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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc index 813865f..affaa94 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc @@ -12,6 +12,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex \ chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex \ chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex \ + chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex \ chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex \ chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex \ chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex index e02fb3e..4cdf9be 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex @@ -8,3 +8,4 @@ \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex} +\input{chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4ba1346 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp new file mode 100644 index 0000000..35f4303 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/operator.mp @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% operatormp -- Seitz-Kull-Operator in Metapost +% +% (c) 2016 Prof Dr Andreas Mueller, Hochschule Rapperswil +% +verbatimtex +\documentclass{book} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{txfonts} +\begin{document} +etex; + +beginfig(1) + +label(btex $A$ etex, (0,0)); + +path circle; + +numeric r; +r := 4.7; +numeric b; +b := 0.45; + +circle := r * (cosd(40), sind(40)); + +for alpha = 41 step 1 until 370: + circle := circle--(r * (cosd(alpha), sind(alpha))); +endfor; + +path head; +head := (0,0)--(5,-3)--(0,6)--(-5,-3)--cycle; + +z1 = (-0.3,-0.4); + +pickup pencircle scaled b; +draw circle shifted z1; +fill head scaled 0.2 rotated 10 shifted (r,0) rotated 10 shifted z1; + +endfig; + +end + + diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex new file mode 100644 index 0000000..71d1844 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex @@ -0,0 +1,427 @@ +% +% singularitaeten.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\newcommand*\sk{\vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf}}}} + +\subsection{Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Singularitäten +\label{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}} +Die Potenzreihenmethode hat ermöglicht, mindestens eine Lösung gewisser +linearer Differentialgleichungen zu finden. +Bei Differentialgleichungen wie der Besselschen Differentialgleichung, +deren Koeffizienten Singularitäten aufweisen, konnte aber nur eine +Lösung gefunden werden, während die Theorie verlangt, dass eine +Differentialgleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen +haben muss. + +Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, warum dies nicht möglich war und +wie diese Schwierigkeit mit Hilfe der analytischen Fortsetzung überwunden +werden kann. + +\subsubsection{Differentialgleichungen mit Singularitäten} +Mit der Besselschen +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel} +ist es nicht möglich, die zweite Ableitung $y''(0)$ an der Stelle $x=0$ +zu bestimmen. +Die Differentialgleichung kann an der Stelle $x=0$ nicht nach $y''$ +aufgelöst werden. +Wenn man die Differentialgleichung in ein Differntialgleichungssystem +\[ +\frac{d}{dx} +\begin{pmatrix} +y_1\\y_2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&1\\ +1-\frac{\alpha^2}{x^2} +& +-\frac{1}{x} +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +y_1\\y_2 +\end{pmatrix} +\] +erster Ordnung umwandelt, zeigt sich an der Stelle $x=0$ eine +Singularität in der Matrix, die Ableitung kann also für $x=0$ +nicht bestimmt werden. +In einer Umgebung von $x=0$ erfüllt die Differentialgleichung +die Voraussetzungen bekannter Existenz- und Eindeutigkeitssätze +für gewöhnliche Differentialgleichungen nicht. + +Ein ähnliches Problem tritt bei jeder