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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index d1e0afe..68322b6 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -4,7 +4,8 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ - ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf + ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \ + sncnlimit.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -66,3 +67,7 @@ jacobidef.pdf: jacobidef.tex jacobi12.pdf: jacobi12.tex pdflatex jacobi12.tex + +sncnlimit.pdf: sncnlimit.tex + pdflatex sncnlimit.tex + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf Binary files differindex 8ebd501..d11bde8 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c721427 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.tex new file mode 100644 index 0000000..2b284fb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.tex @@ -0,0 +1,79 @@ +% +% sncnlimit.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{2} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\pitick#1#2{ + \draw (#1,{-0.1/\skala}) -- (#1,{0.1/\skala}); + \node at (#1,{-0.1/\skala}) [below] {$\mathstrut #2$}; +} + +\def\achsen{ + \draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({6.4+0.3/\skala},0) + coordinate[label=$u$]; + \pitick{3.1415}{\pi} + \pitick{2*3.1415}{2\pi} + \draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1); + \node at ({-0.1/\skala},1) [left] {$1$}; + \node at ({-0.1/\skala},0) [left] {$0$}; +} + +\begin{scope} +\achsen +\draw[->] (0,{-1-0.1/\skala}) -- (0,{1+0.3/\skala}) + coordinate[label={right:$y$}]; +\draw[color=red!50,line width=1.4pt] + plot[domain=0:365,samples=100] ({3.1415*\x/180},{sin(\x)}); +\draw[color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.4,samples=100] + ({\x},{(exp(\x)-exp(-\x))/(exp(\x)+exp(-\x))}); +\node[color=red] at ({1.5*3.1415},1) + [above] {$\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u$}; +\node[color=red] at ({1.5*3.1415},{-1+0.14}) + [above] {$\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-2.4cm] +\achsen +\draw[->] (0,{-1-0.1/\skala}) -- (0,{1+0.3/\skala}) + coordinate[label={right:$y$}]; + +\draw[color=blue!50,line width=1.4pt] + plot[domain=0:365,samples=100] ({3.1415*\x/180},{cos(\x)}); +\draw[color=blue,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.4,samples=100] ({\x},{2/(exp(\x)+exp(-\x))}); +\node[color=blue] at (3.1415,{-1+0.15}) + [above] {$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$}; +\node[color=blue] at (3.1415,{2/(exp(3.1415)+exp(-3.1415))+0.05}) + [above] {$\operatorname{sech}u$}; +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-4.8cm] +\achsen +\draw[->] (0,{-0-0.1/\skala}) -- (0,{1+0.3/\skala}) + coordinate[label={right:$y$}]; +\node[color=darkgreen] at (3.1415,1) [above] {$\operatorname{dn}(u,0) = 1$}; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + plot[domain=0:6.4,samples=100] ({\x},{2/(exp(\x)+exp(-\x))}); +\draw[color=darkgreen!50,line width=1.4pt] + (0,1) -- (6.4,1); +\node[color=darkgreen] at (3.1415,{2/(exp(3.1415)+exp(-3.1415))+0.05}) + [above] {$\operatorname{dn}(u,1)=\operatorname{sech}u$}; +\node at (0,{-0.1/\skala}) [below] {$\mathstrut 0$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index e224490..f1e0987 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -490,6 +490,97 @@ Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln der elliptischen Funktionen nach Jacobi. % +% Der Grenzfall $k=1$ +% +\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf} +\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen +für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$. +\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}} +\end{figure} +Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den +Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\[ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2 +\operatorname{dn}^2(u,k) += +k^{\prime2} += +0 +\qquad\Rightarrow\qquad +\operatorname{cn}^2(u,1) += +\operatorname{dn}^2(u,1), +\] +die beiden Funktionen +$\operatorname{cn}(u,k)$ +und +$\operatorname{dn}(u,k)$ +fallen also zusammen. +Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht: +\begin{align*} +\operatorname{sn}'(u,1) +&= +\operatorname{cn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +\operatorname{cn}^2(u,1) += +1-\operatorname{sn}^2(u,1) +&&\Rightarrow& y'&=1-y^2 +\\ +\operatorname{cn}'(u,1) +&= +- +\operatorname{sn}(u,1) +\operatorname{dn}(u,1) += +- +\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1) +&&\Rightarrow& +\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y +\end{align*} +Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet +die Lösung +\[ +\frac{y'}{1-y^2} += +1 +\quad\Rightarrow\quad +\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{artanh}(y) = u +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u. +\] +Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen: +\begin{align*} +(\log \operatorname{cn}(u,1))' +&= +\tanh u +&&\Rightarrow& +\log\operatorname{cn}(u,1) +&= +-\int\tanh u\,du += +-\log\cosh u +\\ +& +&&\Rightarrow& +\operatorname{cn}(u,1) +&= +\frac{1}{\cosh u} += +\operatorname{sech}u. +\end{align*} +Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit} +dargestellt. + +% % Das Argument u % \subsubsection{Das Argument $u$} @@ -605,6 +696,7 @@ des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. \label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} \end{figure} \begin{table} +\centering \renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} \hline @@ -616,34 +708,36 @@ des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. \\[5pt] \hline 1& -\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & \operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & \operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & \operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} \\ \operatorname{sn}(u,k) & \operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& -\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& \operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& \operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} \\ \operatorname{cn}(u,k) & \operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & \operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& -\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& \operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} \\ \operatorname{dn}(u,k) & \operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & \operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& \operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& -\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} \\[5pt] \hline \end{tabular} \caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen -Funktionen als Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen -Funktionen. +Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen. \label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} \end{table} \subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} @@ -675,8 +769,232 @@ Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede andere auszudrücken. +Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie +übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier +nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden: + +\begin{beispiel} +Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$ +ausgedrückt werden. +Zunächst ist +\[ +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} +\] +nach Definition. +Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und +$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen. +Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ +mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten +\begin{equation} +\operatorname{sc}(u,k) += +\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}. +\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} +\end{equation} +Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch +$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken. +Aus der Definition und der +dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +erhält man +\begin{align*} +\operatorname{cd}^2(u,k) +&= +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)} += +\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +\\ +\Rightarrow +\qquad +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) ++ +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\operatorname{cn}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +\\ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +\frac{ +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} +\end{align*} +Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also +\[ +1-\operatorname{cn}^2(u,k) += +\frac{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +- +k^{\prime 2} +\operatorname{cd}^2(u,k) +}{ +1 +- +k^2\operatorname{cd}^2(u,k) +} += +\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +\] +Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt +\begin{align*} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}} +\cdot +\frac{ +\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +} += +\frac{ +\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)} +}{ +k' +\operatorname{cd}(u,k) +}. +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} \subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen +können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der +abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden. +Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$. +Sie ist +\begin{align*} +\frac{d}{du} +\operatorname{sc}(u,k) +&= +\frac{d}{du} +\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\frac{ +\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k) +- +\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{ +\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) ++ +\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k) +}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} += +\frac{( +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +)\operatorname{dn}(u,k)}{ +\operatorname{cn}^2(u,k) +} +\\ +&= +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} +\cdot +\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)} += +\operatorname{nc}(u,k) +\operatorname{dc}(u,k). +\end{align*} +Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat +der Quotientenregel zur Folge hat, dass die +beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie +die Funktion, die abgeleitet wird. + +Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen +\begin{equation} +%\small +\begin{aligned} +\operatorname{sn}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&\qquad& +\operatorname{ns}'(u,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k) +\\ +\operatorname{cn}'(u,k) +&= +- +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k) +&&& +\operatorname{nc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k) +\\ +\operatorname{dn}'(u,k) +&= +-k^2 +\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k) +&&& +\operatorname{nd}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^2 +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k) +\\ +\operatorname{sc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +&&& +\operatorname{cs}'(u,k) +&= +- +\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +\\ +\operatorname{cd}'(u,k) +&= +-k^{\prime2} +\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +&&& +\operatorname{dc}'(u,k) +&= +\phantom{-} +k^{\prime2} +\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k) +\\ +\operatorname{ds}'(d,k) +&= +- +\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k) +&&& +\operatorname{sd}'(d,k) +&= +\phantom{-} +\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k) +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen} +\end{equation} +finden. +Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen +zweiten Buchstaben haben. \subsubsection{TODO} XXX algebraische Beziehungen \\ @@ -836,9 +1154,9 @@ Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als Lösung zu verwenden. % -% Jacobi elliptische Funktionen und elliptische Integrale +% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale % -\subsubsection{Jacobi elliptische Funktionen als elliptische Integrale} +\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale} Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den Zusammenhang zwischen den Funktionen @@ -875,7 +1193,7 @@ ist daher \[ y(u) = F^{-1}(u+C). \] -Die Jacobi elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen +Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen der unvollständigen elliptischen Integrale. \subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung} |