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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex new file mode 100644 index 0000000..48e9bdc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +Verwenden Sie die Legendresche Verdoppelungsformel und +die Eulersche Spiegelungsformel für die Gamma-Funktion, +um $\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac34)$ zu berechnen und +verifizieren Sie, dass beide Wege das gleiche Resultat geben. + +\begin{loesung} +Aus der Spiegelungsformel für $x=\frac14$ folgt +\[ +\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34}) += +\frac{\pi}{\sin\frac{\pi}4} += +\frac{\pi}{1/\sqrt{2}} += +\pi\sqrt{2}. +\] +Andererseits ist $\frac34=\frac14+\frac12$, so dass aus der Legendreschen +Verdoppelungsformel folgt +\[ +\Gamma({\textstyle\frac14})\Gamma({\textstyle\frac34}) += +2^{1-2\cdot \frac14}\sqrt{\pi}\Gamma(2\cdot {\textstyle\frac14}) += +\sqrt{2} +\sqrt{\pi}\Gamma({\textstyle\frac12}) += +\sqrt{2} +\pi. +\] +Offensichtlich stimmen die beiden Resultate überein. +\end{loesung} |