hypergeometrischen +Differentialgleichung auf. +Diese werden gemäss Abschnitt +\ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} +aus den Differentialoperatoren +\[ +D_a=z\frac{d}{dz} + a +\] +zusammengesetzt. +Die Ableitung höchster Ordnung eines Produktes solcher Operationen ist +\[ +D_{a_1} +\cdots +D_{a_p} += +z^p\frac{d^p}{dz^p} + \text{Ableitungen niedrigerer Ordnung}. +\] +Dies zeigt, dass für $p>0$ oder $q>0$ ein Faktor $x$ bei der +Ableitung höchster Ordnung unvermeidlich ist, die Differentialgleichung +kann also wieder nicht nach dieser Ableitung aufgelöst werden und +erfüllt die Voraussetzungen der Existenz- und Eindeutigkeitssätze +in einer Umgebung von $x=0$ wieder nicht. + +Die Besselsche Differentialgleichung +hat auch nicht die Form $y''+p(x)xy'+q(x)=0$, die der Theorie der +Indexgleichung zugrunde lag. +Daher kann es auch keine Garantie geben, dass die Methode der +verallgemeinerten Potenzreihen zwei linear unabhängige Lösungen +liefern kann. +Tatsächlich wurde für ganzzahlige $n$ wegen $J_n(x) = (-1)^n J_{-n}(x)$ +nur eine Lösung statt der erwarteten zwei linear unabhängigen +Lösungen gefunden. + +Sind die Koeffizienten einer linearen Differentialgleichungen wie +in den genannten Beispielen singulär bei $x=0$, kann man auch nicht +erwarten, dass die Lösungen singulär sind. +Dies war schliesslich die Motivation, einen Lösungsansatz mit einer +verallgemeinerten Potenzreihe zu versuchen. +Mit den Funktion $x^\varrho$ lässt sich bereits eine recht grosse +Klasse von Singularitäten beschreiben, aber es ist nicht klar, +welche weiteren Arten von Singularitäten berücksichtigt werden sollten. +Dies soll im Folgenden geklärt werden. + +\subsubsection{Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung} +Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen +Vektorraum als Lösungsraum. + +\begin{definition} +Sei +\begin{equation} +\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) = 0 +\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl} +\end{equation} +eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung mit analytischen Koeffizienten +und $x_0\in \mathbb{C}$. +Dann ist +\[ +\mathbb{L}_{x_0} += +\left\{ +y(x) +\;\left|\; +\begin{minipage}{6cm} +$y$ ist Lösung der Differentialgleichung +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl} +in einer Umgebung von $x_0$ +\end{minipage} +\right. +\right\} +\] +der Lösungsraum der Differentialgleichung +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:eqn:defdgl}. +Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen +werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$. +\end{definition} + +\subsubsection{Analytische Fortsetzung auf einem Weg um $0$} +Die betrachteten Differentialgleichungen haben holomorphe +Koeffizienten, Lösungen der Differentialgleichung lassen sich +daher immer in die komplexe Ebene fortsetzen, solange man die +Singularitäten der Koeffizienten vermeidet. +Hat eine Funktion $y(z)$ eine Laurent-Reihe +\[ +y(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k, +\] +dann ist sie automatisch in einer Umgebung von $0$ definiert +ausser in $0$. +Die analytische Fortsetzung entlang eines Pfades, der $0$ +umschliesst, ist die Funktion $y(z)$ selbst. + +Für die Wurzelfunktion $y(z)=z^{\frac1n}$ ist dies nicht möglich. +Die analytische Fortsetzung von $\sqrt[n]{x}$ auf der positiven reellen +Achse entlang einer Kurve, die $0$ umschliesst, +produziert die Funktion +\[ +\sqrt[n]{z} += +\sqrt[n]{re^{i\varphi}} += +\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi}n}, +\] +die für $\varphi=2\pi$ zu $e^{i\frac{2\pi}n}\sqrt{x}$ wird. +Verallgemeinerte Potenzreihen als Lösungen zeigen daher, dass +die analytische Fortsetzung der Lösung entlang eines Pfades um +eine Singularität nicht mit der Lösung übereinstimmen muss. +Das Studium dieser analytischen Fortsetzung dürfte daher zusätzliche +Informationen über die Lösung hervorbringen. + +\begin{definition} +Der {\em Fortsetzungsoperator} $\sk$ ist der lineare Operator, der eine +in einem Punkt $x\in\mathbb{R}^+$ analytische Funktion $f(x)$ entlang eines +geschlossenen Weges fortsetzt, der $0$ im Gegenuhrzeigersinn umläuft. +Die Einschränkung der analytischen Fortsetzung auf $\mathbb{R}^+$ wird +mit $\sk f(x)$ bezeichnet. +\end{definition} + +Die obengenannten Beispiele lassen sich mit dem Operator $\sk$ als +\[ +\begin{aligned} +\sk z^n +&= +z^n +&\qquad& n \in \mathbb{Z} +\\ +\sk +\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +&= +\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +\\ +\sk z^\varrho +&= +e^{2\pi i\varrho} z^\varrho +\end{aligned} +\] +schreiben. + +\subsubsection{Rechenregeln für die analytische Fortsetzung} +Der Operator $\sk$ ist ein Algebrahomomorphismus, d.~h.~für zwei analytische +Funktionen $f$ und $g$ gilt +\[ +\begin{aligned} +\sk(\lambda f + \mu g) +&= +\lambda \sk f + \mu \sk g +\\ +\sk(fg) +&= +(\sk f)(\sk g) +\end{aligned} +\] +für beliebige $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$. +Ist $f$ eine in ganz $\mathbb{C}$ holomorphe Funktion, dann lässt sie +sich mit Hilfe einer Potenzreihe berechnen. +Der Wert $f(g(z))$ entsteht durch Einsetzen von $g(z)$ in die Potenzreihe. +Analytische Fortsetzung mit $\sk$ reproduziert jeden einzelnen Term +der Potenzreihe, es folgt +$\sk f(g(z)) = f(\sk g(z))$. +Ebenso folgt auch, dass der Operator $\sk$ mit der Ableitung +vertauscht, dass also +\[ +\frac{d^n}{dz^n}(\sk f) += +\sk(f^{(n)}). +\] + + +\subsubsection{Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung} +Wir untersuchen jetzt die Wirkung des Operators $\sk$ auf +den Lösungsraum $\mathbb{L}$ einer Differentialgleichung mit +analytischen Koeffizienten, die in einer Umgebung von $0$ +definiert sind. +Auf den Koeffizienten wirkt $\sk$ als die Identität. +Ist $y(x)$ eine Lösung der Differentialgleichung, dann gilt +\[ +0 += +\sk\biggl( +\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(n)}(x) +\biggr) += +\sum_{k=0}^n (\sk a_k)(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x) += +\sum_{k=0}^n a_k(x) \cdot (\sk y)^{(n)}(x), +\] +somit ist $\sk y$ ebenfalls eine Lösung. +Wir schliessen daraus, dass $\sk$ eine lineare Abbildung +$\mathbb{L}\to\mathbb{L}$ ist. + +Der Lösungsraum einer Differentialgleichung $n$-ter Ordnung +ist $n$-dimensional. +Nach Wahl einer Basis des Lösungsraums kann der Operator $\sk$ +mit Hilfe einer Matrix $A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ beschrieben werden. +Sei $\mathscr{W}=\{w_1,\dots,w_n\}$ eine Basis des Lösungsraums, dann +kann $\sk w_j$ wieder eine Lösung der Differentialgleichung +und kann daher geschrieben werden als Linearkombination +\begin{equation} +\sk w_j += +\sum_{k=1}^n +a_{jk} w_k +\end{equation} +der Funktionen in $\mathscr{W}$. + +Die Matrix $A$ mit den Einträgen $a_{jk}$ kann durch Wahl einer +geeigneten Basis in besonders einfache Form gebracht. +Wir führen diese Diskussion im folgenden nur für eine Differentialgleichung +zweiter Ordnung $n=2$. + + +\subsubsection{Fall $A$ diagonalisierbar: verallgemeinerte Potenzreihen} +In diesem Fall kann man die Lösungsfunktionen $w_1$ und $w_2$ so +wählen, dass die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix} +\] +diagonal wird mit Eigenwerten $\lambda_j$, $j=1,2$. +Dies bedeutet, dass $\sk w_j = \lambda_j w_j$. +Wir schreiben +\[ +\varrho_j = \frac{1}{2\pi i} \log\lambda_j. +\] +Der Logarithmus ist nicht eindeutig, er ist nur bis auf ein Vielfaches +von $2\pi i$ bestimmt. +Folglich aus auch $\varrho_j$ nicht eindeutig bestimmt, eine +andere Wahl des Logarithmus ändert $\varrho_j$ aber um eine ganze Zahl. + +Die Funktion $z^{\varrho_j}$ wird unter der Wirkung von $\sk$ zu +\[ +\sk z^{\varrho_j} += +e^{2\pi i\varrho_j} z^{\varrho_j} += +e^{\log \lambda_j} z^{\varrho_j} += +\lambda_j z^{\varrho_j}. +\] +Auf den Funktionen $z^{\varrho_j}$ und $w_j$ wirkt der Operator $\sk$ +also die gleich durch Multiplikation mit $\lambda_j$. +Deren Quotient +\[ +f(z) = \frac{w_j(z)}{z^{\varrho_j}} +\qquad\text{erfüllt}\qquad +\sk f += +\frac{\sk w_j}{\sk z^{\varrho_j}} += +\frac{\lambda_j w_j}{\lambda_j z^{\varrho_j}} += +\frac{w_j}{z^{\varrho_j}} += +f. +\] +Die Funktion $f$ kann daher als Laurent-Reihe +\[ +f(z) += +\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +\] +geschrieben werden. +Die Lösung $w_2(z)$ muss daher die Form +\begin{equation} +w_j(z) += +z^{\varrho_j} f(z) += +z^{\varrho_j} \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k +\end{equation} +haben, also die einer verallgemeinerten Potenzreihe. +Auch hier zeigt sich, dass die Wahl des Logarithmus in der Definition +von $\varrho_j$ unbedeutend ist, sie äussert sich nur in einer +Verschiebung der Koeffizienten $a_k$. + +Falls der Operator $\sk$ also diagonalisierbar ist, dann gibt es +zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung in der +Form einer verallgemeinerten Potenzreihe. + +\subsubsection{Fall $A$ nicht diagonalisierbar: logarithmische Lösungen} +Falls die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar ist, hat sie nur einen +Eigenwert $\lambda$ und kann durch geeignete Wahl einer Basis in +Jordansche Normalform +\[ +A += +\begin{pmatrix} +\lambda & 1 \\ + 0 & \lambda +\end{pmatrix} +\] +gebracht werden. +Dies bedeutet, dass +\begin{align*} +\sk w_1 &= \lambda w_1 + w_2 +\\ +\sk w_2 &= \lambda w_2. +\end{align*} +Die Funktion $w_2$ hat unter $\sk$ die gleichen Eigenschaften +wie im diagonalisierbaren Fall, man kann also wieder schliessen, +dass $w_2$ durch eine verallgemeinerte Potenzreihe mit +\[ +\varrho=\frac{1}{2\pi i} \log \lambda +\] +dargestellt werden kann. + +Für den Quotienten $w_1/w_2$ findet man jetzt das Bild +\begin{equation} +\sk \frac{w_1}{w_2} += +\frac{\sk w_1}{\sk w_2} += +\frac{\lambda w_1+w_2}{\lambda w_2} += +\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda} +\label{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog} +\end{equation} +Das Verhalten von $w_1$ unter $\sk$ in +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitaeten:sklog} +ist dasselbe wie bei $\log(z)/\lambda$, denn +\[ +\sk \frac{\log(z)}{\lambda} += +\frac{\log(z)}{\lambda} + 1. +\] +Die Differenz $w_1-\log(z)/\lambda$ wird bei der analytischen +Fortsetzung zu +\[ +\sk\biggl( +\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda} +\biggr) += +\sk \frac{w_1}{w_2} - \sk\frac{\log(z)}{\lambda} += +\frac{w_1}{w_2} + \frac{1}{\lambda} +- +\frac{\log(z)}{\lambda} +-\frac{1}{\lambda} += +\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda}. +\] +Die Differenz ist daher wieder als Laurent-Reihe +\[ +\frac{w_1}{w_2}-\frac{\log(z)}{\lambda} += +\sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k +\] +darstellbar, was nach $w_1$ aufgelöst +\[ +w_1(z) += +\frac{1}{\lambda} \log(z) w_2(z) ++ +w_2(z) \sum_{k=-\infty}^\infty b_kz^k +\] +ergibt. +Da $w_2$ eine verallgemeinerte Potenzreihe ist, kann man dies auch +als +\begin{equation} +w_1(z) += +c \log(z) w_2(z) ++ +z^{\varrho} +\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_kz^k +\label{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} +\end{equation} +schreiben, wobei Konstanten $c$ und $c_k$ noch bestimmt werden müssen. +Setzt man +\eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} +in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, verschwindet der +$\log(z)$-Term und für die verbleibenden Koeffizienten kann die +bekannte Methode des Koeffizientenvergleichs verwendet werden. + +\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art} + + + |