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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc index 48e5356..8f58489 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ +CHAPTERFILES += \ chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex \ @@ -13,4 +13,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex \ + chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex \ chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex index 3e9412a..0ef28fd 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie % -\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie} +\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie +\label{buch:orthogonalitaet:section:bessel}} \rhead{Bessel-Funktionen} Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie. Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$ diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex index 5ebb795..fba1298 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex @@ -8,24 +8,70 @@ \label{buch:chapter:orthogonalitaet}} \lhead{Orthogonalität} \rhead{} +In der linearen Algebra lernt man, dass orthonormierte Basen für die +Lösung vektorgeometrischer Probleme, bei denen auch das Skalarprodukt +involviert ist, besonders günstig sind. +Die Zerlegung eines Vektors in einer Basis verlangt normalerweise nach +der Lösung eines linearen Gleichungssystems, für orthonormierte +Basisvektoren beschränkt sie sich auf die Berechnung von Skalarprodukten. + +Oft dienen spezielle Funktionen als Basis der Lösungen einer linearen +partiellen Differentialgleichung (siehe Kapitel~\ref{buch:chapter:pde}). +Die Randbedingungen müssen dazu in der gewählten Basis von Funktionen +zerlegt werden. +Fourier ist es gelungen, die Idee des Skalarproduktes und der Orthogonalität +auf Funktionen zu verallgemeinern und so zum Beispiel das Wärmeleitungsproblem +zu lösen. + +Der Orthonormalisierungsprozess von Gram-Schmidt wird damit auch auf +Funktionen anwendbar +(Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}), +der Nutzen führt aber noch viel weiter. +Da $K[x]$ ein Vektorraum ist, führt er von der Basis der Monome +$\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ +auf orthonormierte Polynome. +Diese haben jedoch eine ganze Reihe weiterer nützlicher Eigenschaften. +So wird in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:drei-term-rekursion} +gezeigt, dass sich die Werte aller Polynome einer solchen Familie mit +einer Rekursionsformel effizient berechnen lassen, die höchstens drei +Terme umfasst. +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues} werden +die Rodrigues-Formeln vorgeführt, die Polynome durch Anwendung eines +Differentialoperators hervorbringen. +In Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} +schliesslich wird gezeigt, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen +eines selbstadjungierten Operators sind. +Da man in der linearen Algebra auch lernt, dass die Eigenvektoren einer +symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind, +ist die Orthogonalität plötzlich nicht mehr überraschend. + +Die Bessel-Funktionen von +Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} +sind auch Eigenfunktionen eines Differentialoperators. +Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel} findet das zugehörige +Skalarprodukt, welches andeutet, dass auch für andere Funktionenfamilien +eine entsprechende Konstruktion möglich ist. +Das in Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} +präsentierte Sturm-Liouville-Problem führt sie durch. +Das Kapitel schliesst mit dem +Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} +über die Gauss-Quadratur, welche die Eigenschaften orthogonaler Polynome +für einen besonders effizienten numerischen Integrationsalgorithmus +ausnutzt. + \input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex} -%\input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex} \input{chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex} -%\section{TODO} -%\begin{itemize} -%\end{itemize} - -\section*{Übungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgabe} \rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} -%\uebungsaufgabe{0} +\uebungsaufgabe{701} %\uebungsaufgabe{1} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex index 55f9700..a5af7d2 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex @@ -1,7 +1,8 @@ % % Anwendung: Gauss-Quadratur % -\section{Anwendung: Gauss-Quadratur} +\section{Anwendung: Gauss-Quadratur +\label{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur}} \rhead{Gauss-Quadratur} Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren. @@ -135,12 +136,12 @@ p(x)&=x^2\colon& \frac23 &= A_0x_0^2 + A_1x_1^2\\ p(x)&=x^3\colon& 0 &= A_0x_0^3 + A_1x_1^3. \end{aligned} \] -Dividiert man die zweite und vierte Gleichung in der Form +Dividiert man die vierte durch die zweite Gleichung in der Form \[ \left. \begin{aligned} -A_0x_0 &= -A_1x_1\\ -A_0x_0^2 &= -A_1x_1^2 +A_0x_0^3 &= -A_1x_1^3 &\qquad&\text{(vierte Gleichung)}\\ +A_0x_0 &= -A_1x_1 &\qquad&\text{(zweite Gleichung)} \end{aligned} \quad \right\} @@ -155,7 +156,7 @@ x_1=-x_0. \] Indem wir dies in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir \[ -0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_1 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 +0 = A_0x_0 + A_1x_1 = A_0x_0 -A_1x_0 = (A_0-A_1)x_0 \quad\Rightarrow\quad A_0=A_1. \] @@ -229,6 +230,7 @@ Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $n$. \begin{satz} +\index{Satz!Gaussquadratur}% \label{buch:integral:satz:gaussquadratur} Sei $p$ ein Polynom vom Grad $n$, welches auf allen Polynomen in $R_{n-1}$ orthogonal sind. @@ -263,7 +265,7 @@ werden können, muss auch = \int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx = -\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i) +\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i) \] für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten. Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden @@ -272,9 +274,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt 0 = \sum_{i=0}^n -l_j(x_i)p(x_i) +A_il_j(x_i)p(x_i) = -\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i), +\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i) += +A_jp(x_j), \] die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ sein. @@ -282,7 +286,7 @@ $p(x)$ sein. Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das {\em Gausssche Quadraturverfahren}. -Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome} +Die in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:subsection:legendre-polynome} bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz verlangte Eigenschaft, dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind. @@ -304,6 +308,7 @@ Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung angeben \cite[theorem 7.3.4, p.~497]{buch:numal}. \begin{satz} +\index{Satz!Gausssche Quadraturformel und Fehler}% Seien $x_i$ die Stützstellen und $A_i$ die Gewichte einer Gaussschen Quadraturformel mit $n+1$ Stützstellen und sei $f$ eine auf dem Interval $[-1,1]$ $2n+2$-mal stetig differenzierbare @@ -549,7 +554,7 @@ w(x)=e^{-x} \text{ und } g(x)=f(x)e^x. \] -Dann approximiert $g(x)$ man durch ein Interpolationspolynom, +Dann approximiert man $g(x)$ durch ein Interpolationspolynom, so wie man das bei der Gauss-Quadratur gemacht hat. Als Stützstellen müssen dazu die Nullstellen der Laguerre-Polynome verwendet werden. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex index 042d466..f776c03 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex @@ -189,6 +189,28 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\[ +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx += +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt += +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\] + % % % diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex index de8f63f..f3dd53f 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex @@ -3,7 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen +\label{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl}} \rhead{Differentialgleichungen orthogonaler Polynome} Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten Polynomen gefunden. @@ -16,8 +17,13 @@ Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. +% +% Legendre-Differentialgleichung +% \subsection{Legendre-Differentialgleichung} Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung +\index{Differentialgleichung!Legendre-}% +\index{Legendre-Differentialgleichung}% \begin{equation} (1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0 \label{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} @@ -61,7 +67,10 @@ zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen $y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. -\subsection{Potenzreihenlösung} +% +% Potenzreihenlösungen +% +\subsubsection{Potenzreihenlösung} Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und verwenden dazu den Ansatz \[ @@ -170,7 +179,10 @@ eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt. Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome orthogonal sind. -\subsection{Eigenfunktionen} +% +% Eigenfunktionen +% +\subsubsection{Eigenfunktionen} Die Differentialgleichung \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung} Kann mit dem Differentialoperator @@ -198,7 +210,10 @@ des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind: D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n. \] -\subsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} +% +% Orthogonalität von P_n als Eigenfunktionen +% +\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen} Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt \[ @@ -274,7 +289,10 @@ die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$. -\subsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +% +% Legendre-Funktionen zweiter Art +% +\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} %Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} % Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der @@ -368,7 +386,7 @@ Q_1(x) = x \operatorname{artanh}x-1 verwendet werden. % -% +% Laguerre-Differentialgleichung % \subsection{Laguerre-Differentialgleichung \label{buch:orthogonal:subsection:laguerre-differentialgleichung}} @@ -427,11 +445,15 @@ schlägt eine zweite Lösung vor, im vorliegenden Fall mit $b=1$ ist die zweite Lösung jedoch identisch zu ersten, es muss daher ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden. -XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung. +%XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung. +% +% +% \subsubsection{Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} \index{assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}% \index{Laguerre-Differentialgleichung, assoziierte}% +\index{Differentialgleichung!assoziierte Laguerre-}% Die {\em assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index d06f46e..df04514 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -11,9 +11,13 @@ Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals definiert sind. Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von -Differentialgleichungen. +Differentialgleichungen auf. Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen Polynome sind. +In diesem Abschnitt soll zunächst das Skalarprodukt definiert +und an Hand von Beispielen gezeigt werden, wie verschiedenartige +interessante Familien von orthogonalen Polynomen gewonnen werden +können. % % Skalarprodukt @@ -520,7 +524,7 @@ Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} dargestellt. Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, -dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. +dass die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. % @@ -634,7 +638,7 @@ Der Vektorraum $H_w$ von auf $(a,b)$ definierten Funktionen sei H_w = \biggl\{ -f:\colon(a,b) \to \mathbb{R} +f\colon(a,b) \to \mathbb{R} \;\bigg|\; \int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx \biggr\}. @@ -737,6 +741,57 @@ rechten Rand haben. \label{buch:orthogonal:fig:jacobi-parameter}} \end{figure} +\subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion und Beta-Verteilung +\label{buch:orthogonal:subsection:beta-verteilung}} +Die Jacobi-Gewichtsfunktion entsteht aus der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung, die in +Abschnitt~\ref{buch:rekursion:subsection:beta-verteilung} +eingeführt wurde mit Hilfe der Variablen-Transformation $x = 2t-1$ +oder $t=(x+1)/2$. +Das Integral mit der Jacobi-Gewichtsfunktion $w^{(\alpha,\beta)}(x)$ +kann damit umgeformt werden in +\begin{align*} +\int_{-1}^1 +f(x)\,w^{(\alpha,\beta)}(x)\,dx +&= +\int_0^1 +f(2t-1) w^{(\alpha,\beta)}(2t-1)\,2\,dt +\\ +&= +\int_0^1 +f(2t-1) +(1-(2t-1))^\alpha (1+(2t-1))^\beta +\,2\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +t^\beta +(1-t)^\alpha +\,dt +\\ +&= +2^{\alpha+\beta+1} +B(\alpha+1,\beta+1) +\int_0^1 +f(2t-1) +\, +\frac{ +t^\beta +(1-t)^\alpha +}{B(\alpha+1,\beta+1)} +\,dt. +\end{align*} +Auf der letzten Zeile steht ein Integral mit der Wahrscheinlichkeitsdichte +der Beta-Verteilung. +Orthogonale Funktionen bezüglich der Jacobischen Gewichtsfunktion +$w^{(\alpha,\beta)}$ werden mit der genannten Substitution also +zu orthogonalen Funktionen bezüglich der Beta-Verteilung mit +Parametern $\beta+1$ und $\alpha+1$. + + % % Tschebyscheff-Gewichtsfunktion % @@ -791,14 +846,14 @@ bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}. % % Laguerre-Gewichtsfunktion % -\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion} +\subsubsection{Laguerre-Gewichtsfunktion} Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die {\em Laguerre-Gewichtsfunktion} \index{Laguerre-Gewichtsfunktion}% \[ w_{\text{Laguerre}}(x) = -w^{-x} +e^{-x} \] auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder sehr rasch gegen $0$. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex index 5ec7fed..3dd9de5 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex @@ -30,10 +30,21 @@ Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn für alle $n$, $m$. \end{definition} -\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} -Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt. +\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome} +Die Multiplikation mit $x$ macht aus einem Polynom vom Grad $n$ ein +Polynom vom Grad $n+1$. +Das Polynom $xp_n(x)$ lässt sich daher als Linearkombination der +Polynome $p_k(x)$ mit $k\le n+1$ schreiben. +Es muss also eine lineare Beziehung zwischen den Polynomen $p_k(x)$ und +$xp_n(x)$ geben, die man nach $p_{n+1}(x)$ auflösen kann, um eine lineare +Darstellung von $p_{n+1}(x)$ durch die $p_k(x)$ und $p_n(x)$ zu +bekommen. +A priori muss man damit rechnen, dass sehr viele Summanden nötig sind. +Der folgende Satz besagt, dass $p_n(x)$ eine Rekursionsbeziehung mit +nur drei Termen erfüllt. \begin{satz} +\index{Satz!Drei-Term-Rekursion}% \label{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion} Eine Folge bezüglich $\langle\,\;,\;\rangle_w$ orthogonaler Polynome $p_n$ mit dem Grade $\deg p_n = n$ erfüllt eine Rekursionsbeziehung der Form @@ -55,9 +66,13 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}. \end{equation} \end{satz} -\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$} -Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann -wird sie +Die Rekursionsbeziehung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} bedeutet, +dass sich die Werte $p_n(x)$ für alle $n$ ausgehend von $p_1(x)$ und +$p_0(x)$ mit nur $O(n)$ Operationen ermitteln lassen. + +\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$} +Man kann die Relation \eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} +auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann wird sie \begin{equation} xp_n(x) = @@ -68,11 +83,14 @@ xp_n(x) \frac{C_n}{A_n}p_{n-1}(x). \label{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} \end{equation} -Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen. +Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen, +die wir weiter unten auch $M_x$ abkürzen. Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat. +Ein Beispiel dafür ist im nächsten Abschnitt in +\eqref{buch:orthogonal:eqn:Mx} -\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} +\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome} Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} wurde bereits in Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen} @@ -80,12 +98,28 @@ hergeleitet. In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet sie \[ -T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x). +T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x), \] also $A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$. +Die Matrixdarstellung des Multiplikationsoperators $M_x$ in der +Basis der Tschebyscheff-Polynome hat wegen +\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} die Form +\begin{equation} +M_x += +\begin{pmatrix} + 0&\frac12& 0& 0& 0&\dots \\ +\frac12& 0&\frac12& 0& 0&\dots \\ + 0&\frac12& 0&\frac12& 0&\dots \\ + 0& 0&\frac12& 0&\frac12&\dots \\ + 0& 0& 0&\frac12& 0&\dots \\ + \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots&\ddots +\end{pmatrix}. +\label{buch:orthogonal:eqn:Mx} +\end{equation} -\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} +\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}} Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch, dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$ berechnen muss. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex index 9fded85..4852624 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex @@ -14,7 +14,8 @@ mit der Ableitung kann man den Grad aber auch senken, man könnte daher auch nach einer Rekursionsformel fragen, die bei einem Polynom hohen Grades beginnt und mit Hilfe von Ableitungen zu geringeren Graden absteigt. -Solche Formeln heissen Rodrigues-Formeln nach dem Entdecker Olinde +Solche Formeln heissen {\em Rodrigues-Formeln} nach dem Entdecker Olinde +\index{Rodriguez, Olinde}% Rodrigues, der eine solche Formal als erster für Legendre-Polynome gefunden hat. @@ -27,12 +28,17 @@ Die Skalarprodukte sollen \] sein. +% +% Pearsonsche Differentialgleichung +% \subsection{Pearsonsche Differentialgleichung} Die {\em Pearsonsche Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung \begin{equation} B(x) y' - A(x) y = 0, \label{buch:orthogonal:eqn:pearson} \end{equation} +\index{Differentialgleichung!Pearsonsche}% +\index{Pearsonsche Differentialgleichung}% wobei $B(x)$ ein Polynom vom Grad höchstens $2$ ist und $A(x)$ ein höchstens lineares Polynom. Die Gleichung~\eqref{buch:orthogonal:eqn:pearson} @@ -45,33 +51,46 @@ Dann kann man die Gleichung umstellen in = \frac{A(x)}{B(x)} \qquad\Rightarrow\qquad -y = \exp\biggl( \int\frac{A(x)}{B(x)}\biggr)\,dx. +y += +\exp\biggl( +\int\frac{A(x)}{B(x)} +\,dx +\biggr) +. \] -Im folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass +Im Folgenden nehmen wir zusätzlich an, dass an den Intervallenden \begin{equation} \lim_{x\to a+} w(x)B(x) = 0, \qquad\text{und}\qquad -\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0. +\lim_{x\to b-} w(x)B(x) = 0 \end{equation} +gilt. + Falls $w(x)$ an den Intervallenden einen von $0$ verschiedenen Grenzwert hat, bedeutet dies, dass $B(a)=B(b)=0$ sein muss. Falls $w(x)$ am Intervallende divergiert, muss $B(x)$ dort eine Nullstelle höherer Ordnung haben, was aber für ein Polynom zweiten Grades nicht möglich ist. +% +% Rekursionsformel +% \subsection{Rekursionsformel} Multiplikation mit $B(x)$ wird den Grad eines Polynomes typischerweise um $2$ erhöhen, die Ableitung wird ihn wieder um $1$ reduzieren. Etwas formeller kann man dies wie folgt formulieren: \begin{satz} +\index{Satz!Rodrigues-Rekursionsformel}% Für alle $n\ge 0$ ist -\[ +\begin{equation} q_n(x) = \frac{1}{w(x)} \frac{d^n}{dx^n} B(x)^n w(x) -\] +\label{buch:orthogonalitaet:rodrigues:eqn:rekursion} +\end{equation} ein Polynom vom Grad höchstens $n$. \end{satz} @@ -85,51 +104,67 @@ r_0(x) B(x)^n w(x) \\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} -\bigl(r_0'(x)B(x)+ nB'(x)B(x)^{n-1}w(x) + B(x)^n w'(x) \bigr) +\bigl(r_0'(x)B(x)+ nr_0(x)B'(x)B(x)^{n-1}w(x) + r_0(x)B(x)^n w'(x) \bigr) \\ &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} -(r_0'(x)B(x)+nB'(x)+A(x)) B(x)^{n-1} w(x) -= +(\underbrace{r_0'(x)B(x)+nr_0(x)B'(x)+r_0(x)A(x)}_{\displaystyle = r_1(x)}) +B(x)^{n-1} w(x) +\\ +&= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} r_1(x)B^{n-1}(x) w(x). \end{align*} -Für die Funktionen $r_k$ gilt die Rekursionsformel +Iterativ lässt sich eine Folge von +Funktionen $r_k(x)$ definieren, für die Rekursionsformel \begin{equation} -r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + kB'(x) + A(x). +r_k(x) = r_{k-1}'(x)B(x) + \bigl((n+1-k)B'(x) + A(x)\bigr)r_{k-1}(x) \label{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} \end{equation} +gilt. Wenn $r_0(x)$ ein Polynom ist, dann sind alle Funktionen $r_k(x)$ ebenfalls Polynome. -Durch wiederholte Anwendung dieser Formel kann man schliessen, dass +Aus der Konstruktion kann man schliessen, dass \[ \frac{d^n}{dx^n} r_0(x) B(x)^n w(x) = r_n(x) w(x). \] -Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass man durch $w(x)$ dividieren kann -und dass $r_n(x)=q_n(x)$. +Insbesondere folgt für $r_0(x)=1$, dass die $n$-te Ableitung den +Faktor $w(x)$ enthält und dass somit $r_n(x)=q_n(x)$ ein Polynom ist. -Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen. -Dazu verwenden wir -\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} und berechnen den -Grad: +Wir müssen auch noch den Grad von $r_k(x)$ bestimmen, wobei wir +wieder von $r_0(x)=1$ ausgehen. +Wir behaupten, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist, und beweisen dies +mit vollständiger Induktion. +Für $k=0$ ist $\deg r_0(x) = 0 \le k$ die Induktionsverankerung. + +Wir nehmen jetzt also an, dass $\deg r_{k-1}(x)\le k-1$ ist und +verwenden +\eqref{buch:orthogonal:rodrigues:rekursion:beweis1} um den Grad zu berechnen: \begin{equation*} \deg r_k(x) = \max \bigl( -\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle \deg r_{k-1}(x) -1 + 2} +\underbrace{\deg(r_{k-1}'(x) B(x))}_{\displaystyle (k-1) -1 + 2} , -\underbrace{\deg(B'(x))}_{\displaystyle \le 1} +\underbrace{\deg(r_{k-1}(x)B'(x))}_{\displaystyle \le (k-1)+1} , -\underbrace{\deg(A(x))}_{\displaystyle \le 1} +\underbrace{\deg(r_{k-1}(x)A(x))}_{\displaystyle \le (k-1)+1} \bigr) -\le \max r_{k-1}(x) + 1. +\le k. \end{equation*} -Aus $\deg r_0(x)=0$ kann man jetzt ablesen, dass $\deg r_k(x)\le k$ ist. -Damit ist gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. +Damit ist der Induktionsschritt und $\deg r_k(x)\le k$ bewiesen. +Damit ist auch gezeigt, dass $\deg q_n(x)\le n$. \end{proof} +Die Rodrigues-Formel~\eqref{buch:orthogonalitaet:rodrigues:eqn:rekursion} +produziert eine Folge von Polynomen aufsteigenden Grades, es ist aber +noch nicht klar, dass diese Polynome bezüglich des gewählten Skalarproduktes +orthogonal sind. +Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes. + \begin{satz} +\index{Satz!Rodrigues-Formel für orthonormierte Polynome}% Es gibt Konstanten $c_n$ derart, dass \[ p_n(x) @@ -140,7 +175,7 @@ gilt. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] -Wir müssen zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen +Wir zeigen, dass die Polynome orthogonal sind auf allen Monomen von geringerem Grad. \begin{align*} \langle q_n, x^k\rangle_w @@ -148,15 +183,17 @@ von geringerem Grad. \int_a^b q_n(x)x^kw(x)\,dx \\ &= -\int_a^b \frac{1}{w(x)}\frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k w(x)\,dx +\int_a^b \frac{1}{w(x)} +\biggl(\frac{d^n}{dx^n}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr)\biggr) +x^k w(x)\,dx \\ &= -\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}(B(x)^n w(x)) x^k \,dx +\int_a^b \frac{d^n}{dx^n}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr) x^k \,dx \\ &= -\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x)) x^k \biggr]_a^b +\biggl[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr) x^k \biggr]_a^b - -\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(B(x)^n w(x))kx^{k-1}\,dx +\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\bigl(B(x)^n w(x)\bigr)kx^{k-1}\,dx \end{align*} Durch $n$-fache Iteration wird das Integral auf $0$ reduziert. Es bleiben nur die eckigen Klammern stehen, doch wenn man die Produktregel @@ -164,9 +201,32 @@ auswertet, bleibt immer mindestens ein Produkt $B(x)w(x)$ stehen, nach den Voraussetzungen an den Grenzwert dieses Produktes an den Intervallenden verschwinden diese Terme alle. Damit sind die $q_n(x)$ Polynome, die $w$-orthogonal sind auf allen -$x^k$ mit $k<n$, also Vielfache der $w$-Orthgonalpolynome. +$x^k$ mit $k<n$. + +Die Polynome $q_k(x)$ mit $k< n$ haben Grad $<n$ und sind daher +Linearkombinationen von Monomen vom Grad $<n$. +Soeben wurde gezeigt, dass $q_n(x)$ orthogonal auf diesen Monomen +ist, also auch auf $q_k(x)$ mit $k<n$. +Damit ist gezeigt, dass Polynome $q_n(x)$ eine orthogonale Familie +von Polynomen bilden. +Durch Normierung müssen sich daraus die Polynome $p_n(x)$ ergeben. \end{proof} +\subsection{Differentialgleichung} +Man kann auch zeigen (siehe z.~B.~\cite{buch:pearsondgl}, +dass die orthogonalen Polynome, die die +Rodrigues-Formel liefert, einer Differentialgleichung zweiter +Ordnung genügen, deren möglicherweise nicht konstante Koeffizienten +sich direkt aus $A(x)$, $B(x)$ und $w(x)$ bestimmen lassen. + +\subsection{Beispiel} +Im folgenden zeigen wir, wie sich für viele der früher eingeführten +Gewichtsfunktionen Rodrigues-Formeln für die zugehörigen orthogonalen +Polynome konstruieren lassen. + +% +% Legendre-Polynome +% \subsubsection{Legendre-Polynome} Legendre-Polynome sind orthogonale Polynome zum Standardskalarprodukt mit $w(x)=1$. @@ -195,6 +255,9 @@ P_n(x) (x^2-1)^n. \] +% +% Hermite-Polynome +% \subsubsection{Hermite-Polynome} Die Hermite-Polynome sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert und verwenden die Gewichtsfunktion @@ -205,13 +268,13 @@ Für jedes beliebige Polynome $B(x)$, auch für höheren Grad als $2$, ist \[ \lim_{x\to-\infty} B(x) w(x) = -\lim_{x\to-\infty} B(x)^e{-x^2} +\lim_{x\to-\infty} B(x)e^{-x^2} = 0 \qquad\text{und}\qquad \lim_{x\to\infty} B(x) w(x) = -\lim_{x\to\infty} B(x)^e{-x^2} +\lim_{x\to\infty} B(x)e^{-x^2} = 0, \] @@ -222,7 +285,7 @@ Die Ableitung der Gewichtsfunktion ist \[ w'(x) = -2xe^{-x^2}. \] -Eingsetzt in die Pearsonsche Differentialgleichung findet man +Eingesetzt in die Pearsonsche Differentialgleichung findet man \[ \frac{w'(x)}{w(x)} = @@ -238,6 +301,8 @@ B(x) = 1. \] Die Gradbedingung ist also immer erfüllt und es folgt die Rodrigues-Formel für die Hermite-Polynome +\index{Hermite-Polynom}% +\index{Polynome!Hermite}% \begin{equation} H_n(x) = @@ -249,13 +314,15 @@ e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}. \label{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} \end{equation} -Die Hermite-Polynome können mit der Rodrigues-Formel berechnen, aber die -Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} ist dazu nicht gut -geeignet. -Dazu dient die Berechnung +Die Hermite-Polynome können mit der Rodrigues-Formel berechnet werden, +aber die Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:hermite-rodrigues} ist dazu +nicht gut geeignet. +Zur Vereinfachung dient die Berechnung \[ -\frac{d}{dx} +\bigl( e^{-x^2}f(x) +\bigr) = 2xe^{-x^2}f(x) - @@ -270,15 +337,15 @@ vertauscht werden kann, wenn er durch die grosse Klammer auf der rechten Seite ersetzt wird. Die Rodrigues-Formel bekommt daher die Form \[ -H_n(x) = \biggl(\frac{d}{dx}-2x\biggr)^n \cdot 1 +H_n(x) = \biggl(2x-\frac{d}{dx}\biggr)^n \cdot 1. \] -TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ +%TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ %\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_formula} % -% Jacoib-Gewichtsfunktion +% Jacobi-Gewichtsfunktion % \subsubsection{Jacobi-Gewichtsfunktion} %(%i1) w: (1-x)^a*(1+x)^b; @@ -303,6 +370,8 @@ TODO: Relation zu hypergeometrischen Funktionen $\mathstrut_1F_1$ % x - 1 % Die Jacobi-Gewichtsfunktion +\index{Jacobi-Gewichtsfunktion}% +\index{Gewichtsfunktion!Jacobi}% \[ w(x) = @@ -357,9 +426,14 @@ Die Konstanten $c_n$ werden durch die Normierung % XXX in welchem Abschnitt festgelegt. +% +% Tschebyscheff-Gewichtsfunktion +% \subsubsection{Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion} Die Tschebyscheff-Gewichtsfunktion ist der Spezialfall $a=b=-\frac12$ der Jacobi-Gewichtsfunktion. +\index{Tschebyscheff-Gewichtsfunktion}% +\index{Gewichtsfunktion!Tschebyscheff}% Die Rodrigues-Formel für die Tschebyscheff-Polynome lautet daher \[ T_n(x) @@ -373,8 +447,13 @@ c_n\sqrt{1-x^2} \frac{d^n}{dx^n} \] wobei wir den korrekten Wert von $c_n$ nicht nachgewiesen haben. +% +% Laguerre Gewichtsfunktion +% \subsubsection{Die Laguerre-Gewichtsfunktion} Die Laguerre-Gewichtsfunktion +\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}% +\index{Gewichtsfunktion!Laguerre}% \[ w_{\text{Laguerre}}(x) = @@ -387,6 +466,8 @@ hat die Ableitung w'(x) = -e^{-x}, \] die Pearsonsche Differentialgleichung ist daher +\index{Pearsonsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Pearsonsche}% \[ \frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{-1}{1}. \] @@ -485,6 +566,8 @@ an der Stelle $0$. Wir fassen die Resultate im folgenden Satz zusammen. \begin{satz} +\index{Satz!Laguerre-Polynome}% +\index{Polynome!Laguerre-}% Die Laguerre-Polynome vom Grad $n$ haben die Form \begin{equation} L_n(x) diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex index c667297..599d3a0 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/saev.tex @@ -18,6 +18,7 @@ Der Beweis ist direkt übertragbar, wir halten das Resultat hier für spätere Verwendung fest. \begin{satz} +\index{Satz!orthogonale Eigenvektoren}% Sind $f$ und $g$ Eigenvektoren eines selbstadjungierten Operators $A$ zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda$ und $\mu$, dann sind $f$ und $g$ orthogonal. diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex index c9c9cc6..742ec0a 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex @@ -7,10 +7,14 @@ \label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}} \rhead{Das Sturm-Liouville-Problem} Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen +\index{Bessel-Funktion}% konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden, dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden. +% +% Differentialgleichungen +% \subsection{Differentialgleichung} Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem. Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung @@ -30,6 +34,9 @@ erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$ sowie die Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden. +% +% Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen +% \subsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen} Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem. @@ -51,6 +58,7 @@ Für symmetrische Matrizen lässt sich dieses Problem auf ein Optimierungsproblem reduzieren. \begin{satz} +\index{Satz!verallgemeinertes Eigenwertproblem}% Seien $A$ und $B$ symmetrische $n\times n$-Matrizen und sei ausserdem $B$ positiv definit. Ist $v$ ein Vektor, der die Grösse @@ -121,6 +129,7 @@ Eigenwert $\lambda$ ist. \end{proof} \begin{satz} +\index{Satz!Orthogonalität verallgemeinerter Eigenvektoren}% Verallgemeinerte Eigenvektoren $u$ und $v$ von $A$ und $B$ zu verschiedenen Eigenwerten erfüllen $u^tBv=0$. \end{satz} @@ -147,6 +156,8 @@ dass $u^tBv=0$ sein muss. Verallgemeinerte Eigenwerte und Eigenvektoren verhalten sich also ganz analog zu den gewöhnlichen Eigenwerten und Eigenvektoren. Da $B$ positiv definit ist, ist $B$ auch invertierbar. +\index{verallgemeinertes Skalarprodukt}% +\index{Skalarprodukt!verallgemeinertes}% Zudem kann $B$ zur Definition des verallgemeinerten Skalarproduktes \[ \langle u,v\rangle_B = u^tBv @@ -175,6 +186,9 @@ ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$. +% +% Der Operator L_0 und die Randbedingung +% \subsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung} Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden. Dazu schreiben wir @@ -192,6 +206,7 @@ Bezüglich des gewöhnlichen Skalarproduktes für Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ ist der Operator $L_0$ tatsächlich selbstadjungiert. Mit partieller Integration rechnet man nach: +\index{partielle Integration}% \begin{align} \langle f,L_0g\rangle &= @@ -275,6 +290,9 @@ Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung \eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung} erfüllt sein muss. +% +% Skalarprodukt +% \subsection{Skalarprodukt} Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem @@ -314,6 +332,9 @@ mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden. Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im Innerend es Intervalls sein. +% +% Der Vektorraum H +% \subsection{Der Vektorraum $H$} Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden Funktionen zusammenstellen. @@ -346,17 +367,23 @@ f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\; \biggr\}. \] -\subsection{Differentialoperator} +% +% Der Sturm-Liouville-Differentialoperator +% +\subsection{Der Sturm-Liouville-Differentialoperator} Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$ bezüglich des modifizierten Skalarproduktes. Das Sturm-Liouville-Problem ist also ein Eigenwertproblem im Vektorraum $H$ mit dem Skalarprodukt $\langle\,\;,\;\rangle_w$. Der Operator -\[ +\begin{equation} L = \frac{1}{w(x)} \biggl(-\frac{d}{dx} p(x)\frac{d}{dx} + q(x)\biggr) -\] +\label{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL1} +\end{equation} heisst der {\em Sturm-Liouville-Operator}. +\index{Sturm-Liouville-Operator}% +\index{Operator!Sturm-Liouville-}% Eine Lösung des Sturm-Liouville-Problems ist eine Funktion $y(x)$ derart, dass \[ @@ -365,17 +392,32 @@ Ly = \lambda y, $\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert. Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt definierten Vektorraumes $H$. +Führt man die Differentiation aus, bekommt der Operator die Form +\begin{equation} +L += +-\frac{p(x)}{w(x)} \frac{d^2}{dx^2} +-\frac{p'(x)}{w(x)} \frac{d}{dx} ++\frac{q(x)}{w(x)}. +\label{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL2} +\end{equation} +% +% Beispiele +% \subsection{Beispiele} Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus. Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher automatisch für diese Funktionenfamilien. +% +% Trignometrische Funktionen +% \subsubsection{Trigonometrische Funktionen} Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$ -und $w(x)=0$. +und $w(x)=1$. Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen \bgroup \renewcommand{\arraycolsep}{2pt} @@ -434,6 +476,9 @@ Dann ist wegen die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung} ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert. +% +% Bessel-Funktionen J_n(x) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(x)$} Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator} kann wie folgt in die Form eines Sturm-Liouville-Operators gebracht @@ -478,6 +523,9 @@ Es folgt damit sofort, dass die Besselfunktionen orthogonale Funktionen bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=1/x$ sind. +% +% Bessel-Funktionen J_n(sx) +% \subsubsection{Bessel-Funktionen $J_n(s x)$} Das Sturm-Liouville-Problem mit den Funktionen \eqref{buch:orthogonal:sturm:bessel:n} @@ -489,7 +537,10 @@ Im Folgenden sollen hingegen die Funktionen $J_n(s x)$ für konstantes $n$, aber verschiedene $s$ untersucht und als orthogonal erkannt werden. -Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Bessel-Differentialgleichung +Die Funktion $y(x) = J_n(x)$ ist eine Lösung der Besselschen +Differentialgleichung +\index{Besselsche Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Besselsche}% \[ x^2y'' + xy' + x^2y = n^2y. \] @@ -576,6 +627,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems für den Eigenwert $\lambda = -s^2$. \begin{satz}[Orthogonalität der Bessel-Funktionen] +\index{Satz!Orthogonalität der Bessel-Funktionen}% Die Bessel-Funktionen $J_n(sx)$ für verschiedene $s$ sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(x)=x$, d.~h. @@ -608,6 +660,9 @@ Damit sind geeignete Randbedingungen für das Sturm-Liouville-Problem gefunden. \end{proof} +% +% Laguerre-Polynome +% \subsubsection{Laguerre-Polynome} Die Laguerre-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts mit der Laguerre-Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$ und erfüllen die @@ -646,9 +701,15 @@ also die Laguerre-Differentialgleichung. Somit folgt, dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind bezüglich des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion. +% +% Tschebyscheff-Polynome +% \subsubsection{Tschebyscheff-Polynome} Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der -Tschebyscheff-Differentialgleichung +bereits in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} hergeleiteten +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +\index{Tschebyscheff-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Tschebyscheff-}% \[ (1-x^2)y'' -xy' = n^2y \] @@ -680,19 +741,100 @@ xy'(x) \lambda y(x). \end{align*} Es folgt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal sind +\index{Tschebyscheff-Polynom}% bezüglich des Skalarproduktes \[ \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \] +% +% Jacobi-Polynome +% \subsubsection{Jacobi-Polynome} -TODO - +Die Jacobi-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes +\index{Jacobi-Polynome}% +\index{Polynome!Jacobi-}% +mit der Gewichtsfunktion +\[ +w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta, +\] +definiert in Definition~\ref{buch:orthogonal:def:jacobi-gewichtsfunktion}. +%Bei der Herleitung der Rodrigues-Formel für die Jacobi-Polynome wurde erkannt, +%dass $B(x)=1-x^2$ und $A(x)=\beta-\alpha-(\alpha+\beta)x$ sein muss. +Man kann zeigen, dass sie Lösungen der +{\em Jacobi-Diffe\-ren\-tial\-gleichung} +\index{Jacobi-Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Jacobi}% +\begin{equation} +(1-x^2)y'' + (\beta-\alpha-(\alpha+\beta + 2)x)y' + n(n+\alpha+\beta+1)y=0 +\label{buch:orthogonal:jacobi:dgl} +\end{equation} +sind. +Es stellt sich die Frage, ob sich Funktionen $p(x)$ und $q(x)$ finden lassen +derart, dass die Differentialgleichung~\eqref{buch:orthogonal:jacobi:dgl} +eine Sturm-Liouville-Gleichung wird. +Gemäss der Form~\eqref{buch:orthogonal:sturm-liouville:opL2} muss +$p(x)$ so gefunden werden, dass +\begin{align*} +\frac{p(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} &= 1-x^2 \\ +\frac{p'(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} &= \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x +\end{align*} +gilt. +Der Quotient der beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung +\[ +(\log p(x))' += +\frac{p'(x)}{p(x)} += +\frac{1-x^2}{\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x} +\] +von $p(x)$, +die sich in geschlossener Form integrieren lässt. +Man findet als Stammfunktion +\[ +p(x) += +(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}. +\] +Tatsächlich ist +\begin{align*} +\frac{p(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} +&= +\frac{(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}}{(1-x)^\alpha(1+x)^\beta} += +(1-x)(1+x)=1-x^2 +\\ +\frac{p'(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} +&= +\frac{ +-(\alpha+1) +(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta+1} ++ +(\beta+1) +(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta} +}{ +(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta} +} +\\ +&= +-(\alpha+1)(1+x) + (\beta+1)(1-x) += +\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x. +\end{align*} +Damit ist +die Jacobische Differentialgleichung +als Sturm-Liouville-Differentialgleichung erkannt. +% +% Hypergeometrische Differentialgleichungen +% \subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen} %\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation} Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung +\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung}% +\index{Differentialgleichung!Eulersche hypergeometrische}% lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators +\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung!als Sturm-Liouville-Gleichung}% bringen. Dazu setzt man \begin{align*} diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex new file mode 100644 index 0000000..dad489f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben/701.tex @@ -0,0 +1,137 @@ +Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist +\[ +\langle f,g\rangle += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx +\] +ein Skalarprodukt. +Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome +bis zum Grad $2$. + +\begin{hinweis} +Verwenden Sie +\begin{align*} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx +&= +1, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^2-8}{2}, +& +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx +&= +\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}. +\end{align*} +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die +Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen. +Zunächst halten wir fest, dass +\[ +\langle f_0,f_0\rangle += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx += +1, +\] +das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$. + +Ein dazu orthogonales Polynom ist +\( +f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x), +\) +wir müssen also das Skalarprodukt +\[ +\langle g_0,f_1\rangle += +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x\cos x\,dx +\] +bestimmen. +Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist. +Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu +normieren berechnen wir das Integral +\[ +\| f_1\|^2 += +\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4}, +\] +und +\[ +g_1(x) += +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x. +\] + +Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte +\begin{align*} +\langle g_0,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +x^2 +\cos x +\,dx += +\frac{\pi^2-8}{4} +\\ +\langle g_1,f_2\rangle +&= +\frac{1}{2} +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} +x +\cdot x^2 +\cos x +\,dx += +0 +\end{align*} +bestimmen. +Damit wird das dritte Polynom +\[ +f_2(x) +- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle +- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle += +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}, +\] +welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$. +Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war, +dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen: +\[ +\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2 += +\frac12 +\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} +\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2 +\cos x\,dx += +20-2\pi^2 +\] +woraus sich +\[ +g_2(x) += +\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}} +\biggl( +x^2 - \frac{\pi^2-8}{4} +\biggr). +\] +Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes +orthogonalen Polynome +\begin{align*} +g_0(x)&=1, +& +g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}}, +& +g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr) +\end{align*} +gefunden. +\end{loesung} |