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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex new file mode 100644 index 0000000..d4ad019 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -0,0 +1,171 @@ +% +% lemniskate.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Lemniskatischer Sinus +\label{buch:elliptisch:section:lemniskate}} +\rhead{Lemniskatischer Sinus} +Historisch war der {\em lemniskatische Sinus} die erste ellptische +Funktion, die Gauss bereits als 19-jähriger untersucht, aber nicht +veröffentlich hat. +In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen +elliptischen Funktionen hergestellt werden. + +\subsection{Lemniskate +\label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf} +\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli. +\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}} +\end{figure} +Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung +\begin{equation} +(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2). +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +\end{equation} +Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} +dargestellt. +Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$. + +In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ +gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate} +\begin{equation} +r^4 += +2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi) += +2a^2r^2\cos2\varphi +\qquad\Rightarrow\qquad +r^2 = 2a^2\cos 2\varphi +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar} +\end{equation} +als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung. +Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das +rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke +Blatt der Lemniskate. + +Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung +verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$. +Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate +wird dann zu +\[ +(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2). +\] + +\subsubsection{Bogelänge} +Die Funktionen +\begin{equation} +x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2}, +\quad +y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2} +\label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} +\end{equation} +erfüllen +\begin{align*} +x(r)^2-y(r)^2 +&= +\frac{r^2(1+r^2)}{2}-\frac{r^2(1-r^2)}{2} +\\ +& += +r^4 += +(x(r)^2 + y(r)^2)^2, +\end{align*} +sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. + +Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} +kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} +dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen. +Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und +Kettenregel berechnen kann: +\begin{align*} +\dot{x}(r) +&= +\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}} ++ +\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}} +&&\Rightarrow& +\dot{x}(r)^2 +&= +\frac{1+r^2}{2} +r^2 + \frac{r^4}{2(1+r^2)} +\\ +\dot{y}(r) +&= +\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}} +- +\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}} +&&\Rightarrow& +\dot{y}(r)^2 +&= +\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)} +\end{align*} +Die Summe der Quadrate ist +\begin{align*} +\dot{x}(r)^2 + \dot{y}(r)^2 +&= +1 + r^4\frac{1-r^2+1+r^2}{2(1+r^2)(1-r^2)} += +1+r^4\frac{2}{2(1-r^4)} += +\frac{1-r^4+r^4}{1-r^4} += +\frac1{1-r^4}. +\end{align*} +Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man +\begin{equation} +s(r) += +\int_0^r +\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt. +\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} +\end{equation} + +\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral} +Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter +$m=-1$ ist +\[ +F(r,-1) += +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} += +\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} += +s(r). +\] +Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des +ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des +Parameters $m$ + +\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} +Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises. +Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} +den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung +$r=\operatorname{sl} s$. + +Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. +Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine +komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen +dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. +Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet +und hat den numerischen Wert +\[ +\varphi += +2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt += +2.6220575542. +\] +Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge +$\varpi/2$. + +Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$, +für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$ +die Länge $s$ hat. + + +XXX Algebraische Beziehungen \\ +XXX Ableitungen \\ |