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-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex1592
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index f1e0987..166ea41 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -22,1597 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins
Auge fassen.
-%
-% ellpitische Funktionen als Trigonometrie
-%
-\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
-\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der
-elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
-auf einer Ellipse.
-\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
-\end{figure}
-% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
-% https://youtu.be/DCXItCajCyo
-
-%
-% Geometrie einer Ellipse
-%
-\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
-Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
-\index{Ellipse}%
-der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
-den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
-\index{Brennpunkt}%
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
-mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
-die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
-Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
-Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
-Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
-haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
-Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
-also $a$ sein.
-Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
-\[
-b^2+e^2=a^2
-\qquad\Rightarrow\qquad
-e^2 = a^2-b^2
-\]
-sein muss.
-Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
-Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität}
-der Ellipse.
-
-%
-% Die Ellipsengleichung
-%
-\subsubsection{Ellipsengleichung}
-Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\overline{PF_1}^2
-&=
-y^2 + (x+e)^2
-\\
-\overline{PF_2}^2
-&=
-y^2 + (x-e)^2
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
-\end{equation}
-von den Brennpunkten, für die
-\begin{equation}
-\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
-=
-2a
-\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-\end{equation}
-gelten muss.
-Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
-\[
-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
-\]
-erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-erfüllt.
-Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
-$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
-Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
-\[
-l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
-\]
-Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
-auf die rechte Seite und quadriert.
-Man muss also verifizieren, dass
-\[
-(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
-\]
-In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
-\[
-y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
-\]
-substituieren.
-Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
-Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
-
-%
-% Normierung
-%
-\subsubsection{Normierung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse
-von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
-Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert,
-kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
-Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
-
-Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
-weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
-mindestens eine mit Halbeachse $1$.
-Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
-Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
-Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
-In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
-zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
-
-Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
-$\varepsilon$ auch mit
-\[
-k
-=
-\varepsilon
-=
-\frac{e}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
-\]
-die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
-Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
-findet man
-\[
-k^2a^2 = a^2-1
-\quad\Rightarrow\quad
-1=a^2(k^2-1)
-\quad\Rightarrow\quad
-a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
-\]
-
-Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
-\[
-\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
-\qquad\text{oder}\qquad
-x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
-\]
-
-%
-% Definition der elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
-\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
-an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
-\end{figure}
-\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
-Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
-können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
-Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
-Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
-Radiusvektor zum Punkt $P$
-darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
-ausnützen möchten.
-Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
-noch unbestimmte Argument $u$.
-Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
-
-Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch
-vom Modulus ab.
-Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
-wir das $k$-Argument weg.
-
-Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
-Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
-des Kreises.
-Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
-die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
-
-In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für
-die Funktionen
-\[
-\begin{aligned}
-&\text{sinus amplitudinis:}&
-{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
-&\text{cosinus amplitudinis:}&
-{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
-&\text{delta amplitudinis:}&
-{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
-\end{aligned}
-\]
-die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-dargestellt sind.
-Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
-\[
-\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ist.
-Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
-berechnen, also gilt
-\begin{equation}
-r^2
-=
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-x^2 + y^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
-\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-\end{equation}
-Ersetzt man
-$
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-$, ergibt sich
-\[
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-+
-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-\operatorname{dn}(u,k)^2
-+
-\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
-=
-1,
-\]
-woraus sich die Identität
-\[
-\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ergibt.
-Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
-\[
-a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1-\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1.
-\]
-Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
-\begin{align*}
-\operatorname{dn}(u,k)^2
--
-k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-&=
-\frac{1}{a^2}
-=
-\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
-=
-1-k^2 =: k^{\prime 2}.
-\end{align*}
-Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}.
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\end{equation}
-zusammen.
-So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
-ist es mit
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
-jede anderen auszudrücken.
-Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
-zusammengestellt.
-
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\operatorname{dn}(u,k)\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
-&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
-unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-durch jede andere ausdrücken.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
-\end{table}
-
-%
-% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
-%
-\subsubsection{Ableitung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich
-für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
-Beziehungen
-\[
-\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi
-\qquad\text{und}\qquad
-\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi
-\]
-erfüllen.
-So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
-durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
-Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
-sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
-
-Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
-Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
-Ableitungsformeln ergeben.
-Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
-ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
-$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
-Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
-\begin{align*}
-\frac{dy}{d\varphi}
-&=
-\cos\varphi
-=
-\frac{1}{a} x
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\frac{dx}{d\varphi}
-&=
--a\sin\varphi
-=
--a y
-=
--a\operatorname{sn}(u,k).
-\end{align*}
-Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
-elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
-\begin{align*}
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
-=
-\cos\varphi
-=
-\frac{x}{a}
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
-=
--\sin\varphi
-=
--\operatorname{sn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
-&=
-\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
-=
-\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
-+
-\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
-+
-\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
-\\
-&=
-\frac{x}{ar}(-ay)
-+
-\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
-=
-\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r}
-\\
-&=
--\frac{xy(a^2-1)}{a^2r}
-\\
-&=
--\frac{a^2-1}{ar}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=-k^2
-\frac{a}{r}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
-\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\frac{d\varphi}{du}
-\end{align*}
-Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
-wählt, dass
-\[
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{r}{a}
-\]
-Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\end{align*}
-der elliptischen Funktionen nach Jacobi.
-
-%
-% Der Grenzfall $k=1$
-%
-\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
-\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen
-für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
-\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
-\end{figure}
-Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
-Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\[
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2
-\operatorname{dn}^2(u,k)
-=
-k^{\prime2}
-=
-0
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-\operatorname{dn}^2(u,1),
-\]
-die beiden Funktionen
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-und
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-fallen also zusammen.
-Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
-\begin{align*}
-\operatorname{sn}'(u,1)
-&=
-\operatorname{cn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-1-\operatorname{sn}^2(u,1)
-&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
-\\
-\operatorname{cn}'(u,1)
-&=
--
-\operatorname{sn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
--
-\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
-&&\Rightarrow&
-\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
-\end{align*}
-Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
-die Lösung
-\[
-\frac{y'}{1-y^2}
-=
-1
-\quad\Rightarrow\quad
-\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{artanh}(y) = u
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
-\]
-Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
-\begin{align*}
-(\log \operatorname{cn}(u,1))'
-&=
-\tanh u
-&&\Rightarrow&
-\log\operatorname{cn}(u,1)
-&=
--\int\tanh u\,du
-=
--\log\cosh u
-\\
-&
-&&\Rightarrow&
-\operatorname{cn}(u,1)
-&=
-\frac{1}{\cosh u}
-=
-\operatorname{sech}u.
-\end{align*}
-Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
-dargestellt.
-
-%
-% Das Argument u
-%
-\subsubsection{Das Argument $u$}
-Die Gleichung
-\begin{equation}
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-\end{equation}
-ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
-die geometrische Bedeutung zu klären.
-Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
-Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
-Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
-\begin{equation}
-\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
-\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
-\end{equation}
-
-Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
-dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
-$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
-Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
-\[
-\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
-=
-\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
-werden, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-=
-\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot
-\frac{a^2}{r^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
-\]
-Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{du}
-=
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-\cdot
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\cdot
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot\frac{a}{r}
-=
-\frac{1}{r},
-\]
-wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
-verwendet haben.
-
-In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
-von $u$ nach $t$ berechnen als
-\[
-\frac{du}{dt}
-=
-\frac{du}{d\vartheta}
-\frac{d\vartheta}{dt}
-=
-r
-\dot{\vartheta}.
-\]
-Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
-das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
-von $O$.
-$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
-$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
-Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
-\[
-u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
-\]
-Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
-auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
-$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
-
-%
-% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
-\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-udn
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
-des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
-\end{figure}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-\cdot &
-\frac{1}{1} &
-\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\[5pt]
-\hline
-1&
-&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
-\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{sn}(u,k) &
-\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
-&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k) &
-\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k) &
-\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\[5pt]
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
-Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
-\end{table}
-\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
-lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
-die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
-Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
-$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
-$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
-Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
-der Nenner durch den Buchstaben q.
-Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
-die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
-Funktionen.
-Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
-man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
-
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
-geometrisch interpretiert.
-Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
-mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
-Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
-Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
-Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
-
-Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
-andere auszudrücken.
-Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie
-übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
-nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
-
-\begin{beispiel}
-Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-Zunächst ist
-\[
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\]
-nach Definition.
-Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
-$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
-Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
-\begin{equation}
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
-\end{equation}
-Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
-$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
-Aus der Definition und der
-dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-erhält man
-\begin{align*}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-&=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-\\
-\Rightarrow
-\qquad
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-+
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\frac{
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-\end{align*}
-Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
-\[
-1-\operatorname{cn}^2(u,k)
-=
-\frac{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
--
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-\]
-Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
-\begin{align*}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
-\cdot
-\frac{
-\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}
-=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}.
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
-können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
-abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
-Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
-Sie ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{d}{du}
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\frac{
-\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
--
-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{
-\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-+
-\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{(
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-)\operatorname{dn}(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\cdot
-\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\operatorname{nc}(u,k)
-\operatorname{dc}(u,k).
-\end{align*}
-Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
-der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
-beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
-die Funktion, die abgeleitet wird.
-
-Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
-\begin{equation}
-%\small
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&\qquad&
-\operatorname{ns}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
-\\
-\operatorname{dn}'(u,k)
-&=
--k^2
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nd}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^2
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
-\\
-\operatorname{sc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-&&&
-\operatorname{cs}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-\\
-\operatorname{cd}'(u,k)
-&=
--k^{\prime2}
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-&&&
-\operatorname{dc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^{\prime2}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-\\
-\operatorname{ds}'(d,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-&&&
-\operatorname{sd}'(d,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
-\end{equation}
-finden.
-Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
-zweiten Buchstaben haben.
-
-\subsubsection{TODO}
-XXX algebraische Beziehungen \\
-XXX Additionstheoreme \\
-XXX Perioden
-% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
-
-
-XXX Ableitungen \\
-XXX Werte \\
-
-%
-% Lösung von Differentialgleichungen
-%
-\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
-Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
-Differentialgleichungen in geschlossener Form.
-Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
-\(
-\ddot{x}(t)
-=
-p(x(t))
-\)
-mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
-
-%
-% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
-%
-\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
-Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
-können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
-finden.
-Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
-man
-\[
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-=
-\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
-\]
-Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-\begin{align*}
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\\
-&=
-k^2\operatorname{sn}(u,k)^4
--(1+k^2)
-\operatorname{sn}(u,k)^2
-+1.
-\end{align*}
-Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-\\
-&=
-\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\\
-&=
--k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
--
-(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+
-(1-k^2)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\biggl(
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-\biggr)^2
-&=
-\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
-\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-\\
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{dn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1
-\biggr)
-\\
-&=
--\operatorname{dn}(u,k)^4
--
-2\operatorname{dn}(u,k)^2
--k^2+1.
-\end{align*}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2}
-\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
- & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
- &k^2&1&1 &+&+&+
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
- &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
- &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
- & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2)
- &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&-
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
-nichtlineare Differentialgleichungen der Art
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
-Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
-muss.
-\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
-\end{table}
-
-Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen
-Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
-Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
-Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$,
-wenn wir eine beliebige der drei Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-oder
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-meinen.
-Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der
-Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\operatorname{zn}'(u,k)^2
-=
-\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma,
-\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-\end{equation}
-wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von
-$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
-Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
-vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen.
-Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als
-Lösung zu verwenden.
-
-%
-% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
-%
-\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
-Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
-Zusammenhang zwischen den Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
-und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
-Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{d y}{d u}
-\biggr)^2
-=
-p(u),
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
-Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
-Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
-Wurzel
-\begin{align}
-\frac{dy}{du}
-=
-\sqrt{p(y)}
-\notag
-\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
-\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
-\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
-\end{align}
-Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
-von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
-das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
-Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
-Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-ist daher
-\[
-y(u) = F^{-1}(u+C).
-\]
-Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
-der unvollständigen elliptischen Integrale.
-
-\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
-\[
-2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k)
-=
-4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k).
-\]
-Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$,
-bleibt die nichtlineare
-Differentialgleichung
-\[
-\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2}
-=
-\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3.
-\]
-Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer
-Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
-
-%
-% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
-%
-\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
-Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{dx}{dt}
-\biggr)^2
-=
-Ax^4+Bx^2 + C
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
-Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
-\begin{equation}
-x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
-\end{equation}
-ist.
-Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
-\[
-\dot{x}(t)
-=
-a\operatorname{zn}'(bt,k).
-\]
-
-Indem wir diesen Lösungsansatz in die
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-einsetzen, erhalten wir
-\begin{equation}
-a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
-=
-a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+C
-\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
-\end{equation}
-Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
-Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-erfüllt.
-Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
-die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
-Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
-\[
-\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+\frac{C}{a^2b^2}
-=
-\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+
-\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
-\]
-Daraus ergeben sich die Gleichungen
-\begin{align}
-\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
-&
-\beta &= \frac{B}{b^2}
-&&\text{und}
-&
-\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
-Differentialgleichung}
-A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
-&
-B&=\beta b^2
-&&\text{und}&
-C &= \gamma a^2b^2
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-\end{align}
-für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
-Funktion.
-
-Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die
-Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
-$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
-wird, die immer positiv sind.
-Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
-
-In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
-es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
-Es folgt, dass die Gleichungen
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-auch $a$ und $b$ bestimmen.
-Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
-\[
-b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
-\]
-Damit folgt dann aus der zweiten
-\[
-a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
-\]
-Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
-Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
-Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
-
-\begin{beispiel}
-Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
-Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
-dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
-werden muss.
-Die Tabelle sagt dann auch, dass
-$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
-Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-folgt dann der Reihe nach
-\begin{align*}
-b&=\pm \sqrt{B}
-\\
-a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
-\\
-k^2
-&=
-\frac{AC}{B^2}.
-\end{align*}
-Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-erhalten kann, nämlich
-\[
-\frac{AC}{B^2}
-=
-\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
-=
-\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Da alle Parameter im
-Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
-festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
-Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
-Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
-autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
-sind nicht von der Zeit abhängig.
-Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
-Lösung der Differentialgleichung.
-Die allgmeine Lösung der
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
-also die Form
-\[
-x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
-\]
-wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
-von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
-
-%
-% Das mathematische Pendel
-%
-\subsection{Das mathematische Pendel
-\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
-\caption{Mathematisches Pendel
-\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
-\end{figure}
-Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
-Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
-im Punkt $P$,
-der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
-verbunden ist.
-Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
-
-Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
-\(
-I=ml^2
-\).
-Das Drehmoment der Schwerkraft ist
-\(M=gl\sin\vartheta\).
-Die Bewegungsgleichung wird daher
-\[
-\begin{aligned}
-\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
-&=
-M
-=
-gl\sin\vartheta
-\\
-ml^2\ddot{\vartheta}
-&=
-gl\sin\vartheta
-&&\Rightarrow&
-\ddot{\vartheta}
-&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
-\end{aligned}
-\]
-Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
-wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
-der elliptischen Funktionen vergleichen können.
-
-Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
-enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
-In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
-enthält.
-Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
-Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
-Dies führt auf
-\[
-E_{\text{kinetisch}}
-+
-E_{\text{potentiell}}
-=
-\frac12I\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-E
-\]
-Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
-Differentialgleichung
-\[
-\dot{\vartheta}^2
-=
--
-\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
-+\frac{2E}{ml^2}
-\]
-finden.
-In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
-Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies
-tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
-elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
-Lösung konstruieren.
-
-Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
-über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist
-$E=2lmg$.
-Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen
-der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
-bleibt.
-Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
-Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
-höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
-
-%
-% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
-%
-\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
-Wir verwenden als neue Variable
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
-\]
-Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
-$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
-
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac14
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\cdot
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac14
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{1}{4}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\end{align*}
-Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
-für elliptische Funktionen.
-Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
-Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
-Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
-$1$ sein muss.
-
-%
-% Der Fall E < 2mgl
-%
-\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
-\caption{%
-Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
-verschiedene Werte von $k^2=m$.
-Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$,
-$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
-sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
-Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
-von den trigonometrischen Funktionen ab,
-es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
-Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
-Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
-die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
-erreichen kann, was es für $m$ macht.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
-\end{figure}
-
-
-Wir verwenden als neue Variable
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
-\]
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac12ml^2
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-(1-y^2)
-(E -mgly^2)
-\\
-\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac{1}{2}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{E}{2ml^2}
-(1-y^2)\biggl(
-1-\frac{2gml}{E}y^2
-\biggr).
-\end{align*}
-Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
-Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
-
-%
-% Der Fall E > 2mgl
-%
-\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
-In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
-kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
-Indem wir die Gleichung
-
-XXX Differentialgleichung \\
-XXX Mathematisches Pendel \\
-\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
-\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
-XXX Möbius-Transformation \\
-XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen