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path: root/buch/chapters/070-orthogonalitaet
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Diffstat (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet')
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex4
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex10
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index a84248a..677e865 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -842,14 +842,14 @@ bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}.
%
% Laguerre-Gewichtsfunktion
%
-\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
+\subsubsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die
{\em Laguerre-Gewichtsfunktion}
\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}%
\[
w_{\text{Laguerre}}(x)
=
-w^{-x}
+e^{-x}
\]
auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder
sehr rasch gegen $0$.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
index 5ec7fed..dc5531b 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn
für alle $n$, $m$.
\end{definition}
-\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
+\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt.
\begin{satz}
@@ -55,7 +55,7 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}.
\end{equation}
\end{satz}
-\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
+\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann
wird sie
\begin{equation}
@@ -72,7 +72,7 @@ Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen.
Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese
Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat.
-\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
wurde bereits in
Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}
@@ -80,12 +80,12 @@ hergeleitet.
In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet
sie
\[
-T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),
\]
also
$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$.
-\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
+\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch,
dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$
berechnen muss.