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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 1e35616..67891f2 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -15,7 +15,9 @@ neue spezielle Funktionen zu definieren. \subsection{Definition \label{buch:elliptisch:subsection:definition}} -Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form +Ein {\em elliptisches Integral} ist ein Integral der Form +\index{elliptishes Integral}% +\index{Integral, elliptisch}% \begin{equation} \int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx \label{buch:elliptisch:def:allgemein} @@ -33,7 +35,8 @@ Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat. Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen -der folgenden Form überführen lassen. +der folgenden Form überführen lassen +\cite[Abschnitt 164, p.~506]{buch:smirnov32}. \begin{definition} \label{buch:elliptisch:def:integrale123} @@ -53,6 +56,9 @@ Integrale \] mit $0<k<1$. Es ist auch üblich, den Parameter $m=k^2$ zu verwenden. +Die Zahl $k$ heisst {\em Modul} des elliptischen Integrals. +\index{Modul eines elliptischen Integrals}% +\index{elliptisches Integral}% \end{definition} Wie gesagt lassen sich für diese unbestimmten Integrale keine @@ -129,14 +135,16 @@ K(k) = \int_0^{\frac{\pi}2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} +, \\ E(k) &= \int_0^{\frac{\pi}2} -\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi +\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi = \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi +, \\ \Pi(n,k) &= @@ -153,6 +161,7 @@ d\varphi }{ (1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } +. \end{align*} Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen \index{Legendre-Normalform}% @@ -161,21 +170,406 @@ Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123} die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \index{Jacobi-Normalform}% +\subsubsection{Umfang einer Ellipse} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf} +\caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität +$\varepsilon$. +Eine solche Ellipse hat Halbachsen $1$ und $\sqrt{1-\varepsilon^2}$, +ein entsprechender Ellipsenbogen ist für ausgewählte Werte in blau +eingezeichnet. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}} +\end{figure} +Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse +mit Halbachsen $a$ und $b$, $a\le b$, auf ein volltändiges elliptisches +Integral zurückführen lässt. +Der Fall $a>b$ kann behandelt werden, indem die $x$- und $y$-Koordinaten +vertauscht werden. + +Die Parametrisierung +\[ +t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix} +\] +einer Ellipse führt auf das Integral +\begin{align} +U +&= +\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt +\notag +\\ +&= +4\int_0^{\frac{\pi}2} +\sqrt{a^2\sin^2t + b^2(1-\sin^2 t)} +\,dt +\notag +\\ +&= +4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt +\label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} +\end{align} +für den Umfang der Ellipse. +Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg, +der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$. +Die Differenz $e^2=b^2-a^2$ ist die {\em lineare Exzentrizität} der Ellipse, +\index{lineare Exzentrizität}% +der Quotient $e/b$ wird die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse +genannt. +Insbesondere ist $k = \varepsilon$. + +Das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} erhält jetzt die +Form +\[ +U += +4b\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt +\] +und ist damit als elliptisches Integral zweiter Art erkannt. +Für den Umfang der Ellipse finden wir damit die Formel +\[ +U += +4b E(k) += +4b E(\varepsilon). +\] +Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$ +liefert also genau den Umfang eines Viertels der Ellipse mit +numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$. +Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, +also $E(0)=\frac{\pi}2$. +Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. \subsubsection{Komplementäre Integrale} -XXX Komplementäre Integrale \\ \subsubsection{Ableitung} XXX Ableitung \\ XXX Stammfunktion \\ \subsection{Unvollständige elliptische Integrale} -XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\ +Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein +festes Intervall definiert. +Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die +\index{unvollständiges elliptisches Integral}% +obere Grenze des Integrals variabel wird: +\[ +\begin{aligned} +\text{1.~Art:}&& +F(x,k) +&= +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +&&= +\int_0^\varphi \frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}} +\\ +\text{2.~Art:}&& +E(x,k) +&= +\int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\,dt +&&= +\int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta +\\ +\text{3.~Art:}&& +\Pi(n,x,k) +&= +\int_0^x \frac{dt}{(1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +&&= +\int_0^\varphi +\frac{d\vartheta}{(1-n\sin^2\vartheta)\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}}, +\end{aligned} +\] +die erste Formel ist jeweils die Jacobi-Form, die zweite die Legrendre-Form +\index{Jacobi-Form}% +\index{Legendre-Form}% +mit dem Parameter $\varphi$, gegeben durch +$\sin \vartheta=x$. +Wie bei den vollständigen elliptischen Integralen ist auch hier in manchen +Referenzen die Parameterkonvention mit dem Parameter $m=k^2$ üblich. + +Die vollständigen elliptischen Integrale sind die Werte der +unvollständigen elliptischen Integrale mit $x=1$, also +\begin{align*} +K(k) &= F(1,k), +& +E(k) &= E(1,k), +& +\Pi(n,k) &=\Pi(n,x,k). +\end{align*} +Man beachte auch, dass $F(x,0) = E(x,0)$ gilt. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf} +\caption{Unvollständige elliptische Integrale $F(x,k)$ und $E(x,k)$ +für verschiedene Werte des Parameters $k$. +Für $k=0$ stimmen die Integrale erster und zweiter Art überein, +$F(x,0)=E(x,0)$. +\label{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}} +\end{figure} +Wegen $k<1$ sind alle drei Integranden als reelle Funktionen nicht +mehr definiert, wenn $|x|>1$ ist. +Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale} +zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene +Werte des Parameters. + +\subsubsection{Symmetrieeigenschaften} +Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale +sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$. +Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher +ungeraden Funktionen von $x$. + +\subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen} +Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ +in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren. +Dazu muss für die Berechnung des Integrals ein Pfad in der komplexen +Ebene gewählt werden, der die Singulariätten des Integranden vermeidet. + +Die Faktoren, die in den Integranden der unvollständigen elliptischen +Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und +$\pm 1/\sqrt{n}$ + XXX Additionstheoreme \\ XXX Parameterkonventionen \\ +\subsubsection{Wertebereich} +Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen +haben nur positive relle Werte. +Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art +$F(k,x)$ nur Werte zwischen $0$ und $K(k)$ an. +Wenn komplexe Werte zulässig sind, kann man das Integral auch über die +Singularitäten bei $\pm 1$ und $\pm 1/k$ hinweg ausführen, erhält +dabe aber möglicherweise komplexe Werte, weil die Radikanden in den +Integralen negativ werden. +Die Schwierigkeit dabei ist, dass die Quadratwurzel nicht eindeutig ist. +Welcher Wert der im Zusammenhang richtige ist, hängt davon ab, wie wir +dorthin kommen. + +Die reelle Achse teilt den Definitionsbereich der unvollständigen +elliptischen Integrale in die obere und die untere Halbebene. +die Werte für reelle Argument beschreiben daher den Rand der Wertebereichs +für Argumente in der oberen bzw.~untere Halbebene. +Indem wir die Werte der elliptischen Integrale für reelle Argumente +berechnen, können wir daher den Rand des Wertebereichs ermitteln. + +Im folgenden diskutieren wir nur das elliptische Integral erster Art, +die anderen können in der gleichen Art behandelt werden. +Für Argumentwerte $x$ im Interval $[0,1]$ ist $F(k,x)\in\mathbb{R}$. +An der Stelle $x=1$ wechselt der Faktor $(1-t^2)$ im Nenner das +Vorzeichen, der Integrand wird negativ. +Für Argumente zwischen $1$ und $1/k$ ist bleibt der Integrand negativ, +es muss also ein Wert der Quadratwurzel gewählt werden. +Beide Vorzeichen von +\begin{equation} +\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} += +\frac{\pm i}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}} +\label{buch:elliptisch:eqn:imaginaerintegrand} +\end{equation} +sind möglich. +Doch welche Wahl ist die ``richtige''? + +Dazu betrachten wir die Argument $z=x+i\varepsilon$ auf einer Geraden +parallel zur reellen Achse des Definitionsbereichs und in der oberen +Halbebene. +Da eine holomorphe Funktion die Orientierung erhält und weil das +Interval $[0,1]$ auf die reelle Achse abgebildet wird, müssen wir das +Vorzeichen der Wurzel so wählen, dass die Werte der Wurzel ebenfalls +in der oberen Halbebene liegen. +Die ``richtige'' Wahl der Wurzel von +\[ +1-z^2 = 1-x^2-2i\varepsilon x + \varepsilon^2 +\] +erfüllt zwei Bedingungen. +\begin{enumerate} +\item +Für nicht zu grosse Werte von $x$ muss der Wert in der oberen +Halbebene liegen. +Für solche Werte von $x$ ist der Realteil $1-x^2+\varepsilon^2>0$ und +der Imaginärteil $-2\varepsilon x<0$. +Für die Wurzel muss man also das Argument von $1-z^2$ als Winkel zwischen +$3\pi2$ und $2\pi$ wählen und für die Wurzel durch zwei teilen. +\item +Der Realteil von $1-z^2$ wechsel das Vorzeichen, wenn +$x=\sqrt{1+\varepsilon^2}$, der Imaginärteil bleibt dabei negativ. +Das Argument ändert von einem Winkel nahe bei aber kleiner als $2\pi$ +zu einem Winkel nahe bei aber grösser als $\pi$. +Als Wurzel muss daher jene verwendet werden, deren Argument in der +Nähe von $\frac{\pi}2$ liegt. +\end{enumerate} +Aus diesem Argument kann man ableiten, dass für die Berandung des +Bildes der oberen Halbebene zwischen $1$ und $1/k$ das positive +Zeichen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:imaginaerintegrand} +gewählt werden muss. + +Die anderen Singularitäten auf der reellen Achse können analog +behandelt werden und es folgt, dass das Bild der oberen Halbebene +ein Rechteck in der oberen Halbebene ist +(Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:rechteck}). +Die Ecken auf der reellen Achse liegen bei den reellen Koordinaten +\[ +\pm F(1,k) += +\pm\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} += +\pm K(k). +\] +Für die Höhe muss das Integral +\begin{equation} +l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}} +\frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(1-k^2t^2)}} +\label{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} +\end{equation} +ausgewertet werden. + +\subsubsection{Komplementärmodul} +Im vorangegangen Abschnitt wurde gezeigt, dass der Wertebereicht des +unvollständigen elliptischen Integrals der ersten Art als komplexe +Funktion ein Rechteck ist. +Die obere Halbebene wird auf Rechteck der Breite $2K(k)$ abgebildet, +für die Höhe des Rechtecks muss das +Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} ausgewertet werden. +Das Integral läuft von $t=1$ bis $t=1/k$, wir möchten daraus ein +elliptisches Integral machen, dessen Integrationsinterval bei $0$ +beginnt. +Dazu verwenden wir die Variablentransformation +\[ +t = \frac{1}{\sqrt{1-k'^2y^2}}, +\] +die für $y=0$ den Wert $1$ ergibt, für $y=1$ aber $1/\sqrt{1-k'^2}$. +Damit das richtige Integrationsintervall entsteht, muss $k'$ so gewählt +werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist. + +\begin{definition} +Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst +$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement +des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$. +\end{definition} + +Mit der Ableitung +\[ +\frac{dt}{dy} += +\frac{k'^2 y}{(1-k'^2y^2)^{\frac32}} +\] +der Substitution +wird das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:hoeheintegral} mit der +oberen Grenze $x$ zu einem Integral mit oberer Grenze +\[ +x^2 = \frac{1}{1-k'^2y_0^2} +\quad\Rightarrow\quad +y_0^2 = \frac{1}{k'^2}\biggl(1-\frac{1}{x^2}\biggr) +\quad\Rightarrow\quad +y_0=\frac{1}{k'}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} +\] +jetzt zu +\begin{align*} +l(x) +&= +\int_0^{y_0} +\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1-k'^2y^2}-1}} +\cdot +\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k^2}{1-k'^2y^2}}} +\cdot +\frac{k'^2y}{\sqrt{1-k'^2y^2}} +\cdot +\frac{1}{1-k'^2y^2} +\,dy +\\ +&= +\int_0^{y_0} +\frac{\sqrt{1-k'^2y^2}}{\sqrt{k'^2y^2}} +\cdot +\frac{1}{\sqrt{1-k^2 -k'^2y^2}} +\cdot +\frac{k'^2y}{1-k'^2y^2} +\,dy +\\ +&= +\int_0^{y_0} +\sqrt{1-k'^2y^2} +\cdot +\frac{1}{k'\sqrt{1-y^2}} +\cdot +\frac{k'}{1-k'^2y^2} +\,dy +\\ +&= +\int_0^{y_0} \frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k'^2y^2)}} += +F(y_0,k') +\end{align*} +Die gesuchte Höhe des Rechtecks ergibt sich für die obere Grenze $\frac1k$. +In diesem Fall ist +\[ +y_0 += +\frac{1}{k'}\sqrt{1-k^2} = 1 +\] +und das unvollständig elliptische Integral wird zum vollständigen +elliptischen Integral $K(k')$. +Die Höhe des Rechtecks des Wertebereichs der oberen Halbebene ist +als der Wert des vollständigen elliptischen Integrals erster Art +für den Komplementärmodul. +Das Bild der komplexen Ebene unter der Abbildung gegeben durch das +unvollständige elliptische Integral zweiter Art ist symmetrisch um +den Nullpunkt und hat Breite $2K(k)$ und Höhe $2K(k')$. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf} +\caption{Der Wertebereich der Funktion $F(k,z)$ ist ein Rechteck +der Breite $2K(k)$ und $2K(k')$. +Die obere Halbebene wird in das rote Rechteck abgebildet, die unter +in das blaue. +\label{buch:elliptisch:fig:rechteck}} +\end{figure} + +\subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$} +Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des +unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann +daher wieder als gewöhnliches reelles Integral berechnet werden, +es sollte sich daher auch auf das unvollständige elliptische Integral +erster Art zurückführen lassen. + +Da wir bereits wissen, dass +\[ +\lim_{x\to\infty} F(x,k) = iK(k'), +\] +können wir $F(x,k)$ auch als +\[ +F(x,k) += +iK(k') +- +\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +\] +berechnen. +Dazu werden wir die Variablentransformation +\[ +y=\frac{1}{kt}\quad\Leftrightarrow\quad t=\frac{1}{ky} +\qquad\text{mit}\qquad +\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{ky^2} +\] +auf das Integral an und erhalten +\begin{align*} +\int_x^\infty \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}} +&= +-\int_{\frac1{kx}}^0 \frac{dy}{ky^2\sqrt{(1-1/(ky)^2)(1-1/y^2)}} +\\ +&= +\int_0^{\frac{1}{kx}} \frac{dy}{\sqrt{(k^2y^2-1)(y^2-1)}} += +F\biggl(\frac{1}{kx},k\biggr). +\end{align*} +Dies ist das gesuchte unvollständige elliptische Integral erster Art. +Insbesondere halten wir noch die Formel +\[ +F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr) +\qquad\text{für $x>\frac1k$} +\] +für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte +fest. + \subsection{Potenzreihe} XXX Potenzreihen \\ XXX Als hypergeometrische Funktionen \\ - - +XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation |