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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index b0e1b64..a4869aa 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -132,6 +132,7 @@ K(k) = \int_0^{\frac{\pi}2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} +, \\ E(k) &= @@ -140,6 +141,7 @@ E(k) = \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi +, \\ \Pi(n,k) &= @@ -156,6 +158,7 @@ d\varphi }{ (1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } +. \end{align*} Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen \index{Legendre-Normalform}% @@ -170,6 +173,9 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf} \caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität $\varepsilon$. +Eine solche Ellipse hat Halbachsen $1$ und $\sqrt{1-\varepsilon^2}$, +ein entsprechender Ellipsenbogen ist für ausgewählte Werte in blau +eingezeichnet. \label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}} \end{figure} Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse @@ -183,7 +189,7 @@ Die Parametrisierung t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix} \] einer Ellipse führt auf das Integral -\begin{align*} +\begin{align} U &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt @@ -198,7 +204,7 @@ U &= 4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt \label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} -\end{align*} +\end{align} für den Umfang der Ellipse. Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg, der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$. @@ -225,8 +231,11 @@ U 4b E(\varepsilon). \] Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$ -liefert also genau den Umfang der eines Viertels Ellipse mit +liefert also genau den Umfang eines Viertels der Ellipse mit numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$. +Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, +also $E(0)=\frac{\pi}2$. +Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. \subsubsection{Komplementäre Integrale} XXX Komplementäre Integrale \\ @@ -239,6 +248,7 @@ XXX Stammfunktion \\ XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\ XXX Additionstheoreme \\ XXX Parameterkonventionen \\ +XXX Wertebereich (Rechtecke) \\ \subsection{Potenzreihe} XXX Potenzreihen \\ |