1}{2\pi}
-\int_0^{2\pi}
-\underbrace{
-\overline{i\frac{df(t)}{dt}}
-}_{\uparrow}
-\underbrace{g(t)}_{\downarrow}
-\,dt
-=
-\underbrace{
-\frac{-i}{2\pi}
-\biggl[
-\overline{f(t)}g(t)
-\biggr]_0^{2\pi}
-}_{\displaystyle=0}
-+
-\frac{1}{2\pi}
-\int_0^{2\pi}
-\overline{f(t)}i\frac{dg(t)}{dt}
-\,dt
-=
-\langle f,Dg\rangle
-\]
-unter Ausnützung der $2\pi$-Periodizität der Funktionen.
-
-Die Funktionen $e_n(t)$ sind Eigenfunktionen des Operators $D$, denn
-\[
-De_n(t) = i\frac{d}{dt}e^{int} = -n e^{int} = -n e_n(t).
-\]
-Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
-\end{beispiel}
-
-Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
-ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
-
-
-% XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird,
-% XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht.
+%
+% Legendre-Polynome
+%
+\subsection{Legendre-Polynome
+\label{buch:orthogonal:subsection:legendre-polynome}}
+Der Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsprozess kann für jedes beliebige
+Skalarprodukt aus der Folge $1$, $x$, $x^2,\dots$ der Monome ein
+Folge von orthogonalisierten Polynomen machen.
+In diesem Abschnitt rechnen wir den Fall konstanter Gewichtsfunktione
+$w(x)=1$ durch, er führt auf die sogenannten {\em Legendre-Polynome}.
 
 Da wir auf die Normierung verzichten, brauchen wir ein anderes
 Kriterium, welches die Polynome eindeutig festlegen kann.
@@ -380,6 +291,10 @@ Wir bezeichnen das Polynom vom Grad $n$, das bei diesem Prozess
 entsteht, mit $P_n(x)$ und legen willkürlich aber traditionskonform
 fest, dass $P_n(1)=1$ sein soll.
 
+%
+% Symmetrie-Eigenschaften
+%
+\subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
 Das Skalarprodukt berechnet ein Integral eines Produktes von zwei
 Polynomen über das symmetrische Interval $[-1,1]$.
 Ist die eine gerade und die andere ungerade, dann ist das
@@ -403,6 +318,7 @@ dargestellt.
 \end{figure}
 
 \begin{lemma}
+\label{buch:orthogonal:lemma:symmetrie}
 Die Polynome $P_{2n}(x)$ sind gerade, die Polynome $P_{2n+1}(x)$ sind
 ungerade Funktionen von $x$.
 \end{lemma}
@@ -435,6 +351,10 @@ $P_{n-4}(x)$ ist, die die gleiche Parität wie $x^n$ haben.
 Also hat auch $P_n(x)$ die gleiche Parität, was das Lemma beweist.
 \end{proof}
 
+%
+% Orthogonalisierung nach Gram-Schmidt
+%
+\subsubsection{Orthogonalisierung mit Gram-Schmidt}
 Die Ortogonalisierung von $x^2$ liefert daher
 \[
 p(x) = x^2
@@ -476,7 +396,7 @@ Für $P_3(x)$ brauchen wir nur die Skalaprodukte
 \qquad
 \Rightarrow
 \qquad
-p(x) = x^3 - \frac{\frac25}{\frac23}x=x^3-\frac{3}{5}x
+p(x) = x^3 - \frac{\;\frac25\;}{\frac23}x=x^3-\frac{3}{5}x
 \]
 Die richtige Standardisierung ergibt sich,
 indem man durch $p(1)=\frac25$ dividiert, also
@@ -516,7 +436,7 @@ Die Skalarprodukte sind
 =
 \int_{-1}^1 \frac14(9x^4-6x^2+1)\,dx
 =
-\frac14(\frac{18}{5}-4+2)
+\frac14\biggl(\frac{18}{5}-4+2\biggr)
 =\frac25.
 \end{align*}
 Daraus folgt für $p(x)$
@@ -604,219 +524,292 @@ dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind.
 Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$.
 
 %
-% Rekursionsrelation
+% Verschiedene Gewichtsfunktionen
+%
+\subsection{Gewichtsfunktionen
+\label{buch:orthogonal:subsection:gewichtsfunktionen}}
+Das Standardskalarprodukt auf dem Raum der Funktionen auf dem
+Interval $[-1,1]$ ist das Skalarprodukt mit der Gewichtsfunktion
+$w(x)=1$, es führt auf die Legendre-Polynome.
+Die Wahl einer anderen Gewichtsfunktion ändert natürlich
+das Resultat der Orthogonalisierung.
+Nullstellen und Pole der Gewichtsfunktion ändern die Menge der
+Funktionen, für die das Skalarprodukt definiert.
+Diesem Zusammenhang soll im ersten Unterabschnitt nachgegangen werden.
+Danach sollen verschiedene für die Praxis relevante Gewichtsfunktionen
+vorgestellt werden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/weight.pdf}
+\caption{Nullstellen und Pole der Gewichtsfunktion (rot) legen Ort
+und Grad von Polen und Nullstellen der Funktionen fest, die beschränkte
+$\|\,\cdot\,\|_w$-Norm haben.
+An den Stellen $\pm 1$ und $\pm\frac12$ hat die Gewichtsfunktion
+Pole bzw.~Nullstellen mit Grad $\alpha$.
+Der blaue Bereich deutet an, wie schnell die Funktion $f$ in diesem
+Bereich anwachsen kann, bzw.~wie schnell nahe der Polstelle gegen $0$
+gehen muss.
+\label{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}}
+\end{figure}
+%
+% Pole und Nullstellen der Gewichtsfunktion
 %
-\subsection{Drei-Term-Rekursion
-\label{buch:orthogonal:subsection:rekursionsrelation}}
-Die Berechnung der Legendre-Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens
-ist ausserordentlich mühsame wenig hilfreich, wenn es darum geht, Werte
-der Polynome zu berechnen.
-Glücklicherweise erfüllen orthogonale Polynome automatisch eine 
-Rekursionsbeziehung mit nur drei Termen.
-Zum Beispiel kann man zeigen, dass für die Legendre-Polynome die
-Relation
+\subsubsection{Pole und Nullstellen
+\label{buch:orthogonal:pole-und-nullstellen}}
+Das Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$ ist nur sinnvoll
+für Funktionen $f(x)$, für die die Norm $\|f\|_w$ definiert ist.
+An einer Nullstelle $x_0$ der Gewichtsfunktion $w$ darf die Funktion $f$ 
+einen Pol haben. 
+Solange $f(x)$ für $x\to x_0$ nicht zu schnell divergiert, kann
+das Produkt $|f(x)|^2 w(x)$ immer noch integrierbar sein.
+
+Um dies etwas genauer zu quantifizieren, nehmen wir an, dass
+$w(x)$ an der Stelle $x_0$ eine Nullstelle vom Grad $\alpha$ hat.
+Dies bedeutet, dass $w(x) \approx C|x-x_0|^\alpha$ ist für eine geeignete
+Konstante $C$ und für $|x-x_0|<\varepsilon$.
+Ein Pol von $f$ vom Grad $a$ an der Stelle $x_0$ führt entsprechend auf
+eine Abschätzung $|f(x)| \approx D|f(x)|^{-a}$ für $|x-x_0|<\varepsilon$.
+Dann ist
+\[
+|f(x)|^2 w(x) \approx CD |x-x_0|^{\alpha-2a}.
+\]
+Für das Integral in der Nähe von $x_0$ ist
 \begin{align*}
-nP_n(x) &= (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x),\;\forall n\ge 2,
+\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
+|f(x)|^2 w(x)\,dx
+&\approx 
+CD
+\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
+|x-x_0|^{\alpha-2a}\,dx
 \\
-P_1(x) &= x,
-\\
-P_0(x) &= 1.
+&=
+2CD
+\int_0^\varepsilon
+t^{\alpha-2a}
+\,dt
+=
+2CD
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\;
+\biggl[\frac{t^{\alpha-2a+1}}{\alpha-2a+1}\biggr]_0^\varepsilon
+&\qquad
+\alpha-2a\ne-1
+\\[7pt]
+\displaystyle
+\;
+\biggl[ \log t \biggr]_0^\varepsilon
+&\qquad
+\text{sonst.}
+\end{cases}
 \end{align*}
-Mit so einer Rekursionsbeziehung ist es sehr einfach, die Funktionswerte
-für alle $P_n(x)$ zu berechnen.
+Der Zähler $t^{\alpha-2a+1}$ divergiert für $t\to 0$ genau dann,
+wenn $\alpha-2a+1<0$ oder $\alpha<2a-1$.
+Auch im zweiten Fall, für $\alpha-2a+1=0$, divergiert das Integral.
+Damit die Norm $\|f\|_w$ definiert ist, muss also $a<\frac12(\alpha+1)$
+sein.
+
+Ganz ähnlich führt eine Polstelle von $w$ vom Grad $\alpha$
+an der Stelle $x_0$ dazu, dass $f$ dort eine Nullstelle vom Grad
+$a$ haben muss.
+Das Normintegral konvergiert nur, wenn $2a-\alpha > -1$ ist
+oder $a > \frac12(\alpha+1)$.
+ 
+Pole der Gewichtsfunktion schränken also ein, welche Funktionen
+überhaupt der Untersuchung mit Hilfe des Skalarproduktes
+$\langle\,\;,\;\rangle_w$ zugänglich sind
+(Abbildung~\ref{buch:orthogonalitaet:fig:gewicht}).
+Ist die Ordnung $\alpha$ des Poles grösser als $1$, dann müssen die Funktionen
+eine Nullstelle mindestens vom Grad $\frac12(a+1)$ haben.
+Nullstellen der Gewichtsfunktion erweitern die Klasse der Funktionen.
+Ist die Ordnung der Nullstelle $\alpha$, dann dürfen die Funktionen einen
+Pol der Ordnung kleiner als $\frac12(\alpha+1)$ haben.
 
-\begin{definition}
-Eine Folge von Polynomen $p_n(x)$ heisst orthogonal bezüglich des
-Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn 
+\begin{lemma}
+\label{buch:orthogonal:lemma:gewichtsfunktion}
+Sei $w(x)\ge 0$ auf dem Intervall $(a,b)$.
+Der Vektorraum $H_w$ von auf $(a,b)$ definierten Funktionen sei
 \[
-\langle p_n,p_m\rangle_w = h_n \delta_{nm}
+H_w
+=
+\biggl\{
+f:\colon(a,b) \to \mathbb{R}
+\;\bigg|\;
+\int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx
+\biggr\}.
 \]
-für alle $n$, $m$.
-\end{definition}
+Die Funktionen $f\in H_w$ haben folgende Eigenschaften
+\begin{enumerate}
+\item
+Ist $\xi\in[a,b]$ eine Nullstelle vom Grad $\alpha$ der Funktion $w(x)$,
+dann 
+\item
+Ist $\xi\in[a,b]$ eine Polstelle vom Grad $a$ der Funktion $w(x)$,
+dann hat $f$ eine Nullstelle mindestens from Grad 
+\end{enumerate}
+\end{lemma}
 
-\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
-Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt.
 
-\begin{satz}
-\label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}
-Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ 
-mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form
-\begin{equation}
-p_{n+1}(x)
-=
-(A_nx+B_n)p_n(x) - C_np_{n-1}(x)
-\label{buch:orthogonal:eqn:rekursion}
-\end{equation}
-für $n\ge 0$, wobei $p_{-1}(x)=0$ gesetzt wird.
-Die Zahlen $A_n$, $B_n$ und $C_n$ sind reell und es ist
-$A_{n-1}A_nC_n\ge 0$ für $n>0$. 
-Wenn $k_n>0$ der Leitkoeffizient von $p_n(x)$ ist, dann gilt
-\begin{equation}
-A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},
-\qquad
-C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}.
-\label{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}
-\end{equation}
-\end{satz}
-
-\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
-Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann
-wird sie
-\begin{equation}
-xp_n(x)
-=
-\frac{1}{A_n}p_{n+1}(x)
--
-\frac{B_n}{A_n}p_n(x)
-+
-\frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x).
-\label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
-\end{equation}
-Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen.
-Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese
-Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat.
-
-\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
-Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
-wurde bereits in 
-Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}
-hergeleitet.
-In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet
-sie
+%
+% Die Jacobische Gewichtsfunktion
+%
+\subsubsection{Jacobische Gewichtsfunktion}
+Die Gewichtsfunktion für die Legendre-Polynome war $w(x)=1$, alle
+Punkte im Intervall $(-1,1)$ hatten das gleiche Gewicht.
+Diese soll jetzt ersetzt werden durch eine Gewichtsfunktion, die
+den Punkten an den Intervallenden mehr oder weniger Gewicht gibt,
+wobei auch zugelassen sein soll, dass die Gewichtung nicht symmetrisch
+ist.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:orthogonal:def:jacobi-gewichtsfunktion}
+Die {\em Jacobi-Gewichtsfunktion} ist die Funktion
+\index{Jacobi-Gewichtsfunktion}%
 \[
-T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).
+w^{(\alpha,\beta)}
+\colon (-1,1)\to\mathbb{R}
+:
+x\mapsto w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta
 \]
-also
-$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$.
-
-\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
-Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch,
-dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$
-berechnen muss.
-Dabei wird wiederholt der folgende Trick verwendet.
-Für jede beliebige Funktion $f$ mit $\|f\|_w^2<\infty$ ist
+mit $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.
+Das Skalarprodukt zugehörige Skalarprodukt wird auch als
 \[
-\langle fp_k,p_j\rangle_w
+\langle\,\;,\;\rangle_{w^{(\alpha,\beta)}}
 =
-\langle p_k,fp_j\rangle_w.
+\langle\,\;,\;\rangle_{(\alpha,\beta)}
 \]
-Für $f(x)=x$ kann man weiter verwenden, dass $xp_k(x)$ ein Polynom
-vom Grad $k+1$ ist.
-Die Gleichheit $\langle xp_k,p_j\rangle_w=\langle p_k,xp_j\rangle_w$
-ermöglicht also, den Faktor $x$ dorthin zu schieben, wo es nützlicher ist.
-
-\begin{proof}[Beweis des Satzes]
-Multipliziert man die rechte Seite von
-\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} aus, dann ist der einzige Term
-vom Grad $n+1$ der Term $A_nxp_n(x)$.
-Der Koeffizient $A_n$ ist also dadurch festgelegt, dass
-\begin{equation}
-b(x)
+bezeichnet und die zugehörige Norm mit
+\[
+\|f\|_{(\alpha,\beta)}
+=
+\langle f,f\rangle_{(\alpha,\beta)}
 =
-p_{n+1}(x) - A_nxp_n(x)
-\label{buch:orthogonal:rekbeweis}
-\end{equation}
-Grad $\le n$ hat.
-Dazu müssen sich die Terme vom Grad $n+1$ in den Polynomen wegheben,
-d.~h.~$k_{n+1}-A_nk_n=0$, woraus die erste Beziehung in
-\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} folgt.
-
-Die Polynome $p_k$ sind durch Orthogonalisierung der Monome
-$1$, $x$,\dots $x^{k}$ entstanden.
-Dies bedeutet, dass $\langle p_n,x^k\rangle_w=0$ für alle $k<n$
-gilt und daher auch $\langle p_n,Q\rangle_w=0$ für jedes Polynome
-$Q(x)$ vom Grad $<n$.
-
-Das Polynom $b(x)$ ist vom Grad $\le n$, es lässt sich also als
-Linearkombination
+\int_{-1}^1 |f(x)|^2 w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+\label{buch:orthogonal:def:jacobi-polynome}
+Die {\em Jacobi-Polynome} $P^{(\alpha,\beta)}_n(x)$ sind 
+\index{Jacobi-Polynome}%
+Polynome vom Grad $n$, die bezüglich des Skalarproduktes
+$\langle\,\;,\;\rangle_{w^{(\alpha,\beta)}}$ orthogonal sind
+und mit
 \[
-b(x) = \sum_{k=0}^n b_k p_k(x)
+P_n^{(\alpha,\beta)}(1) = \binom{n+\alpha}n
 \]
-der $p_k$ mit $k\le n$ schreiben.
-Die Koeffizienten $b_j$ kann man erhalten, indem man 
-\eqref{buch:orthogonal:rekbeweis} Skalar mit $p_j$ multipliziert.
-Dabei erhält man
+normiert sind.
+\end{definition}
+
+In Abbildung~\ref{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}
+ist die Abhängigkeit der Jacobi-Polynome von den Parametern $\alpha$
+und $\beta$ illustriert.
+Für $\alpha=\beta=0$ entsteht die Gewichtsfunktion
+$w^{(0,0)}(x)=1$, die Legendre-Polynome sind also der Spezialfall
+$\alpha=\beta=0$ der Jacobi-Polynome.
+
+Der Exponent $\alpha$ in der Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$
+steuert das Gewicht, welches Punkte am rechten Rand des Intervalls
+erhalten.
+Für positive Werte von $\alpha$ hat $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ eine
+Nullstelle vom Grad $\alpha$ an der Stelle $x=1$, nach
+Lemma~\ref{buch:orthogonal:lemma:gewichtsfunktion}
+dürfen die Funktionen einen Pole der Ordnung $<\frac12(\alpha-1)$ haben.
+Je grösser $\alpha$ ist, desto weniger Gewicht haben die Punkte
+am rechten Rand des Intervalls und desto schneller darf eine Funktion
+für $x\to 1$ divergieren.
+
+Für negative Werte von $\alpha$ hat $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ einen
+Pol vom Grad $-\alpha$ an der Stelle $x=1$.
+Funktionen müssen daher also ein Nullstelle mindestens vom Grad
+$\frac12(1-\alpha)$ haben.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/070-orthogonalitaet/images/jacobi.pdf}
+\caption{Jacobi-Polynome vom Grad $1$ bis $14$ für verschiedene Werte
+der Parameter $\alpha$ und $\beta$.
+Je grösser $\alpha$, desto weniger Gewicht bekommen die Funktionswerte am
+rechten Rand und desto grösser werden die Funktionswerte.
+Für negative $\alpha$ müssen die Polynome dagegen eine Nullstelle am
+rechten Rand haben.
+\label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}}
+\end{figure}
+
+%
+% Tschebyscheff-Gewichtsfunktion
+%
+\subsubsection{Tschebyscheff-Gewichtsfunktion}
+Es wird später gezeigt werden, dass die Tschebyscheff-Polynome
+von Abschnitt~\ref{buch:polynome:section:tschebyscheff} eine
+Familie orthogonaler Polynome sein.
+Das zugehörige Skalarprodukt hat die Gewichtsfunktion
 \[
-h_jb_j
+w_{\text{Tschebyscheff}}(x)
 =
-\langle b,p_j\rangle_w
+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 =
-\langle p_{n+1},p_j\rangle_w
--
-A_n\langle xp_n,p_j\rangle_w.
+\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}
+=
+(1-x)^{-\frac{1}{2}}
+(1+x)^{-\frac{1}{2}}
+=
+w^{(-\frac12,-\frac12)}(x).
 \]
-Für $j\le n$ verschwindet der erste Term nach der Definition einer
-Folge von orthogonalen Polynomen.
-Den zweiten Term kann man umformen in
+Die {\em Tschebyscheff-Gewichtsfunktion} ist also ein Spezialfall der
+Jacobi-Gewichtsfunktion.
+\index{Tschebyscheff-Gewichtsfunktion}%
+
+%
+% Hermite-Gewichtsfunktion
+%
+\subsubsection{Hermite-Gewichtsfunktion}
+Die Gewichtsfunktion
 \[
-\langle xp_n,p_j\rangle_w
+w_{\text{Hermite}}(x)
+=
+w(x)
 =
-\langle p_n,xp_j\rangle_w.
+e^{-\frac{x^2}{2}}
 \]
-Darin ist $xp_j$ ein Polynom vom Grad $j+1$.
-Für $n>j+1$ folgt, dass der zweite Term verschwindet.
-Somit sind alle $b_j=0$ mit $j<n-1$, nur der Term $j=n-1$
-bleibt bestehen.
-Mit $B_n=b_n$ und $C_n=b_{n-1}$ bekommt man die somit die
-Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}.
-
-Indem man das Skalarprodukt von~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}
-mit $p_{n-1}$ bildet, findet man
-\begin{align}
-\underbrace{\langle
-p_{n+1},p_{n-1}
-\rangle_w}_{\displaystyle=0}
-&=
-\langle (A_nx+B_n)p_n+C_np_{n-1},p_{n-1} \rangle_w
-\notag
-\\
-0
-&=
-A_n\langle xp_n,p_{n-1} \rangle_w
-+B_n\underbrace{\langle p_n,b_{n-1}\rangle_w}_{\displaystyle=0}
--C_n\|p_{n-1}\|_w^2
-\notag
-\\
-0
-&=
-A_n\langle p_n,xp_{n-1} \rangle_w
--C_n\|p_{n-1}\|_w^2
-\label{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2}
-\end{align}
-Indem man $xp_n$ als
+heisst die {\em Hermite-Gewichtsfunktion}.
+\index{Hermite-Gewichtsfunktion}%
+Sie hat keine Nullstellen und geht für $x\to\pm\infty$ so schnell
+gegen $0$, dass für alle Polynome 
 \[
-xp_{n-1}(x)
-=
-\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n(x)
-+
-\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k(x)
+\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx<\infty
 \]
-schreibt, bekommt man
-\begin{align*}
-\langle
-p_n,
-xp_{n-1}
-\rangle_w
-&=
-\biggl\langle
-p_n,
-\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n
-+
-\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k
-\biggr\rangle_w
-=
-\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n
-+
-\sum_{k=0}^{n-1} d_k\underbrace{\langle p_n,p_k\rangle_w}_{\displaystyle=0}
-\end{align*}
-Eingesetzt in~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} erhält man
+ist.
+Als Definitionsintervall kann daher die ganze reelle Achse
+verwendet werden, also $a=-\infty$ und $b=\infty$.
+Die mit dieser Gewichtsfunktion konstruierten Polynome heissen
+bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}.
+% XXX Normierung der Hermite-Polynome festlegen
+\index{Hermite-Polynome}%
+
+%
+% Laguerre-Gewichtsfunktion
+%
+\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
+Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die
+{\em Laguerre-Gewichtsfunktion}
+\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}%
 \[
-A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n = C_n h_{n-1}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-C_n
+w_{\text{Laguerre}}(x)
 =
-A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}\frac{h_n}{h_{n-1}},
+w^{-x}
 \]
-damit ist auch die zweite Beziehung von
-\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}.
-\end{proof}
+auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder
+sehr rasch gegen $0$.
+Für $x\to-\infty$ hingegen wächst sie so schnell an, dass für alle Polynome
+$p(x)$ das Integral
+\[
+\int_{-\infty}^\infty p(x)e^{-x}\,dx
+\]
+unbeschränkt ist.
+Die Laguerre-Gewichtsfunktion ist daher nur geeignet für den
+Definitionsbereich $(0,\infty)$.
+Die bezüglich der Laguerre-Gewichtsfunktion orthogonalen Polynome
+heissen bei geeigneter Normierung die {\em Laguerre-Polynome}.
+\index{Laguerre-Polynome}%
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
new file mode 100644
index 0000000..5ec7fed
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
@@ -0,0 +1,218 @@
+%
+% rekursion.tex -- drei term rekursion für orthogonale Polynome
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome
+\label{buch:orthogonal:section:drei-term-rekursion}}
+Die Berechnung der Legendre-Polynome mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens
+ist wenig hilfreich, wenn es darum geht, Werte der Polynome zu berechnen.
+Glücklicherweise erfüllen orthogonale Polynome automatisch eine 
+Rekursionsbeziehung mit nur drei Termen.
+Zum Beispiel kann man zeigen, dass für die Legendre-Polynome die
+Relation
+\begin{align*}
+nP_n(x) &= (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x),\;\forall n\ge 2,
+\\
+P_1(x) &= x,
+\\
+P_0(x) &= 1.
+\end{align*}
+Mit so einer Rekursionsbeziehung ist es sehr einfach, die Funktionswerte
+für alle $P_n(x)$ zu berechnen.
+
+\begin{definition}
+Eine Folge von Polynomen $p_n(x)$ heisst orthogonal bezüglich des
+Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn 
+\[
+\langle p_n,p_m\rangle_w = h_n \delta_{nm}
+\]
+für alle $n$, $m$.
+\end{definition}
+
+\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
+Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}
+Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ 
+mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form
+\begin{equation}
+p_{n+1}(x)
+=
+(A_nx+B_n)p_n(x) - C_np_{n-1}(x)
+\label{buch:orthogonal:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+für $n\ge 0$, wobei $p_{-1}(x)=0$ gesetzt wird.
+Die Zahlen $A_n$, $B_n$ und $C_n$ sind reell und es ist
+$A_{n-1}A_nC_n\ge 0$ für $n>0$. 
+Wenn $k_n>0$ der Leitkoeffizient von $p_n(x)$ ist, dann gilt
+\begin{equation}
+A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},
+\qquad
+C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}.
+\label{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
+Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann
+wird sie
+\begin{equation}
+xp_n(x)
+=
+\frac{1}{A_n}p_{n+1}(x)
+-
+\frac{B_n}{A_n}p_n(x)
++
+\frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x).
+\label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
+\end{equation}
+Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen.
+Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese
+Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat.
+
+\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
+wurde bereits in 
+Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}
+hergeleitet.
+In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet
+sie
+\[
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).
+\]
+also
+$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$.
+
+\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
+Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch,
+dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$
+berechnen muss.
+Dabei wird wiederholt der folgende Trick verwendet.
+Für jede beliebige Funktion $f$ mit $\|f\|_w^2<\infty$ ist
+\[
+\langle fp_k,p_j\rangle_w
+=
+\langle p_k,fp_j\rangle_w.
+\]
+Für $f(x)=x$ kann man weiter verwenden, dass $xp_k(x)$ ein Polynom
+vom Grad $k+1$ ist.
+Die Gleichheit $\langle xp_k,p_j\rangle_w=\langle p_k,xp_j\rangle_w$
+ermöglicht also, den Faktor $x$ dorthin zu schieben, wo es nützlicher ist.
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes]
+Multipliziert man die rechte Seite von
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} aus, dann ist der einzige Term
+vom Grad $n+1$ der Term $A_nxp_n(x)$.
+Der Koeffizient $A_n$ ist also dadurch festgelegt, dass
+\begin{equation}
+b(x)
+=
+p_{n+1}(x) - A_nxp_n(x)
+\label{buch:orthogonal:rekbeweis}
+\end{equation}
+Grad $\le n$ hat.
+Dazu müssen sich die Terme vom Grad $n+1$ in den Polynomen wegheben,
+d.~h.~$k_{n+1}-A_nk_n=0$, woraus die erste Beziehung in
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation} folgt.
+
+Die Polynome $p_k$ sind durch Orthogonalisierung der Monome
+$1$, $x$,\dots $x^{k}$ entstanden.
+Dies bedeutet, dass $\langle p_n,x^k\rangle_w=0$ für alle $k<n$
+gilt und daher auch $\langle p_n,Q\rangle_w=0$ für jedes Polynome
+$Q(x)$ vom Grad $<n$.
+
+Das Polynom $b(x)$ ist vom Grad $\le n$, es lässt sich also als
+Linearkombination
+\[
+b(x) = \sum_{k=0}^n b_k p_k(x)
+\]
+der $p_k$ mit $k\le n$ schreiben.
+Die Koeffizienten $b_j$ kann man erhalten, indem man 
+\eqref{buch:orthogonal:rekbeweis} Skalar mit $p_j$ multipliziert.
+Dabei erhält man
+\[
+h_jb_j
+=
+\langle b,p_j\rangle_w
+=
+\langle p_{n+1},p_j\rangle_w
+-
+A_n\langle xp_n,p_j\rangle_w.
+\]
+Für $j\le n$ verschwindet der erste Term nach der Definition einer
+Folge von orthogonalen Polynomen.
+Den zweiten Term kann man umformen in
+\[
+\langle xp_n,p_j\rangle_w
+=
+\langle p_n,xp_j\rangle_w.
+\]
+Darin ist $xp_j$ ein Polynom vom Grad $j+1$.
+Für $n>j+1$ folgt, dass der zweite Term verschwindet.
+Somit sind alle $b_j=0$ mit $j<n-1$, nur der Term $j=n-1$
+bleibt bestehen.
+Mit $B_n=b_n$ und $C_n=b_{n-1}$ bekommt man die somit die
+Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}.
+
+Indem man das Skalarprodukt von~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion}
+mit $p_{n-1}$ bildet, findet man
+\begin{align}
+\underbrace{\langle
+p_{n+1},p_{n-1}
+\rangle_w}_{\displaystyle=0}
+&=
+\langle (A_nx+B_n)p_n+C_np_{n-1},p_{n-1} \rangle_w
+\notag
+\\
+0
+&=
+A_n\langle xp_n,p_{n-1} \rangle_w
++B_n\underbrace{\langle p_n,b_{n-1}\rangle_w}_{\displaystyle=0}
+-C_n\|p_{n-1}\|_w^2
+\notag
+\\
+0
+&=
+A_n\langle p_n,xp_{n-1} \rangle_w
+-C_n\|p_{n-1}\|_w^2
+\label{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2}
+\end{align}
+Indem man $xp_n$ als
+\[
+xp_{n-1}(x)
+=
+\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n(x)
++
+\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k(x)
+\]
+schreibt, bekommt man
+\begin{align*}
+\langle
+p_n,
+xp_{n-1}
+\rangle_w
+&=
+\biggl\langle
+p_n,
+\frac{k_{n-1}}{k_n} p_n
++
+\sum_{k=0}^{n-1} d_kp_k
+\biggr\rangle_w
+=
+\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n
++
+\sum_{k=0}^{n-1} d_k\underbrace{\langle p_n,p_k\rangle_w}_{\displaystyle=0}
+\end{align*}
+Eingesetzt in~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekbeweis2} erhält man
+\[
+A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}h_n = C_n h_{n-1}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+C_n
+=
+A_n\frac{k_{n-1}}{k_n}\frac{h_n}{h_{n-1}},
+\]
+damit ist auch die zweite Beziehung von
+\eqref{buch:orthogonal:eqn:koeffizientenrelation}.
+\end{proof}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex
index 590038a..9fded85 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex
@@ -5,6 +5,7 @@
 %
 \section{Rodrigues-Formeln
 \label{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues}}
+\rhead{Rodrigues-Formeln}
 Die Drei-Term-Rekursionsformel ermöglicht Werte orthogonaler Polynome
 effizient zu berechnen.
 Die Rekursionsformel erhöht den Grad eines Polynoms, indem mit $x$ 
@@ -173,7 +174,7 @@ Die Pearsonsche Differentialgleichung ist für $A(x)=0$ immer erfüllt.
 Die Randbedingung bedeutet wegen $w(x)=1$, dass $B(x)$ an den
 Endpunkten des Intervalls verschwinden muss.
 Da $B(x)$ ein Polynom höchstens vom Grad $2$ ist, muss $B(x)$ ein
-Vielfaches von $(x-1)(x+1)=x^-1$ sein.
+Vielfaches von $(x-1)(x+1)=x^2-1$ sein.
 Die Rodrigues-Formel für die Legendre-Polynome hat daher die Form
 \[
 P_n(x)
@@ -195,8 +196,337 @@ P_n(x)
 \]
 
