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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index f1e0987..166ea41 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -22,1597 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. -% -% ellpitische Funktionen als Trigonometrie -% -\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf} -\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der -elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen -auf einer Ellipse. -\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}} -\end{figure} -% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals -% https://youtu.be/DCXItCajCyo - -% -% Geometrie einer Ellipse -% -\subsubsection{Geometrie einer Ellipse} -Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe -\index{Ellipse}% -der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$, -den {\em Brennpunkten}, konstant ist. -\index{Brennpunkt}% -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse -mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt, -die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht. -Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden -Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$. -Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme -haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$. -Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross, -also $a$ sein. -Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass -\[ -b^2+e^2=a^2 -\qquad\Rightarrow\qquad -e^2 = a^2-b^2 -\] -sein muss. -Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse. -Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität} -der Ellipse. - -% -% Die Ellipsengleichung -% -\subsubsection{Ellipsengleichung} -Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen -\begin{equation} -\begin{aligned} -\overline{PF_1}^2 -&= -y^2 + (x+e)^2 -\\ -\overline{PF_2}^2 -&= -y^2 + (x-e)^2 -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke} -\end{equation} -von den Brennpunkten, für die -\begin{equation} -\overline{PF_1}+\overline{PF_2} -= -2a -\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -\end{equation} -gelten muss. -Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung -\[ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 -\] -erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a} -erfüllt. -Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$. -$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}. -Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist -\[ -l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2. -\] -Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine -auf die rechte Seite und quadriert. -Man muss also verifizieren, dass -\[ -(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2. -\] -In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und -\[ -y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} -\] -substituieren. -Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines -Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt. - -% -% Normierung -% -\subsubsection{Normierung} -Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse -von Seiten rechtwinkliger Dreiecke. -Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, -kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines -Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren. - -Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, -weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität -mindestens eine mit Halbeachse $1$. -Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. -Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. -In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten -zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. - -Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität -$\varepsilon$ auch mit -\[ -k -= -\varepsilon -= -\frac{e}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} -= -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, -\] -die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen -findet man -\[ -k^2a^2 = a^2-1 -\quad\Rightarrow\quad -1=a^2(k^2-1) -\quad\Rightarrow\quad -a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}. -\] - -Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist -\[ -\frac{x^2}{a^2}+y^2=1 -\qquad\text{oder}\qquad -x^2(k^2-1) + y^2 = 1. -\] - -% -% Definition der elliptischen Funktionen -% -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} -\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie -an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} -\end{figure} -\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ -können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. -Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. -Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem -Radiusvektor zum Punkt $P$ -darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später -ausnützen möchten. -Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das -noch unbestimmte Argument $u$. -Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt. - -Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch -vom Modulus ab. -Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen -wir das $k$-Argument weg. - -Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom -Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$ -des Kreises. -Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$, -die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber. - -In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für -die Funktionen -\[ -\begin{aligned} -&\text{sinus amplitudinis:}& -{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ -&\text{cosinus amplitudinis:}& -{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ -&\text{delta amplitudinis:}& -{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, -\end{aligned} -\] -die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -dargestellt sind. -Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass -\[ -\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 -\] -ist. -Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu -berechnen, also gilt -\begin{equation} -r^2 -= -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -x^2 + y^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2. -\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -\end{equation} -Ersetzt man -$ -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -$, ergibt sich -\[ -a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2 -+ -\operatorname{sn}(u,k)^2 -\quad -\Rightarrow -\quad -\operatorname{dn}(u,k)^2 -+ -\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2 -= -1, -\] -woraus sich die Identität -\[ -\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1 -\] -ergibt. -Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation} -die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf -\[ -a^2\operatorname{dn}(u,k)^2 -= -a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1-\operatorname{cn}(u,k)^2 -= -(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+1. -\] -Nach Division durch $a^2$ ergibt sich -\begin{align*} -\operatorname{dn}(u,k)^2 -- -k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 -&= -\frac{1}{a^2} -= -\frac{a^2-a^2+1}{a^2} -= -1-k^2 =: k^{\prime 2}. -\end{align*} -Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln -\begin{equation} -\begin{aligned} -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) -&= -1 -\\ -\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2}. -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\end{equation} -zusammen. -So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, -ist es mit -\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch -jede anderen auszudrücken. -Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} -zusammengestellt. - -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.1} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -&\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{cn}(u,k) -&\operatorname{dn}(u,k)\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) -&\operatorname{sn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) -&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\operatorname{cn}(u,k) -&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) -&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} -&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -&\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich -unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -durch jede andere ausdrücken. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} -\end{table} - -% -% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen -% -\subsubsection{Ableitung} -Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich -für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die -Beziehungen -\[ -\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi -\qquad\text{und}\qquad -\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi -\] -erfüllen. -So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich -durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben. -Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass -sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben. - -Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in -Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche -Ableitungsformeln ergeben. -Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$ -ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist -$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$. -Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind -\begin{align*} -\frac{dy}{d\varphi} -&= -\cos\varphi -= -\frac{1}{a} x -= -\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\frac{dx}{d\varphi} -&= --a\sin\varphi -= --a y -= --a\operatorname{sn}(u,k). -\end{align*} -Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der -elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: -\begin{align*} -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} y(\varphi) -= -\cos\varphi -= -\frac{x}{a} -= -\operatorname{cn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} -\operatorname{sn}(u,k) -&= -\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z) -&= -\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a} -= --\sin\varphi -= --\operatorname{sn}(u,k) -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du} -\\ -\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) -&= -\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} -= -\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} -+ -\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} -\\ -&= -\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k)) -+ -\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k) -\\ -&= -\frac{x}{ar}(-ay) -+ -\frac{y}{ar} \frac{x}{a} -= -\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} -\\ -&= --\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} -\\ -&= --\frac{a^2-1}{ar} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&=-k^2 -\frac{a}{r} -\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k) -\\ -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -&&\Rightarrow& -\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k) -\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\frac{d\varphi}{du} -\end{align*} -Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so -wählt, dass -\[ -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{r}{a} -\] -Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) -&= -\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\end{align*} -der elliptischen Funktionen nach Jacobi. - -% -% Der Grenzfall $k=1$ -% -\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} -\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen -für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. -\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} -\end{figure} -Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den -Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -\[ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2 -\operatorname{dn}^2(u,k) -= -k^{\prime2} -= -0 -\qquad\Rightarrow\qquad -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -\operatorname{dn}^2(u,1), -\] -die beiden Funktionen -$\operatorname{cn}(u,k)$ -und -$\operatorname{dn}(u,k)$ -fallen also zusammen. -Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: -\begin{align*} -\operatorname{sn}'(u,1) -&= -\operatorname{cn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -\operatorname{cn}^2(u,1) -= -1-\operatorname{sn}^2(u,1) -&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 -\\ -\operatorname{cn}'(u,1) -&= -- -\operatorname{sn}(u,1) -\operatorname{dn}(u,1) -= -- -\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) -&&\Rightarrow& -\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y -\end{align*} -Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet -die Lösung -\[ -\frac{y'}{1-y^2} -= -1 -\quad\Rightarrow\quad -\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{artanh}(y) = u -\quad\Rightarrow\quad -\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. -\] -Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: -\begin{align*} -(\log \operatorname{cn}(u,1))' -&= -\tanh u -&&\Rightarrow& -\log\operatorname{cn}(u,1) -&= --\int\tanh u\,du -= --\log\cosh u -\\ -& -&&\Rightarrow& -\operatorname{cn}(u,1) -&= -\frac{1}{\cosh u} -= -\operatorname{sech}u. -\end{align*} -Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} -dargestellt. - -% -% Das Argument u -% -\subsubsection{Das Argument $u$} -Die Gleichung -\begin{equation} -\frac{d\varphi}{du} -= -\operatorname{dn}(u,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -\end{equation} -ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch -die geometrische Bedeutung zu klären. -Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der -Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} -ist, diesen nennen wir $\vartheta$. -Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist -\begin{equation} -\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta -\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} -\end{equation} - -Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, -dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also -$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. -Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist -\[ -\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} -= -\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt -werden, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -= -\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} -= -\frac{1}{a}\cdot -\frac{a^2}{r^2} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. -\] -Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} -Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist -\[ -\frac{d\vartheta}{du} -= -\frac{d\vartheta}{d\varphi} -\cdot -\frac{d\varphi}{du} -= -\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -\cdot -\operatorname{dn}(u,k) -= -\frac{1}{a} -\cdot -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -= -\frac{1}{a} -\cdot\frac{a}{r} -= -\frac{1}{r}, -\] -wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ -verwendet haben. - -In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung -von $u$ nach $t$ berechnen als -\[ -\frac{du}{dt} -= -\frac{du}{d\vartheta} -\frac{d\vartheta}{dt} -= -r -\dot{\vartheta}. -\] -Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um -das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ -von $O$. -$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes -$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. -Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral -\[ -u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. -\] -Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht -auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass -$u(P)=\vartheta(P)$ ist. - -% -% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen -% -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} -\caption{Die Verhältnisse der Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -udn -$\operatorname{dn}(u,k)$ -geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe -des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} -\end{figure} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2.5} -\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} -\hline -\cdot & -\frac{1}{1} & -\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -1& -&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & -\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & -\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & -\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{sn}(u,k) & -\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{cn}(u,k) & -\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & -\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\ -\operatorname{dn}(u,k) & -\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & -\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} -\\[5pt] -\hline -\end{tabular} -\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden -Jacobischen elliptischen Funktionen. -\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} -\end{table} -\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn -lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise -die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. -Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, -$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und -$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen -die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten -Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. -Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ -ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, -der Nenner durch den Buchstaben q. -Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für -die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen -Funktionen. -Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt -man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. - -In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch -geometrisch interpretiert. -Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl -mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen -Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. -Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die -Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. - -Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede -andere auszudrücken. -Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie -übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier -nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: - -\begin{beispiel} -Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -Zunächst ist -\[ -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -\] -nach Definition. -Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und -$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. -Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten -\begin{equation} -\operatorname{sc}(u,k) -= -\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. -\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} -\end{equation} -Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch -$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. -Aus der Definition und der -dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} -erhält man -\begin{align*} -\operatorname{cd}^2(u,k) -&= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} -= -\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} -\\ -\Rightarrow -\qquad -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -+ -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\operatorname{cn}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -\\ -\operatorname{cn}^2(u,k) -&= -\frac{ -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -\end{align*} -Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also -\[ -1-\operatorname{cn}^2(u,k) -= -\frac{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -- -k^{\prime 2} -\operatorname{cd}^2(u,k) -}{ -1 -- -k^2\operatorname{cd}^2(u,k) -} -= -\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -\] -Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt -\begin{align*} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} -\cdot -\frac{ -\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -} -= -\frac{ -\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} -}{ -k' -\operatorname{cd}(u,k) -}. -\qedhere -\end{align*} -\end{beispiel} - -\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} -Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen -können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der -abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. -Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. -Sie ist -\begin{align*} -\frac{d}{du} -\operatorname{sc}(u,k) -&= -\frac{d}{du} -\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\frac{ -\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -- -\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{ -\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -+ -\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) -}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -= -\frac{( -\operatorname{sn}^2(u,k) -+ -\operatorname{cn}^2(u,k) -)\operatorname{dn}(u,k)}{ -\operatorname{cn}^2(u,k) -} -\\ -&= -\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} -\cdot -\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} -= -\operatorname{nc}(u,k) -\operatorname{dc}(u,k). -\end{align*} -Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat -der Quotientenregel zur Folge hat, dass die -beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie -die Funktion, die abgeleitet wird. - -Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen -\begin{equation} -%\small -\begin{aligned} -\operatorname{sn}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&\qquad& -\operatorname{ns}'(u,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) -\\ -\operatorname{cn}'(u,k) -&= -- -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) -&&& -\operatorname{nc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) -\\ -\operatorname{dn}'(u,k) -&= --k^2 -\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) -&&& -\operatorname{nd}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^2 -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) -\\ -\operatorname{sc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -&&& -\operatorname{cs}'(u,k) -&= -- -\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -\\ -\operatorname{cd}'(u,k) -&= --k^{\prime2} -\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -&&& -\operatorname{dc}'(u,k) -&= -\phantom{-} -k^{\prime2} -\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) -\\ -\operatorname{ds}'(d,k) -&= -- -\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) -&&& -\operatorname{sd}'(d,k) -&= -\phantom{-} -\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) -\end{aligned} -\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} -\end{equation} -finden. -Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen -zweiten Buchstaben haben. - -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden -% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic - - -XXX Ableitungen \\ -XXX Werte \\ - -% -% Lösung von Differentialgleichungen -% -\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen} -Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer -Differentialgleichungen in geschlossener Form. -Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form -\( -\ddot{x}(t) -= -p(x(t)) -\) -mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können. - -% -% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen -% -\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen} -Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu -können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben -finden. -Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält -man -\[ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -= -\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2. -\] -Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$ -ausgedrückt werden. -\begin{align*} -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\biggl( -1-\operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 -\biggr) -\\ -&= -k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 --(1+k^2) -\operatorname{sn}(u,k)^2 -+1. -\end{align*} -Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung -\begin{align*} -\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k) -&= --\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k) -\\ -\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2 -&= -\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2 -\\ -&= -\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr) -\\ -&= --k^2\operatorname{cn}(u,k)^4 -- -(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2 -+ -(1-k^2) -\\ -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -&= --k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) -\\ -\biggl( -\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k) -\biggr)^2 -&= -\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr) -\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr) -\\ -&= -\biggl( -1-\operatorname{dn}(u,k)^2 -\biggr) -\biggl( -\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1 -\biggr) -\\ -&= --\operatorname{dn}(u,k)^4 -- -2\operatorname{dn}(u,k)^2 --k^2+1. -\end{align*} -\begin{table} -\centering -\renewcommand{\arraystretch}{2} -\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -\hline -\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ -\hline -\operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) - &k^2&1&1 &+&+&+ -\\ -\operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) - &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ -\\ -\operatorname{dn}(u,k) - & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2) - &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&- -\\ -\hline -\end{tabular} -\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene -nichtlineare Differentialgleichungen der Art -\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}. -Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden -muss. -\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}} -\end{table} - -Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen -Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art. -Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion. -Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$, -wenn wir eine beliebige der drei Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, -$\operatorname{cn}(u,k)$ -oder -$\operatorname{dn}(u,k)$ -meinen. -Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der -Differentialgleichung -\begin{equation} -\operatorname{zn}'(u,k)^2 -= -\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma, -\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -\end{equation} -wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von -$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen. -Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab, -vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen. -Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als -Lösung zu verwenden. - -% -% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale -% -\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} -Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den -Zusammenhang zwischen den Funktionen -$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$ -und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen. -Die Differentialgleichungen sind alle von der Form -\begin{equation} -\biggl( -\frac{d y}{d u} -\biggr)^2 -= -p(u), -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist. -Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen. -Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die -Wurzel -\begin{align} -\frac{dy}{du} -= -\sqrt{p(y)} -\notag -\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält} -\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C. -\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral} -\end{align} -Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite -von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und -das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$. -Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar. -Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -ist daher -\[ -y(u) = F^{-1}(u+C). -\] -Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen -der unvollständigen elliptischen Integrale. - -\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} -Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung -\[ -2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k) -= -4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k). -\] -Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$, -bleibt die nichtlineare -Differentialgleichung -\[ -\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2} -= -\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3. -\] -Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer -Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$. - -% -% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators -% -\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators} -Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung -\begin{equation} -\biggl( -\frac{dx}{dt} -\biggr)^2 -= -Ax^4+Bx^2 + C -\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -\end{equation} -mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen. -Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form -\begin{equation} -x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k) -\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} -\end{equation} -ist. -Die erste Ableitung von $x(t)$ ist -\[ -\dot{x}(t) -= -a\operatorname{zn}'(bt,k). -\] - -Indem wir diesen Lösungsansatz in die -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} -einsetzen, erhalten wir -\begin{equation} -a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2 -= -a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+C -\label{buch:elliptisch:eqn:dglx} -\end{equation} -Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer -Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} -erfüllt. -Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir -die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten -Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen: -\[ -\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+\frac{C}{a^2b^2} -= -\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4 -+ -\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2 -+ -\gamma\operatorname{zn}(bt,k). -\] -Daraus ergeben sich die Gleichungen -\begin{align} -\alpha &= \frac{a^2A}{b^2}, -& -\beta &= \frac{B}{b^2} -&&\text{und} -& -\gamma &= \frac{C}{a^2b^2} -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen -Differentialgleichung} -A&=\frac{\alpha b^2}{a^2} -& -B&=\beta b^2 -&&\text{und}& -C &= \gamma a^2b^2 -\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -\end{align} -für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden -Funktion. - -Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die -Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie -$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert -wird, die immer positiv sind. -Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss. - -In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt -es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann. -Es folgt, dass die Gleichungen -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -auch $a$ und $b$ bestimmen. -Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass -\[ -b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}. -\] -Damit folgt dann aus der zweiten -\[ -a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}. -\] -Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest. -Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer -Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt. - -\begin{beispiel} -Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss -Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen, -dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet -werden muss. -Die Tabelle sagt dann auch, dass -$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen. -Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} -folgt dann der Reihe nach -\begin{align*} -b&=\pm \sqrt{B} -\\ -a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}} -\\ -k^2 -&= -\frac{AC}{B^2}. -\end{align*} -Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von -\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC} -auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ -erhalten kann, nämlich -\[ -\frac{AC}{B^2} -= -\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4} -= -\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}. -\qedhere -\] -\end{beispiel} - -Da alle Parameter im -Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits -festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren -Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann. -Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist -autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung -sind nicht von der Zeit abhängig. -Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine -Lösung der Differentialgleichung. -Die allgmeine Lösung der -Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat -also die Form -\[ -x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), -\] -wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen -von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. - -% -% Das mathematische Pendel -% -\subsection{Das mathematische Pendel -\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} -\caption{Mathematisches Pendel -\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}} -\end{figure} -Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte -Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$ -im Punkt $P$, -der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$ -verbunden ist. -Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$. - -Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist -\( -I=ml^2 -\). -Das Drehmoment der Schwerkraft ist -\(M=gl\sin\vartheta\). -Die Bewegungsgleichung wird daher -\[ -\begin{aligned} -\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta} -&= -M -= -gl\sin\vartheta -\\ -ml^2\ddot{\vartheta} -&= -gl\sin\vartheta -&&\Rightarrow& -\ddot{\vartheta} -&=\frac{g}{l}\sin\vartheta -\end{aligned} -\] -Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die -wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung -der elliptischen Funktionen vergleichen können. - -Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen -enthalten das Quadrat der ersten Ableitung. -In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$ -enthält. -Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben. -Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein. -Dies führt auf -\[ -E_{\text{kinetisch}} -+ -E_{\text{potentiell}} -= -\frac12I\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 -+ -mgl(1-\cos\vartheta) -= -E -\] -Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die -Differentialgleichung -\[ -\dot{\vartheta}^2 -= -- -\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta) -+\frac{2E}{ml^2} -\] -finden. -In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten -Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies -tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für -elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte -Lösung konstruieren. - -Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade -über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist -$E=2lmg$. -Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen -der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ -bleibt. -Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse -Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im -höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. - -% -% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen -% -\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E -\qquad\Rightarrow\qquad -\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. -\] -Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als -$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. - -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac14 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\cdot -\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac14 -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{1}{4} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) -\end{align*} -Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung -für elliptische Funktionen. -Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der -Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. -Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} -zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme -$1$ sein muss. - -% -% Der Fall E < 2mgl -% -\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} -\caption{% -Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für -verschiedene Werte von $k^2=m$. -Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, -$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese -sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. -Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig -von den trigonometrischen Funktionen ab, -es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der -Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. -Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass -die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt -erreichen kann, was es für $m$ macht. -\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} -\end{figure} - - -Wir verwenden als neue Variable -\[ -y = \sin\frac{\vartheta}2 -\] -mit der Ableitung -\[ -\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. -\] -Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in -Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. - -Aus den Halbwinkelformeln finden wir -\[ -\cos\vartheta -= -1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 -= -1-2y^2. -\] -Dies können wir zusammen mit der -Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ -in die Energiegleichung einsetzen und erhalten -\[ -\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E. -\] -Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ -erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir -als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. -Wir erhalten -\begin{align*} -\frac12ml^2 -\cos^2\frac{\vartheta}2 -\dot{\vartheta}^2 -&= -(1-y^2) -(E -mgly^2) -\\ -\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2 -&= -\frac{1}{2} -(1-y^2) -\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr) -\\ -\dot{y}^2 -&= -\frac{E}{2ml^2} -(1-y^2)\biggl( -1-\frac{2gml}{E}y^2 -\biggr). -\end{align*} -Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische -Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = 2gml/E< 1$. - -% -% Der Fall E > 2mgl -% -\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} -In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend -kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. -Indem wir die Gleichung - -XXX Differentialgleichung \\ -XXX Mathematisches Pendel \\ -\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung} -\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung} -XXX Möbius-Transformation \\ -XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen |