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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex c1885c9..47870ef 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index 1f52c2a..72cc70e 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -499,11 +499,11 @@ Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung \text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ \hline \operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = (1-y^2)(1-k^2y^2) + & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) &k^2&1&1 &+&+&+ \\ \operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = (1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) + &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ \\ \operatorname{dn}(u,k) @@ -715,7 +715,8 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. -\subsubsection{Das mathematische Pendel} +\subsection{Das mathematische Pendel +\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} @@ -794,6 +795,96 @@ tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte Lösung konstruieren. +Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +$E=2lmg$. +Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +bleibt. +Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. + +\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +\] +Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. + +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac14 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\cdot +\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac14 +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{1}{4} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\end{align*} +Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +für elliptische Funktionen. +Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +$1$ sein muss. + +\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +\caption{% +Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +verschiedene Werte von $k^2=m$. +Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +von den trigonometrischen Funktionen ab, +es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +erreichen kann, was es für $m$ macht. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +\end{figure} + + Wir verwenden als neue Variable \[ y = \sin\frac{\vartheta}2 @@ -846,7 +937,12 @@ Wir erhalten \end{align*} Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = gml/2E$. +mit $k^2 = 2gml/E< 1$. + +\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +Indem wir die Gleichung XXX Differentialgleichung \\ XXX Mathematisches Pendel \\ |