 \subsubsection{Hermite-Polynome}
-TODO
+Die Hermite-Polynome sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert und verwenden
+die Gewichtsfunktion
+\[
+w(x) = e^{-x^2}.
+\]
+Für jedes beliebige Polynome $B(x)$, auch für höheren Grad als $2$, ist
+\[
+\lim_{x\to-\infty} B(x) w(x)
+=
+\lim_{x\to-\infty} B(x)^e{-x^2}
+=
+0
+\qquad\text{und}\qquad
+\lim_{x\to\infty} B(x) w(x)
+=
+\lim_{x\to\infty} B(x)^e{-x^2}
+=
+0,
+\]
+die Randbedingung der Pearsonschen Differentialgleichung ist also
+immer erfüllt.
+
+Die Ableitung der Gewichtsfunktion ist
+\[
+w'(x) = -2xe^{-x^2}.
+\]
+Eingsetzt in die Pearsonsche Differentialgleichung findet man
+\[
+\frac{w'(x)}{w(x)}
+=
+\frac{-2xe^{-x^2}}{e^{-x^2}}
+=
+\frac{-2x}{1}
+\]
+und daher
+\[
+A(x) = -2x
+\qquad\text{und}\qquad
+B(x) = 1.
+\]
+Die Gradbedingung ist also immer erfüllt und es folgt die Rodrigues-Formel
+für die Hermite-Polynome
+\begin{equation}
+H_n(x)
+=
+c_n
+e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}
+=
+(-1)^n
+e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}.
+\label{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues}
+\end{equation}
+
+Die Hermite-Polynome können mit der Rodrigues-Formel berechnen, aber die 
+Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} ist dazu nicht gut
+geeignet.
+Dazu dient die Berechnung 
+\[
+-\frac{d}{dx}
+e^{-x^2}f(x)
+=
+2xe^{-x^2}f(x)
+-
+e^{-x^2}f'(x)
+=
+e^{-x^2}
+\biggl(-\frac{d}{dx}+2x\biggr)
+f(x),
+\]
+nach der der Ableitungsoperator mit dem Faktor $e^{-x^2}$ 
+vertauscht werden kann, wenn er durch die grosse Klammer auf der
+rechten Seite ersetzt wird.
+Die Rodrigues-Formel bekommt daher die Form
+\[
+H_n(x) = \biggl(\frac{d}{dx}-2x\biggr)^n \cdot 1
+\]
+
+TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$
+
+%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula}
+
+%
+% Jacoib-Gewichtsfunktion
+%
+\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion}
+%(%i1) w: (1-x)^a*(1+x)^b;
+%                                      a        b
+%(%o1)                          (1 - x)  (x + 1)
+%(%i2) diff(w,x)/w;
+%                        a        b - 1            a - 1        b
+%               b (1 - x)  (x + 1)      - a (1 - x)      (x + 1)
+%(%o2)          -------------------------------------------------
+%                                      a        b
+%                               (1 - x)  (x + 1)
+%(%i3) q: diff(w,x)/w;
+%                        a        b - 1            a - 1        b
+%               b (1 - x)  (x + 1)      - a (1 - x)      (x + 1)
+%(%o3)          -------------------------------------------------
+%                                      a        b
+%                               (1 - x)  (x + 1)
+%(%i4) ratsimp(q);
+%                               (b + a) x - b + a
+%(%o4)                          -----------------
+%                                     2
+%                                    x  - 1
+%
+Die Jacobi-Gewichtsfunktion 
+\[
+w(x)
+=
+w^{(\alpha,\beta)}(x)
+=
+(1-x)^\alpha(1+x)^\beta
+\]
+hat die Ableitung
+\[
+w'(x)
+=
+\beta(1-x)^\alpha(1+x)^{\beta-1}-\alpha(1-x)^{\alpha-1}(1+x)^\beta
+\]
+und für die linke Seite der Pearsonschen Differentialgleichung findet man
+\[
+\frac{w'(x)}{w(x)}
+=
+\frac{
+\beta(1-x)^\alpha(1+x)^{\beta-1}-\alpha(1-x)^{\alpha-1}(1+x)^\beta
+}{
+(1-x)^\alpha(1+x)^\beta
+}
+=
+\frac{\beta-\alpha-(\alpha+\beta)x}{1-x^2}
+=
+\frac{A(x)}{B(x)}.
+\]
+Die Polynome
+\[
+A(x) = \beta-\alpha-(\alpha+\beta)x
+\qquad\text{und}\qquad
+B(x) = 1-x^2
+\]
+erfüllen die Gradvoraussetzungen für eine Lösung der Pearsonschen
+Differentialgleichung, die Anlass zu einer Rodrigues-Formel gibt.
+Die Randbedingungen sind noch zu prüfen: $B(x)$ hat eine Nullstelle
+erster Ordnung bei $\pm1$, also ist
+\[
+\lim_{x\to \pm1\mp} B(x)w(x) = 0
+\]
+genau dann, wenn $\alpha>-1$ und $\beta>-1$ gilt.
+Für $\alpha>-1$ und $\beta>-1$ gibt es daher auch für die Jacobi-Polynome
+eine Rodriguez-Formel der Art
+\[
+P^{(\alpha,\beta)}_n(x)
+=
+\frac{c_n}{w^{(\alpha,\beta)}(x)}
+\frac{d^n}{dx^n}
+\bigl((1-x^2)^{n} w^{(\alpha,\beta)}(x)\bigr).
+\]
+Die Konstanten $c_n$ werden durch die Normierung
+% XXX in welchem Abschnitt
+festgelegt.
+
+\subsubsection{Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion}
+Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion ist der Spezialfall $a=b=-\frac12$
+der Jacobi-Gewichtsfunktion.
+Die Rodrigues-Formel für die Tschebyscheff-Polynome lautet daher
+\[
+T_n(x)
+=
+c_n\sqrt{1-x^2} \frac{d^n}{dx^n}
+\frac{(1-x^2)^n}{\sqrt{1-x^2}}
+=
+\frac{1}{2^nn!} \sqrt{1-x^2}
+\frac{d^n}{dx^n} 
+\frac{(1-x^2)^n}{\sqrt{1-x^2}},
+\]
+wobei wir den korrekten Wert von $c_n$ nicht nachgewiesen haben.
+
+\subsubsection{Die Laguerre-Gewichtsfunktion}
+Die Laguerre-Gewichtsfunktion
+\[
+w_{\text{Laguerre}}(x)
+=
+w(x)
+=
+e^{-x}
+\]
+hat die Ableitung
+\[
+w'(x) = -e^{-x},
+\]
+die Pearsonsche Differentialgleichung ist daher
+\[
+\frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{-1}{1}.
+\]
+Dies suggeriert $A(x)=-1$ und $B(x)=1$ als Zähler und Nenner der rechten
+Seite, aber daraus produziert die Rodrigues-Formel immer nur die konstante
+Funktion.
+Ausserdem ist die Randbedingung an der Stelle $x=0$ nicht erfüllt.
+$B(x)$ muss so gewählt werden, dass
+\[
+0
+=
+\lim_{x\to 0+} w(x)B(x)
+= 
+\lim_{x\to 0+} e^{-x}B(x)
+=
+\lim_{x\to 0+} B(x)
+=
+B(0).
+\]
+Die Annahme einer konstanten Funktion $B(x)$ widerspricht dem.
+Aus der Pearsonschen Differentialgleichung folgt $A(x)=-B(x)$.
+Da $A(x)$ höchstens vom Grad 1 sein kann und $B(x)$ mindestens
+vom Grad $1$ muss, folgt
+\[
+B(x) = x
+\qquad\text{und}\qquad
+A(x) = -x.
+\]
+Die Rodrigues-Formel liefert dann die Laguerre-Polynome als
+\[
+L_n(x) = c_n e^x \frac{d^n}{dx^n} x^ne^{-x}.
+\]
+Die Werte von $c_n$ hängen von der gewählten Normierung ab.
+
+Mit der Rodrigues-Formel können die Laguerre-Polynome bis auf
+die Normierung recht direkt berechnen.
+Dazu versuchen wir die Ableitungen von $f(x)e^{-x}$ dadurch zu
+berechnen, dass wir den Gewichtsfaktor $e^{-x}$ möglichst weit
+nach links verschieben wie in
+\begin{align*}
+\frac{d}{dx}
+e^{-x}
+f(x)
+&=
+e^{-x}
+\bigl( -f(x) + f'(x) \bigr)
+=
+e^{-x}
+\biggl( -1 + \frac{d}{dx}\biggr) f.
+\end{align*}
+Daraus kann man ablesen, dass die Ableitung nach $x$ mit dem Faktor
+$e^{-x}$ vertauscht werden kann, wenn man die Ableitung durch
+$-1+d/dx$ ersetzt.
+Damit kann jetzt auch die $n$-te Ableitung bestimmen:
+\begin{align*}
+\frac{d^n}{dx^n}e^{-x}f(x)
+&=
+e^{-x} \biggl(\frac{d}{dx}-1\biggr)^n f(x)
+=
+e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} f(x)
+\end{align*}
+Dies muss jetzt auf $f(x)=x^n$ angewendet werden.
+Es ergibt sich
+\begin{align*}
+\frac{d^n}{dx^n}e^{-x}x^n
+&=
+e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} x^n
+\\
+&=
+e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}
+n(n-1)(n-2)\cdots (k+1)
+x^k
+\\
+&=
+e^{-x}
+\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}
+\frac{n!}{k!}
+x^k
+\\
+&=
+e^{-x} n!
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(-n)(-n+1)(-n+2)\cdot\ldots\cdot (-n+k-1)}{1\cdot 2\cdot \ldots\cdot k}
+\frac{x^k}{k!}
+\\
+&=
+e^{-x} n!
+\cdot
+\mathstrut_1F_1\biggl(
+\begin{matrix}-n\\1\end{matrix}; x
+\biggr).
+\end{align*}
+Die übliche Normierung für die Laguerre-Polynome ist $L_n(0)=1$,
+die übereinstimmt mit dem Wert der hypergeometrischen Funktion 
+an der Stelle $0$.
+Wir fassen die Resultate im folgenden Satz zusammen.
+
+\begin{satz}
+Die Laguerre-Polynome vom Grad $n$ haben die Form
+\begin{equation}
+L_n(x)
+=
+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!}x^k
+=
+\mathstrut_1F_1\biggl(\begin{matrix}-n\\1\end{matrix};x\biggr).
+\label{buch:orthogonal:eqn:laguerre-polynom-hypergeometrisch}
+\end{equation}
+\end{satz}
+Laguerre-Polynome sind als spezielle hypergeometrische Funktionen,
+für $n\le 7$ sind sie 
+in Tabelle~\ref{buch:orthogonal:table:laguerre} zusammengestellt.
+In Abbildung~\ref{buch:orthogonal:fig:laguerre} sind die Laguerre-Polynome
+vom Grad $0$ bis $9$ dargestellt.
 
-\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/laguerre.pdf}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $9$
+\label{buch:orthogonal:fig:laguerre}}
+\end{figure}
+\begin{table}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}l<{$}|}
+\hline
+n& L_n(x)\\
+\hline
+0&1\\
+1&-x+1\\
+2&\frac1{2!}(x^2-4x+2)\\
+3&\frac{1}{3!}(-x^3+9x^2-18x+6)\\
+4&\frac{1}{4!}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)\\
+5&\frac{1}{5!}(-x^5+25x^4-200x^3+60x^2-600x+120)\\
+6&\frac{1}{6!}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)\\
+7&\frac{1}{7!}(-x^7+49x^6-882x^5+7350x^4-29400x^3+52920x^2-35280x+5040)\\
+8&\frac{1}{8!}(x^8-64x^7+1568x^6-18816x^5+117600x^4-376320x^3+564480x^2-322560x+40320)\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Laguerre-Polynome $L_n(x)$ für $n=0,\dots,8$
+\label{buch:orthogonal:table:laguerre}}
+\end{table}
 
 
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex
new file mode 100644
index 0000000..c667297
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex
@@ -0,0 +1,95 @@
+\subsubsection{Selbstadjungierte Operatoren und Eigenvektoren}
+Symmetrische Matrizen spielen eine spezielle Rolle in der
+endlichdimensionalen linearen Algebra, weil sie sich immer
+mit einer orthonormierten Basis diagonalisieren lassen.
+In der vorliegenden Situation undendlichdimensionaler Vektorräume
+brauchen wir eine angepasste Definition.
+
+\begin{definition}
+Eine lineare Selbstabbildung $A\colon V\to V$
+eines Vektorrraums mit Skalarprodukt
+heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für alle Vektoren $u,v\in V$
+heisst $\langle Au,v\rangle = \langle u,Av\rangle$.
+\end{definition}
+
+Es ist wohlbekannt, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix
+zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
+Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier
+für spätere Verwendung fest.
+
+\begin{satz}
+Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$
+zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$
+orthogonal.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Im vorliegenden Zusammenhang möchten wir die Eigenschaft nutzen,
+dass Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operatores zu verschiedenen
+Eigenwerten orthogonal sind.
+Dazu seien $Df = \lambda f$ und $Dg=\mu g$ und wir rechnen
+\begin{equation*}
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{rcccrl}
+\langle Df,g\rangle &=& \langle \lambda f,g\rangle &=& \lambda\phantom{)}\langle f,g\rangle
+&\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
+=\langle f,Dg\rangle &=& \langle f,\mu g\rangle &=& \mu\phantom{)}\langle f,g\rangle&
+\\[2pt]
+\hline
+         0           & &                        &=& (\lambda-\mu)\langle f,g\rangle&
+\end{array}
+\end{equation*}
+Da $\lambda-\mu\ne 0$ ist, muss $\langle f,g\rangle=0$ sein.
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+Sei $C^1([0,2\pi], \mathbb{C})=C^1(S^1,\mathbb{C})$
+der Vektorraum der $2\pi$-periodischen differenzierbaren Funktionen mit
+dem Skalarprodukt 
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \overline{f(t)}g(t)\,dt
+\]
+enthält die Funktionen $e_n(t) = e^{int}$.
+Der Operator
+\[
+D=i\frac{d}{dt}
+\]
+ist selbstadjungiert, denn mit Hilfe von partieller Integration erhält man
+\[
+\langle Df,g\rangle
+=
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+\underbrace{
+\overline{i\frac{df(t)}{dt}}
+}_{\uparrow}
+\underbrace{g(t)}_{\downarrow}
+\,dt
+=
+\underbrace{
+\frac{-i}{2\pi}
+\biggl[
+\overline{f(t)}g(t)
+\biggr]_0^{2\pi}
+}_{\displaystyle=0}
++
+\frac{1}{2\pi}
+\int_0^{2\pi}
+\overline{f(t)}i\frac{dg(t)}{dt}
+\,dt
+=
+\langle f,Dg\rangle
+\]
+unter Ausnützung der $2\pi$-Periodizität der Funktionen.
+
+Die Funktionen $e_n(t)$ sind Eigenfunktionen des Operators $D$, denn
+\[
+De_n(t) = i\frac{d}{dt}e^{int} = -n e^{int} = -n e_n(t).
+\]
+Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
+ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index c8ee11a..c9c9cc6 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -36,8 +36,11 @@ für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem.
 Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$.
 
