diff options
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r-- | buch/chapters/090-pde/rechteck.tex | 190 |
1 files changed, 190 insertions, 0 deletions
diff --git a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex index 944fbf1..72e2806 100644 --- a/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex +++ b/buch/chapters/090-pde/rechteck.tex @@ -5,3 +5,193 @@ % \section{Rechteckige Membran \label{buch:pde:section:rechteck}} +Als Beispiel für die Lösung des in +Abschnitt~\ref{buch:pde:subsection:eigenwertproblem} +aus der Wellengleichung abgeleiteten Eigenwertproblems +mit Hilfe von Separation betrachten wir ein rechteckiges Gebiet. + +\subsection{Differentialgleichung und Randbedingungen} +Wir betrachten das Gebiet +\[ +G += +(0,a) \times (0,b) += +\{ (x,y) \mid 0< x <a\wedge 0<y<b\}. +\] +Gesucht ist eine Lösung des Eigenwertproblems +\begin{equation} +\Delta U = -\lambda^2 U +\label{buch:pde:rechteck:eqn:dgl} +\end{equation} +auf $G$ mit den homogenen Randbedingungen +\[ +\left. +\begin{aligned} +U(0,y) &= 0\\ +U(a,y) &= 0 +\end{aligned} +\; +\right\} +\forall y \in (0,b) +\qquad +\text{und} +\qquad +\left. +\begin{aligned} +U(x,0) &= 0\\ +U(x,b) &= 0 +\end{aligned} +\; +\right\} +\forall x \in (0,a). +\] +Dieses Gebiet lässt sich bestens in kartesischen Koordinaten +beschreiben, so dass wir auch den Laplace-Operator in den +gleichen Koordinaten ansetzen können. +Wir verwenden also im folgenden +\[ +\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}. +\] + + +\subsection{Separation} +Wir setzen die Lösung als Produkt von Funktionen, die nur von einer +der Variablen abhängen, nämlich +\[ +U(x,y) += +X(x) \cdot Y(y). +\] +Durch Einsetzen in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:pde:rechteck:eqn:dgl} +erhalten wir +\[ +X''(x) \cdot Y(y) + X(x)\cdot Y''(y) = -\lambda^2 X(x)\cdot Y(y). +\] +Nach Division durch $X(x)\cdot Y(y)$ können wir separieren in +\[ +\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2 - \frac{Y''(y)}{Y(y)}. +\] +Da wir Schwingungslösungen erwarten, schreiben wir die Lösungen +in der Form $-\mu^2$. +So erhalten wir die beiden Differentialgleichungen +\[ +\begin{aligned} +X''(x) &= -\mu^2 X(x)&&x\in (0,a) +\\ +Y''(y) &= (-\lambda^2-\mu^2) Y(y)&& y\in(0,b) +\end{aligned} +\] + +Die Funktionen $X(x)$ und $Y(y)$ müssen homogene Randbedingungen +erfüllen, also +\[ +\begin{aligned} +X(0) &= 0\\ +X(a) &= 0 +\end{aligned} +\qquad\text{und}\qquad +\begin{aligned} +Y(0) &= 0\\ +Y(b) &= 0 +\end{aligned} +\] + +\subsection{Lösung der Differentialgleichungen} +Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $X''(x) = -\mu^2 X(x)$ +ist eine Funktion der Form +\[ +X(x) = A\cos\mu x + B\sin\mu x. +\] +Die Randbedingung für $x=0$ ist +\[ +X(0) = A = 0 +\] +bedeutet, dass nur der Sinus-Term verwendet werden muss. +Die Randbedingung am rechten Rand wird dann +\[ +X(a) = B\sin\mu a. +\] +Da $B$ nicht auch verschwinden kann, muss $\sin\mu a=0$ sein. +Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind alle ganzzahligen Vielfachen +\[ +\mu a = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z} +\Rightarrow +\mu = \frac{k\pi}{a}\qquad k\in\mathbb{Z}. +\] +Die negativen $k$ geben die gleichen Lösungsfunktionen wie die positiven +$k$, man kann sich daher auf die positiven $k$ beschränken. +Die Lösungen sind daher +\[ +X_k(x) = \sin \frac{k\pi}{a}x. +\] + +Für die Gleichung $Y''(y)=(-\lambda^2 +\mu^2)Y(y)$ folgt auf ganz analoge +Weise, dass ihre Lösungen die Form +\[ +Y_l(y) += +\sin \frac{k\pi}{b}y. +\] + +Aus $X_k(x)$ und $Y_l(y)$ können jetzt die Lösungen +\begin{equation} +U_{kl}(x,y) = \sin \frac{k\pi}{a} x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y +\label{buch:pde:rechteck:eqn:ukl} +\end{equation} +zusammengesetzt werden, die homogene Randbedingungen entlang +des ganzen Randes des Rechtecks erfüllen. + +Die Funktionen $X_k(x)$ hat weitere Nullstellen für $x$-Werte, für +die $k\pi x/a$ ein ganzzahliges Vielfaches von $k$ ist, also wenn +\[ +\frac{kx}{a} += +\frac{x}{a/k} +\] +eine ganze Zahl ist. +Dies tritt ein, wenn $x$ ein ganzzahliges Vielfaches von $a/k$ ist. +Ebenso hat die Funktion $Y_l(y)$ Nullstellen, wenn $y$ ein ganzzahliges +Vielfaches von $b/l$ ist. +Die Funktion $U_{kl}(x,y)$ verschwindet daher auf allen Geraden +parallel zur $y$-Achse an $x$-Koordinaten, die Vielfache von $a/k$ sind +und auf allen Geraden parallel zur $x$-Achse an $y$-Koordinaten, die +Vielfache von $b/l$ sind. + +\subsection{Eigenfrequenzen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/090-pde/images/rechteck.pdf} +\caption{Vorzeichen und Knotenlinie der Eigenfunktion +$U_{kl}(x,y)$ des Laplace-Operators auf dem Rechteck $(0,a)\times (0,b)$. +In den blauen Rechtecken gilt $U_{kl}(x,y)>0$ in den roten gilt +$U_{kl}(x,y)<0$. +die vertikalen und horizontalen schwarzen Linien sind Knotenlinien +der Eigenfunktion, ihre $x$-Koordinaten sind Vielfache von $a/k$, +die $y$-Koordinaten sind Vielfache von $b/l$. +\label{buch:pde:rechteck:fig:knoten}} +\end{figure} +Die Lösungen $U_{kl}(x,y)$ aus \eqref{buch:pde:rechteck:eqn:ukl} +sind Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung +$\Delta U=-\lambda^2 U$. +Durch Einsetzen lassen sich jetzt auch die Eigenwerte bestimmen: +\begin{align*} +\Delta U_{kl}(x,y) +&= +-\frac{k^2\pi^2}{a^2} \sin\frac{k\pi}{a}x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y +-\frac{l^2\pi^2}{b^2} \sin\frac{k\pi}{a}x\cdot \sin\frac{k\pi}{b}y += +-\biggl(\frac{k^2\pi^2}{a^2}+\frac{l^2\pi^2}{b^2}\biggr) U_{kl}(x,y) +\end{align*} +Die Eigenfrequenzen einer rechtecking schwingenden Membran sind also +\[ +\lambda += +\sqrt{ +\frac{k^2\pi^2}{a^2}+\frac{l^2\pi^2}{b^2} +}. +\] +Die Vorzeichen und die Knotenlinien der $U_{kl}(x,y)$ des +Eigenwertproblems ist in Abbildung~\ref{buch:pde:rechteck:fig:knoten} +dargestellt. |