 \begin{definition}
+\index{verallgemeinerter Eigenvektor}%
+\index{Eigenvektor, verallgemeinerter}%
+\label{buch:orthogonal:sturm:verallgemeinerter-eigenvektor}
 Seien $A$ und $B$ $n\times n$-Matrizen.
-$v$ heisst verallgemeinerter Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$,
+$v$ heisst {\em verallgemeinerter Eigenvektor} zum Eigenwert $\lambda$,
 wenn
 \[
 Av = \lambda Bv.
@@ -324,7 +327,7 @@ Wir bezeichnen den Vektorraum der Funktionen, deren Quadrat mit
 der Gewichtsfunktion $w(x)$ integrierbar sind, mit
 $L^2([a,b],w)$.
 
-Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,0f\rangle_w$
+Damit auch $\langle qf,f\rangle_w$ und $\langle L_0f,f\rangle_w$
 wohldefiniert sind, müssen zusätzlich die Integrale
 \[
 \int_a^b |f(x)|^2 q(x) w(x)\,dx
@@ -431,17 +434,217 @@ Dann ist wegen
 die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung}
 ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert.
 
-\subsubsection{Bessel-Funktionen}
+\subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(x)$}
 Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}
-hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators
+kann wie folgt in die Form eines Sturm-Liouville-Operators gebracht 
+werden.
+Zunächst rechnet man
 \[
+B
+=
 x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{d}{dx} + x^2
 =
-\frac{d}{dx} x^2 \frac{d}{dx} + x^2
+x\biggl(
+x\frac{d^2}{dx^2} + \frac{d}{dx} + x
+\biggr)
+=
+x\biggl(
+\frac{d}{dx}(-x)\frac{d}{dx} + x
+\biggr).
+\]
+Somit ist $B$ ein Sturm-Liouville-Operator für 
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+p(x) &= -x \\
+q(x) &= x \\
+w(x) &= \frac{1}{x}.
+\end{aligned}
+\label{buch:orthogonal:sturm:bessel:n}
+\end{equation}
+Am linken Rand kann als Randbedingung 
+\[
+\lim_{x\to 0} p(x) y'(x) = 0
+\]
+verwendet werden, die für alle Bessel-Funktionen erfüllt ist.
+Dies entspricht der Wahl $k_0=0$ und $h_0=1$.
+Am rechten Rand für $x\to\infty$ kann man
+\[
+\lim_{x\to\infty} y(x)=0
+\]
+verlangen, was der Wahl $k_\infty=1$ und $h_\infty=0$ entspricht.
+Damit ist die Bessel-Differentialgleichung erkannt als ein
+Sturm-Liouville-Problem für $\lambda=n^2$.
+Es folgt damit sofort, dass die Besselfunktionen orthogonale
+Funktionen bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion
+$w(x)=1/x$ sind.
+
+\subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(s x)$}
+Das Sturm-Liouville-Problem mit den Funktionen
+\eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n}
+ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, die Bessel-Differentialgleichung
+in ein Sturm-Liouville-Problem zu verwandeln.
+Das Problem \eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} ging davon
+aus, dass $n^2$ der verallgemeinerte Eigenwert sein soll.
+Im Folgenden sollen hingegen die Funktionen $J_n(s x)$ für
+konstantes $n$, aber verschiedene $s$ untersucht und
+als orthogonal erkannt werden.
+
+Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Bessel-Differentialgleichung
+\[
+x^2y'' + xy' + x^2y = n^2y.
+\]
+Setzt man $x=s t$ und $f(t)=y(s t)$, dann wird die Ableitung 
+\[
+\begin{aligned}
+f'(t)
+&=
+\frac{d}{dt}y(s t)
+=
+y'(s t) \cdot s
+&&\Rightarrow
+&
+\frac{f'(t)}{s}
+&=
+y'(x)
+\\
+f''(t)
+&=
+\frac{d^2}{dt^2} y(s t)
+=
+y''(s t) \cdot s^2
+&&\Rightarrow
+&
+\frac{f''(t)}{s^2}
+&=
+y''(x).
+\end{aligned}
+\]
+Setzt man diese in die Besselsche Differentialgleichung ein,
+findet man
+\begin{align*}
+x^2y''+xy'+x^2y
+=
+s^2 t^2 \frac{f''(t)}{s^2}
++
+s t \frac{f'(t)}{s}
++
+s^2 t^2 f(t)
+&=
+n^2 f(t).
+\end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass die Funktionen $J_n(s x)$ Lösungen
+der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+x^2y'' + xy' + (s^2 x^2  - n^2) y = 0
+\label{buch:orthogonal:sturm:eqn:bessellambda}
+\end{equation}
+ist.
+
+Die Differentialgleichung
+\eqref{buch:orthogonal:sturm:eqn:bessellambda}
+soll jetzt ebenfalls als ein Sturm-Liouville-Problem betrachtet
+werden, diesmal aber mit festem $n$ und $s^2$ als dem verallgemeinerten
+Eigenwert.
+Dazu wird
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+p(x) &= -x \\
+q(x) &= -\frac{n^2}{x} \\
+w(x) &= x
+\end{aligned}
+\label{buch:orthgonal:sturm:bessel:lambdaparams}
+\end{equation}
+gesetzt.
+Das zugehörige Sturm-Liouville-Problem ist jetzt
+\[
+\frac{1}{x}\biggl(
+\frac{d}{dx} (-x)\frac{d}{dx} -\frac{n^2}{x}
+\biggr)
+y
+=
+\lambda y
+\quad\Rightarrow\quad
+y'' + \frac{1}{x}y' - \frac{n^2}{x^2}y = \lambda y,
+\]
+oder nach Multiplikation mit $x^2$
+\begin{equation}
+x^2y'' + xy' + ((-\lambda)x^2 - n^2) y = 0.
+\end{equation}
+Die Funktionen $J_n(sx)$ sind daher verallgemeinerte Eigenfunktionen
+des Sturm-Liouville-Problems
+\eqref{buch:orthgonal:sturm:bessel:lambdaparams}
+für den Eigenwert $\lambda = -s^2$.
+
+\begin{satz}[Orthogonalität der Bessel-Funktionen]
+Die Bessel-Funktionen $J_n(sx)$ für verschiedene $s$ sind orthogonal
+bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=x$,
+d.~h.
+\[
+\int_0^\infty J_n(s_1x) J_n(s_2x) x\,dx
+=
+0
+\]
+für $s_1\ne s_2$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Um die Bessel-Funktionen als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
+\eqref{buch:orthgonal:sturm:bessel:lambdaparams}
+zu betrachten, müssen noch geeignete Randbedingungen formuliert werden.
+Für $n>0$ kann man 
+$J_n(0)=0$ verwenden, also $k_0=1$ und $h_0=0$.
+Für $J_0$ ist dies nicht geeignet, aber wegen $J_0'(0)=0$ kann
+man für $n=0$ verwenden $k_0=0$ und $h_0=1$ wählen.
+
+Für den rechten Rand kann man verwenden, dass die Ableitung der
+Bessel-Funktionen wie $x^{-3/2}$ gegen $0$ geht, gilt
+\[
+\lim_{x\to\infty} p(x) J_n(sx) = 0,
+\]
+weil $p(x)J_n(sx)$ wie $x^{-1/2}$ gegen $0$ geht.
+Dies bedeutet, dass $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$
+verwendet werden kann.
+Damit sind geeignete Randbedingungen für das Sturm-Liouville-Problem
+gefunden.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Laguerre-Polynome}
+Die Laguerre-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts
+mit der Laguerre-Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$ und erfüllen die
+Laguerre-Differentialgleichung
+\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:laguerre-dgl}.
+mit $p(x)=-xe^{-x}$ wird 
+\[
+\frac{1}{w(x)}
+\biggl(
+-
+\frac{d}{dx} p(x) \frac{d}{dx}
+\biggr)
+=
+e^x \biggl(xe^{-x}\frac{d^2}{dx^2} + (1-x)e^{-x}\frac{d}{dx}\biggr),
+\]
+dies sind die abgeleiteten Terme in der Laguerre-Differentialgleichung.
+Der Definitionsbereich ist $(0,\infty)$.
+Als Randbedingung am linken kann man $y(0)=1$ verwenden, welche
+auch die Laguerre-Polynome ergeben hat.
+Am rechten Rand ist die Bedingung
+\[
+\lim_{x\to\infty} p(x)y'(x)
+=
+\lim_{x\to\infty} xe^{-x} y'(x)
+=
+0
 \]
-mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$.
+für beliebige Polynomlösungen erfüllt, dies ist der Fall
+$k_{\infty}=0$ und $h_\infty=1$.
 
-XXX TODO: Faktor 2 fehlt.
+Das zugehörige verallgemeinerte Eigenwertproblem  wird damit
+\[
+xy'' + (1-x)y' - \lambda y = 0,
+\]
+also die Laguerre-Differentialgleichung.
+Somit folgt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bezüglich
+des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion.
 
 \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
 Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
@@ -485,6 +688,7 @@ bezüglich des Skalarproduktes
 \subsubsection{Jacobi-Polynome}
 TODO
 
+
 \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen}
 %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation}
 Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung