aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/110-elliptisch
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch')
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc13
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile15
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp75
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m20
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima26
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp52
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex21
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex712
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex703
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex1076
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdfbin0 -> 23248 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex66
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp177
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile15
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile59
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdfbin0 -> 22593 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex215
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex24
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdfbin0 -> 130369 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex69
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdfbin0 -> 165928 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex141
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdfbin56975 -> 56975 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdfbin0 -> 202828 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov329
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex41
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdfbin9914 -> 14339 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex15
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp126
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdfbin0 -> 25749 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex94
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp31
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdfbin91639 -> 94300 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp128
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdfbin0 -> 31823 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex88
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdfbin0 -> 312677 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov308
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex41
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex1592
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex617
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex325
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex40
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex65
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex135
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex75
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex59
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m60
49 files changed, 5963 insertions, 1687 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
index 538db68..4e2644c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -4,9 +4,16 @@
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \
+CHAPTERFILES += \
chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex \
chapters/110-elliptisch/jacobi.tex \
+ chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex \
+ chapters/110-elliptisch/dglsol.tex \
+ chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex \
chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex \
- chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/001.tex \
- chapters/110-geometrie/chapter.tex
+ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex \
+ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex \
+ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex \
+ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex \
+ chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex \
+ chapters/110-elliptisch/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..8dab511
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all: sn
+
+sn: sn.cpp
+ g++ -O -Wall -g -std=c++11 sn.cpp -o sn `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
+
+agm: agm.cpp
+ g++ -O -Wall -g -std=c++11 agm.cpp -o agm `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+ ./agm
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp
new file mode 100644
index 0000000..8abb4b2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp
@@ -0,0 +1,75 @@
+/*
+ * agm.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
+
+inline long double sqrl(long double x) {
+ return x * x;
+}
+
+long double Xn(long double a, long double b, long double x) {
+ double long epsilon = fabsl(a - b);
+ if (epsilon > 0.001) {
+ return (a - sqrtl(sqrl(a) - sqrl(x) * (a + b) * (a - b)))
+ / (x * (a - b));
+ }
+ long double d = a + b;
+ long double x1 = 0;
+ long double y2 = sqrl(x/a);
+ long double c = 1;
+ long double s = 0;
+ int k = 1;
+ while (c > 0.0000000000001) {
+ c *= (0.5 - (k - 1)) / k;
+ c *= (d - epsilon) * y2;
+ s += c;
+ c *= epsilon;
+ c = -c;
+ k++;
+ }
+ return s * a / x;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ long double a = 1;
+ long double b = sqrtl(2.)/2;
+ long double x = 0.7;
+ if (argc >= 3) {
+ a = std::stod(argv[1]);
+ b = std::stod(argv[2]);
+ }
+ if (argc >= 4) {
+ x = std::stod(argv[3]);
+ }
+
+ {
+ long double an = a;
+ long double bn = b;
+ long double xn = x;
+ for (int i = 0; i < 10; i++) {
+ printf("%d %24.18Lf %24.18Lf %24.18Lf %24.18Lf\n",
+ i, an, bn, xn, a * asin(xn) / an);
+ long double A = (an + bn) / 2;
+ xn = Xn(an, bn, xn);
+ bn = sqrtl(an * bn);
+ an = A;
+ }
+ }
+
+ {
+ double k = b/a;
+ k = sqrt(1 - k*k);
+ double K = gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE);
+ printf(" %24.18f %24.18f\n", k, K);
+ double F = gsl_sf_ellint_F(asinl(x), k, GSL_PREC_DOUBLE);
+ printf(" %24.18f %24.18f\n", k, F);
+ }
+
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m
new file mode 100644
index 0000000..dcb3ad8
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.m
@@ -0,0 +1,20 @@
+#
+# agm.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+format long
+
+n = 10;
+a = 1;
+b = sqrt(0.5);
+
+for i = (1:n)
+ printf("%20.16f %20.16f\n", a, b);
+ A = (a+b)/2;
+ b = sqrt(a*b);
+ a = A;
+end
+
+K = pi / (2 * a)
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima
new file mode 100644
index 0000000..c7facd4
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima
@@ -0,0 +1,26 @@
+/*
+ * agm.maxima
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+
+S: 2*a*sin(theta1) / (a+b+(a-b)*sin(theta1)^2);
+
+C2: ratsimp(diff(S, theta1)^2 / (1 - S^2));
+C2: ratsimp(subst(sqrt(1-sin(theta1)^2), cos(theta1), C2));
+C2: ratsimp(subst(S, sin(theta), C2));
+C2: ratsimp(subst(sqrt(1-S^2), cos(theta), C2));
+
+D2: (a^2 * cos(theta)^2 + b^2 * sin(theta)^2)
+ /
+ (a1^2 * cos(theta1)^2 + b1^2 * sin(theta1)^2);
+D2: subst((a+b)/2, a1, D2);
+D2: subst(sqrt(a*b), b1, D2);
+D2: ratsimp(subst(1-S^2, cos(theta)^2, D2));
+D2: ratsimp(subst(S, sin(theta), D2));
+D2: ratsimp(subst(1-sin(theta1)^2, cos(theta1)^2, D2));
+
+Q: D2/C2;
+Q: ratsimp(subst(x, sin(theta1), Q));
+
+Q: ratsimp(expand(ratsimp(Q)));
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp
new file mode 100644
index 0000000..9e1b047
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp
@@ -0,0 +1,52 @@
+/*
+ * sn.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+
+static const int N = 10;
+
+inline long double sqrl(long double x) {
+ return x * x;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ long double u = 0.6;
+ long double k = 0.9;
+ long double kprime = sqrt(1 - sqrl(k));
+
+ long double a[N], b[N], x[N+1];
+ a[0] = 1;
+ b[0] = kprime;
+
+ for (int n = 0; n < N-1; n++) {
+ printf("a[%d] = %22.18Lf b[%d] = %22.18Lf\n", n, a[n], n, b[n]);
+ a[n+1] = (a[n] + b[n]) / 2;
+ b[n+1] = sqrtl(a[n] * b[n]);
+ }
+
+ x[N] = sinl(u * a[N-1]);
+ printf("x[%d] = %22.18Lf\n", N, x[N]);
+
+ for (int n = N - 1; n >= 0; n--) {
+ x[n] = 2 * a[n] * x[n+1] / (a[n] + b[n] + (a[n] - b[n]) * sqrl(x[n+1]));
+ printf("x[%2d] = %22.18Lf\n", n, x[n]);
+ }
+
+ printf("sn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24Lf\n", u, k, x[0]);
+
+ double sn, cn, dn;
+ double m = sqrl(k);
+ gsl_sf_elljac_e((double)u, m, &sn, &cn, &dn);
+ printf("sn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, sn);
+ printf("cn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, cn);
+ printf("dn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, dn);
+
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
index e09fa53..21fc986 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -10,14 +10,29 @@
\rhead{}
Der Versuch, die Länge eines Ellipsenbogens zu berechnen, hat
-in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
zu Integralen geführt, die nicht in geschlossener Form ausgewertet
werden können.
Neben den dort gefundenen Integralen sind noch weitere, ähnlich
aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
+Auf die trigonometrischen Funktionen stösst man, indem man Funktion
+der Bogenlänge umkehrt.
+Ein analoges Vorgehen bei den elliptischen Integralen führt auf
+die Jacobischen elliptischen Funktionen, die in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:section:jacobi} allerdings auf
+eine eher geometrische Art eingeführt werden.
+Die Verbindung zu den elliptischen Integralen wird dann in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}
+wieder hergestellt.
+
\input{chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex}
+
\input{chapters/110-elliptisch/jacobi.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/dglsol.tex}
+\input{chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex}
+
\input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
\section*{Übungsaufgaben}
@@ -26,5 +41,9 @@ aufgebaute Integrale in dieser Familie zu finden.
\begin{uebungsaufgaben}
%\uebungsaufgabe{0}
\uebungsaufgabe{1}
+\uebungsaufgabe{2}
+\uebungsaufgabe{3}
+\uebungsaufgabe{4}
+\uebungsaufgabe{5}
\end{uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
new file mode 100644
index 0000000..c5b3a5c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -0,0 +1,712 @@
+%
+% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+%
+% Lösung von Differentialgleichungen
+%
+\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen
+\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}}
+Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
+Differentialgleichungen in geschlossener Form.
+Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
+\(
+\dot{x}(t)^2
+=
+P(x(t))
+\)
+mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder
+\(
+\ddot{x}(t)
+=
+p(x(t))
+\)
+mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
+
+%
+% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
+Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
+können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
+finden.
+Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
+man
+\[
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+=
+\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
+\]
+Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
+ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\bigl(
+1-\operatorname{sn}(u,k)^2
+\bigr)
+\bigl(
+1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+k^2\operatorname{sn}(u,k)^4
+-(1+k^2)
+\operatorname{sn}(u,k)^2
++1.
+\end{align*}
+Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
+&=
+\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+\\
+&=
+\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
++
+(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2
++
+k^{\prime 2}
+\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:}
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\biggl(
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+\biggr)^2
+&=
+\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
+\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
+\\
+&=
+\bigl(
+1-\operatorname{dn}(u,k)^2
+\bigr)
+\bigl(
+\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2}
+\bigr)
+\\
+&=
+-\operatorname{dn}(u,k)^4
++
+(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2
+-k^{\prime 2}.
+\end{align*}
+
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
+\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+ & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
+ &k^2&1+k^2&1
+\\
+\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2)
+ &-k^2 &k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+ & y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2)
+ &-1 &1+k^{\prime 2}=2-k^2 &-k^{\prime2}
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
+nichtlineare Differentialgleichungen der Art
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
+Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
+muss.
+\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
+\end{table}
+
+Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle
+einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
+Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
+Die Differentialgleichungen sind in der
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst.
+
+%
+% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen
+Funktionen}
+Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
+Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder
+durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten,
+dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung
+genügen.
+Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$,
+wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion.
+Für
+$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$
+$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$
+und
+$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$
+wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass
+$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung
+der Form
+\begin{equation}
+\operatorname{pq}'(u,k)^2
+=
+\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma
+\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+\end{equation}
+erfüllt,
+wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von
+$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
+Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
+ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen
+sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}
+zusammengestellt.
+
+Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt
+werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die
+Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen
+Funktion ermitteln.
+
+%
+% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion}
+Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine
+Differentialgleichung für den Kehrwert
+$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$
+ableiten.
+Dazu rechnet man
+\[
+\operatorname{qp}'(u,k)
+=
+\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)}
+=
+\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\left\{
+\quad
+\begin{aligned}
+\operatorname{pq}(u,k)
+&=
+\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)}
+\\
+\operatorname{pq}'(u,k)
+&=
+\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+und setzt in die Differentialgleichung ein:
+\begin{align*}
+\biggl(
+\frac{
+\operatorname{qp}'(u,k)
+}{
+\operatorname{qp}(u,k)
+}
+\biggr)^2
+&=
+\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4}
++
+\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
++
+\gamma.
+\end{align*}
+Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den
+folgenden Satz.
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}%
+Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
+der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+genügt, dann genügt der Kehrwert
+$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+(\operatorname{qp}'(u,k))^2
+=
+\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4
++
+\beta \operatorname{qp}(u,k)^2
++
+\alpha
+\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{table}
+\centering
+\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}}
+\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}}
+\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
+\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r}
+\cline{1-4}
+\lfn{Funktion}
+ & \alpha & \beta & \gamma &\\
+\hline
+\lfn{sn}& k^2 & -(1+k^2) & 1 &\rfn{ns}\\
+\lfn{cn}& -k^2 & -(1-2k^2) & 1-k^2 &\rfn{nc}\\
+\lfn{dn}& 1 & 2-k^2 & -(1-k^2) &\rfn{nd}\\
+\hline
+\lfn{sc}& 1-k^2 & 2-k^2 & 1 &\rfn{cs}\\
+\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2) & 1 &\rfn{ds}\\
+\lfn{cd}& k^2 &-(1+k^2) & 1 &\rfn{dc}\\
+\hline
+ & \gamma & \beta & \alpha &\rfn{Reziproke}\\
+\cline{2-5}
+\end{tabular}
+\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen
+elliptischen Funktionen.
+Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der
+ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$
+vertauscht worden sind.
+\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}}
+\end{table}
+
+%
+% Differentialgleichung zweiter Ordnung
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
+Leitet man die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
+\[
+2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k)
+=
+4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k).
+\]
+Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$,
+bleibt die nichtlineare
+Differentialgleichung
+\[
+\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2}
+=
+\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3.
+\]
+Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer
+Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
+
+
+
+%
+% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
+%
+\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
+Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
+zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
+Zusammenhang zwischen den Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
+und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
+Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{d y}{d u}
+\biggr)^2
+=
+p(u),
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\end{equation}
+wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
+Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
+Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
+Wurzel
+\begin{align}
+\frac{dy}{du}
+=
+\sqrt{p(y)}
+\notag
+\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
+\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
+\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
+\end{align}
+Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
+von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
+das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
+Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
+Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+ist daher
+\[
+y(u) = F^{-1}(u+C).
+\]
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
+der unvollständigen elliptischen Integrale.
+
+\begin{beispiel}
+Die Differentialgleichung der Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ ist
+\[
+(y')^2
+=
+(1-y^2)(1-k^2y^2).
+\]
+Aus \eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} folgt daher, dass
+\[
+u+C
+=
+\int\frac{dy}{(1-y^2)(1-k^2y^2)}.
+\]
+Das Integral ist das unvollständige elliptische Integral erster Art.
+Mit der Wahl der Konstanten $C$ so, dass $y(0)=0$ ist, ist
+$y(u)=\operatorname{sn}(u,k)$ daher die Umkehrfunktion von
+$y\mapsto F(y,k)=u$.
+\end{beispiel}
+
+%
+% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+%
+\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+\label{buch:elliptisch:jacobi:agm}}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+\begin{scope}[xshift=-2.4cm,yshift=1.2cm]
+\fill[color=red!20]
+ (-1.0,0) -- (-1.0,-2.1) -- (-1.8,-2.1) -- (0,-3.0)
+ -- (1.8,-2.1) -- (1.0,-2.1) -- (1.0,0) -- cycle;
+\node[color=white] at (0,-1.2) [scale=7] {\sf 1};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2.9cm,yshift=-1.8cm]
+\fill[color=blue!20]
+ (0.8,0) -- (0.8,2.1) -- (1.4,2.1) -- (0,3.0) -- (-1.4,2.1)
+ -- (-0.8,2.1) -- (-0.8,0) -- cycle;
+\node[color=white] at (0,1.2) [scale=7] {\sf 2};
+\end{scope}
+
+\node at (0,0) {
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}l<{$}|}
+\hline
+n & a_n & b_n & x_n &
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+0 & 1.0000000000000000 & 0.4358898943540673 & 0.5422823228691580 & = \operatorname{sn}(u,k)%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\
+1 & 0.7179449471770336 & 0.6602195804079634 & 0.4157689781689663 & \mathstrut\\
+2 & 0.6890822637924985 & 0.6884775317911533 & 0.4017521410983242 & \mathstrut\\
+3 & 0.6887798977918259 & 0.6887798314243237 & 0.4016042867931862 & \mathstrut\\
+4 & 0.6887798646080748 & 0.6887798646080740 & 0.4016042705654757 & \mathstrut\\
+5 & 0.6887798646080744 & 0.6887798646080744 & 0.4016042705654755 & \mathstrut\\
+6 & & & 0.4016042705654755 & = \sin(a_5u)
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\end{tabular}
+};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2
+mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels.
+In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen
+\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die
+Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$.
+Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels
+Maschinengenauigkeit, was sich auch darin äussert, dass sich $x_5$ und
+$x_6=\sin(a_5u)$ nicht unterscheiden.
+\label{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}}
+\end{table}
+In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}
+wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit
+Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann.
+\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+\index{arithmetisch-geometrisches Mittel!Algorithmus}%
+Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann
+man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$
+verwenden.
+Dazu geht man wie folgt vor:
+\begin{enumerate}
+\item
+$k'=\sqrt{1-k^2}$.
+\item
+Berechne die Folgen des arithmetisch-geometrischen Mittels
+$a_n$ und $b_n$ mit $a_0=1$ und $b_0=k'$, bis zum Folgenindex $N$,
+bei dem ausreichende Konvergenz eintegreten ist.
+\item
+Setze $x_N = \sin(a_N \cdot u)$.
+\item
+Berechnet für absteigende $n=N-1,N-2,\dots$ die Folge $x_n$ mit Hilfe
+der Rekursionsformel
+\begin{equation}
+x_{n}
+=
+\frac{2a_nx_{n+1}}{a_n+b_n+(a_n-b_n)x_{n+1}^2},
+\label{buch:elliptisch:agm:xnrek}
+\end{equation}
+die aus \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+durch die Substitution $x_n = \sin t_n$ entsteht.
+\item
+Setze $\operatorname{sn}(u,k) = x_0$.
+\end{enumerate}
+Da die Formel \eqref{buch:elliptisch:agm:xnrek} nicht unter den
+numerischen Stabilitätsproblemen leidet, die früher auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
+diskutiert wurden, ist die Berechnung stabil und sehr schnell.
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}
+zeigt die Berechnung am Beispiel $u=0.6$ und $k=0.2$.
+
+%
+% Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf}
+\caption{Werte der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+und
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+in den Ecken des Rechtecks mit Ecken $(0,0)$ und $(K,K+iK')$.
+Links der Definitionsbereich, rechts die Werte der drei Funktionen.
+Pole sind mit einem Kreuz ($\times$) bezeichnet, Nullstellen mit einem
+Kreis ($\ocircle$).
+\label{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf}
+\caption{Pole und Nullstellen aller Jacobischen elliptischen Funktionen
+mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}
+\label{buch:elliptisch:fig:ellall}}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf}
+\caption{Auswahl einer Jacobischen elliptischen Funktion mit bestimmten
+Nullstellen und Polen.
+Nullstellen und Pole können in jeder der vier Ecken des fundamentalen
+Rechtecks (gelb, oberer rechter Viertel des Periodenrechtecks) liegen.
+Der erste Buchstabe des Namens der gesuchten Funktion ist der Buchstabe
+der Ecke der Nullstelle, der zweite Buchstabe ist der Buchstabe der
+Ecke des Poles.
+Im Beispiel die Funktion $\operatorname{cd}(u,k)$, welche eine
+Nullstelle in $K$ hat und einen Pol in $K+iK'$.
+\label{buch:elliptisch:fig:selectell}}
+\end{figure}
+Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung
+\[
+\frac{dy}{du}
+=
+\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)},
+\]
+welche mit dem unbestimmten Integral
+\begin{equation}
+u + C = \int\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}}
+\label{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
+\end{equation}
+gelöst werden kann.
+Der Wertebereich des Integrals in \eqref{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
+wurde bereits in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}
+auf Seite~\pageref{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
+diskutiert.
+Daraus können jetzt Nullstellen und Pole der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+und mit Hilfe von Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
+auch für $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
+abgelesen werden:
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}(0,k)&=0
+&&\qquad&
+\operatorname{cn}(0,k)&=1
+&&\qquad&
+\operatorname{dn}(0,k)&=1
+\\
+\operatorname{sn}(iK',k)&=\infty
+&&\qquad&
+\operatorname{cn}(iK',k)&=\infty
+&&\qquad&
+\operatorname{dn}(iK',k)&=\infty
+\\
+\operatorname{sn}(K,k)&=1
+&&\qquad&
+\operatorname{cn}(K,k)&=0
+&&\qquad&
+\operatorname{dn}(K,k)&=k'
+\\
+\operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k}
+&&\qquad&
+\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik}
+&&\qquad&
+\operatorname{dn}(K+iK',k)&=0
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptische:eqn:eckwerte}
+\end{equation}
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} zeigt diese Werte
+an einer schematischen Darstellung des Definitionsbereiches auf.
+Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen
+elliptischen Funktionen ablesen, Pole und Nullstellen sind in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellall}
+zusammengestellt.
+
+
+
+
+
+%
+% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
+%
+\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
+Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
+\index{Differentialgleichung!das anharmonischen Oszillators}%
+\begin{equation}
+\biggl(
+\frac{dx}{dt}
+\biggr)^2
+=
+Ax^4+Bx^2 + C
+\label{buch:elliptisch:eqn:anhdgl}
+\end{equation}
+mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
+Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
+\begin{equation}
+x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
+\end{equation}
+ist.
+Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
+\[
+\dot{x}(t)
+=
+a\operatorname{zn}'(bt,k).
+\]
+
+Indem wir diesen Lösungsansatz in die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl}
+einsetzen, erhalten wir
+\begin{equation}
+a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
+=
+a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
++C
+\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
+\end{equation}
+Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
+Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+erfüllt.
+Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
+die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
+Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
+\[
+\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
++\frac{C}{a^2b^2}
+=
+\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
++
+\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
++
+\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
+\]
+Daraus ergeben sich die Gleichungen
+\begin{align}
+\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
+&
+\beta &= \frac{B}{b^2}
+&&\text{und}
+&
+\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
+Differentialgleichung}
+A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
+&
+B&=\beta b^2
+&&\text{und}&
+C &= \gamma a^2b^2
+\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+\end{align}
+für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
+Funktion.
+
+Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die
+Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
+$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
+wird, die immer positiv sind.
+Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
+
+In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
+es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
+Es folgt, dass die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+auch $a$ und $b$ bestimmen.
+Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
+\[
+b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
+\]
+Damit folgt dann aus der zweiten
+\[
+a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
+\]
+Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
+Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
+Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
+
+\begin{beispiel}
+Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
+Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
+dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
+werden muss.
+Die Tabelle sagt dann auch, dass
+$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
+Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
+folgt dann der Reihe nach
+\begin{align*}
+b&=\pm \sqrt{B}
+\\
+a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
+\\
+k^2
+&=
+\frac{AC}{B^2}.
+\end{align*}
+Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
+auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
+erhalten kann, nämlich
+\[
+\frac{AC}{B^2}
+=
+\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
+=
+\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Da alle Parameter im
+Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
+festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
+Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} ist
+autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
+sind nicht von der Zeit abhängig.
+Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
+Lösung der Differentialgleichung.
+Die allgmeine Lösung der
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} hat
+also die Form
+\[
+x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
+\]
+wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
+von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
+
+Die Übungsaufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:1} ist als
+Lernaufgabe konzipiert, mit der die Lösung der Differentialgleichung
+des harmonischen Oszillators beispielhaft durchgearbeitet
+werden kann.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 46659cd..466aeb7 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\label{buch:elliptisch:section:integral}}
\rhead{Elliptisches Integral}
Bei der Berechnung des Ellipsenbogens in
-Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:hyperbeln-und-ellipsen}
+Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
sind wir auf ein Integral gestossen, welches sich nicht in geschlossener
Form ausdrücken liess.
Um solche Integrale in den Griff zu bekommen, ist es nötig, sie als
@@ -172,11 +172,193 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst.
\subsubsection{Vollständige elliptische Integrale als hypergeometrische
Funktionen}
-XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
-
+%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann mit Hilfe der
+Binomialreihe umgeformt werden in eine hypergeometrische Reihe.
+Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als
+hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen.
+\begin{satz}
+\index{Satz!vollständiges elliptisches Integral als hypergeometrische Funktion}%
+\label{buch:elliptisch:satz:hyperK}
+Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die
+hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als
+\[
+K(k)
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};1;k^2
+\biggr)
+\]
+ausdrücken.
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist das vollständige elliptische Integral in der Legendre-Form
+\begin{align}
+K(k)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}}
+%\notag
+%\\
+%&
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\bigl(
+1-(k\sin\vartheta)^2
+\bigr)^{-\frac12}\,d\vartheta.
+\notag
+\intertext{Die Wurzel im letzten Integral kann mit Hilfe der binomischen
+Reihe vereinfacht werden zu}
+&=
+\sum_{n=0}^\infty
+(-1)^n k^2\binom{-\frac12}{n}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n}\vartheta
+\,d\vartheta.
+\label{buch:elliptisch:beweis:ellharm2}
+\end{align}
+Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient lässt sich nach
+\begin{align*}
+\binom{-\frac12}{n}
+&=
+\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)\cdot\ldots\cdot(-\frac12-n+1)}{n!}
+=
+(-1)^n
+\cdot
+\frac{1}{n!}
+\cdot
+\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\biggl(\frac12+n-1\biggr)
+=
+(-1)^n\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\end{align*}
+vereinfachen.
+Setzt man dies in \eqref{buch:elliptisch:beweis:ellharm2} ein, erhält
+man
+\begin{align*}
+K(k)
+&=
+\sum_{n=0}^\infty
+(-1)^n k^{2n}
+\cdot
+(-1)^n
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\cdot
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+=
+\sum_{n=0}^\infty
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+\cdot (k^2)^n.
+\end{align*}
+Es muss jetzt also nur noch das Integral von $\sin^{2n}\vartheta$
+berechnet werden.
+Mit partieller Integration kann man
+\begin{align*}
+\int \sin^m\vartheta\,d\vartheta
+&=
+\int
+\underbrace{\sin \vartheta}_{\uparrow}
+\underbrace{\sin^{m-1}\vartheta}_{\downarrow}
+\,d\vartheta
+\\
+&=
+-\cos\vartheta\sin^{m-1}\vartheta
++
+\int \cos^2\vartheta (m-1)\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+-\cos\vartheta \sin^{m-1}\vartheta
++
+(m-1)
+\int
+(1-\sin^2\vartheta)
+\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta.
+\end{align*}
+Wegen $\sin 0=0$ und
+$\cos\frac{\pi}2=0$ verschwindet der erste Term im bestimmten Integral
+und der zweite wird
+\begin{align*}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta
+\,d\vartheta
+&=
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2}\vartheta\,d\vartheta
+-
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^m \vartheta\,d\vartheta
+\\
+m
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta
+&=
+(m-1)
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta
+\\
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m} \vartheta\,d\vartheta
+&=
+\frac{m-1}{m}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{m-2} \vartheta\,d\vartheta.
+\end{align*}
+Mit dieser Rekursionsformel kann jetzt das Integral berechnet werden.
+Es folgt
+\begin{align*}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n}\vartheta\,d\vartheta
+&=
+\frac{2n-1}{2n}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n-2}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{2n-1}{2n}
+\frac{2n-3}{2n-2}
+\frac{2n-5}{2n-4}
+\cdots
+\frac{2n-(2n-1)}{2(n-1)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\sin^{2n-4}\vartheta\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{
+(n-\frac12)(n-\frac32)(n-\frac52)\cdot\ldots\cdot\frac32\cdot\frac12
+}{
+n!
+}
+\int_0^{\frac{\pi}2} 1\,d\vartheta
+\\
+&=
+\frac{(\frac12)_n}{n!}
+\cdot
+\frac{\pi}2.
+\end{align*}
+Damit wird die Reihenentwicklung für $K(k)$ jetzt zu
+\[
+K(k)
+=
+\frac{\pi}2
+\sum_{n=0}^\infty
+\frac{(\frac12)_n(\frac12)_n}{n!} \cdot \frac{(k^2)^n}{n!}
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}\frac12,\frac12\\1\end{matrix};k^2\biggr),
+\]
+dies beweist die Behauptung.
+\end{proof}
+%
+% Umfang einer Ellipse
+%
\subsubsection{Umfang einer Ellipse}
\begin{figure}
\centering
@@ -247,13 +429,354 @@ Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse,
also $E(0)=\frac{\pi}2$.
Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$.
-\subsubsection{Komplementäre Integrale}
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:satz:hyperE}
+Das vollständige elliptische Integral $E(k)$ ist
+\[
+E(k)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta
+=
+\frac{\pi}2
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-\frac12,\frac12\\1\end{matrix};
+k^2
+\biggr).
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Identität kann wie im Satz~\ref{buch:elliptisch:satz:hyperK} mit
+Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden
+werden.
+\end{proof}
+
+Die Darstellung von $E(k)$ als hypergeometrische Reihe ermöglicht
+jetzt zum Beispiel auch die Berechnung der Ableitung nach dem
+Parameter $k$ mit der Ableitungsformel für die Funktion $\mathstrut_2F_1$.
+
+
+%
+% Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+%
+\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+\label{buch:elliptisch:subsection:agm}}
+Die numerische Berechnung von elliptischer Integrale mit gewöhnlichen
+numerischen Integrationsroutinen ist nicht sehr effizient.
+Das in diesem Abschnitt vorgestellte arithmetisch-geometrische Mittel
+\index{arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+liefert einen Algorithmus mit sehr viel besserer Konvergenz.
+Die Methode lässt sich auch auf die unvollständigen elliptischen
+Integrale von Abschnitt~\eqref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}
+verallgemeinern.
+Sie ist ein Speziallfall der sogenannten Landen-Transformation,
+\index{Landen-Transformation}%
+welche ausser für die elliptischen Integrale auch für die
+Jacobischen elliptischen Funktionen formuliert werden kann und
+für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert
+(siehe dazu auch die
+Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}).
+Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen
+Funktionen für komplexe Argument zu berechnen.
+Eine weiter Anwendung ist die Berechnung einer grossen Zahl von
+Stellen der Kreiszahl $\pi$, siehe Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}.
+
+%
+% Das arithmetisch-geometrische Mittel
+%
+\subsubsection{Das arithmetisch-geometrische Mittel}
+Seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen.
+Aus $a$ und $b$ werden jetzt zwei Folgen konstruiert, deren Glieder
+durch
+\begin{align*}
+a_0&=a &&\text{und}& a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2 &&\text{arithmetisches Mittel}
+\\
+b_0&=b &&\text{und}& b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n} &&\text{geometrisches Mittel}
+\end{align*}
+definiert sind.
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+Falls $a>b>0$ ist, nimmt die Folge $(a_k)_{k\ge 0}$ monoton ab und
+$(b_k)_{k\ge 0}$ nimmt monoton zu.
+Beide konvergieren quadratisch gegen einen gemeinsamen Grenzwert.
+\end{satz}
+
+\begin{definition}
+Der gemeinsame Grenzwert von $a_n$ und $b_n$ heisst das
+{\em arithmetisch-geometrische Mittel} und wird mit
+\[
+M(a,b)
+=
+\lim_{n\to\infty} a_n
+=
+\lim_{n\to\infty} b_n
+\]
+bezeichnet.
+\index{arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+\end{definition}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist zu zeigen, dass die Folgen monoton sind.
+Dies folgt sofort aus der Definition der Folgen:
+\begin{align*}
+a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}{2} \ge \frac{a_n+a_n}{2} = a_n
+\\
+b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n} \ge \sqrt{b_nb_n} = b_n.
+\end{align*}
+Die Konvergenz folgt aus
+\[
+a_{n+1}-b_{n+1}
+\le
+a_{n+1}-b_n
+=
+\frac{a_n+b_n}{2}-b_n
+=
+\frac{a_n-b_n}2
+\le
+\frac{a-b}{2^{n+1}}.
+\]
+Dies zeigt jedoch nur, dass die Konvergenz mindestens ein
+Bit in jeder Iteration ist.
+Aus
+\[
+a_{n+1}^2 - b_{n+1}^2
+=
+\frac{(a_n+b_n)^2}{4} - a_nb_n
+=
+\frac{a_n^2 -2a_nb_n+b_n^2}{4}
+=
+\frac{(a_n-b_n)^2}{4}
+\]
+folgt
+\[
+a_{n+1}-b_{n+1}
+=
+\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_{n+1}+b_{n+1})}.
+\]
+Da der Nenner gegen $2M(a,b)$ konvergiert, wird der Fehler für in
+jeder Iteration quadriert, die Zahl korrekter Stellen verdoppelt sich
+in jeder Iteration, es liegt also quadratische Konvergenz vor.
+\end{proof}
-\subsubsection{Ableitung}
-XXX Ableitung \\
-XXX Stammfunktion \\
+%
+% Transformation des elliptischen Integrals
+%
+\subsubsection{Transformation des elliptischen Integrals}
+In diesem Abschnitt soll das Integral
+\[
+I(a,b)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2t}}
+\]
+berechnet werden.
+Es ist klar, dass
+\[
+I(sa,sb)
+=
+\frac{1}{s} I(a,b).
+\]
-\subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
+Gauss hat gefunden, dass die Substitution
+\begin{equation}
+\sin t
+=
+\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin^2 t_1}
+\label{buch:elliptisch:agm:subst}
+\end{equation}
+zu
+\begin{equation}
+\frac{dt}{\sqrt{a^2_{\phantom{1}}\cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}}
+=
+\frac{dt_1}{\sqrt{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}}
+\label{buch:elliptisch:agm:dtdt1}
+\end{equation}
+führt.
+Um dies nachzuprüfen, muss man zunächst
+\eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+nach $t_1$ ableiten, was
+\[
+\frac{d}{dt_1}\sin t
+=
+\cos t
+\frac{dt}{dt_1}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\biggl(
+\frac{d}{dt_1}\sin t
+\biggr)^2
+=
+(1-\sin^2t)\biggl(\frac{dt}{dt_1}\biggr)^2
+\]
+ergibt.
+Die Ableitung von $t$ nach $t_1$ kann auch aus
+\eqref{buch:elliptisch:agm:dtdt1}
+ableiten, es ist
+\[
+\biggl(
+\frac{dt}{dt_1}
+\biggr)^2
+=
+\frac{a^2_{\phantom{1}} \cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\]
+Man muss also nachprüfen, dass
+\begin{equation}
+\frac{1}{1-\sin^2 t}
+\frac{d}{dt_1}\sin t
+=
+\frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\label{buch:elliptisch:agm:deq}
+\end{equation}
+Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\!\sqrt{ab}$ setzen.
+Ausserdem muss man $\cos^2 t$ durch $1-\sin^2t$ ersetzen und
+$\sin t$ durch \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}.
+Auch $\cos^2 t_1$ muss man durch $1-\sin^2t_1$ ersetzt werden.
+Dann kann man nach einer langwierigen Rechnung, die sich am leichtesten
+mit einem Computer-Algebra-System ausführen lässt finden, dass
+\eqref{buch:elliptisch:agm:deq}
+tatsächlich korrekt ist.
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Gauss-Integrale}%
+\label{buch:elliptisch:agm:integrale}
+Für $a_1=(a+b)/2$ und $b_1=\sqrt{ab}$ gilt
+\[
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt_1}{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\]
+\end{satz}
+
+Der Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:integrale} zeigt, dass die Ersetzung
+von $a$ und $b$ durch $a_1$ und $b_1$ das Integral $I(a,b)$ nicht ändert.
+Dies gilt natürlich für alle Glieder der Folge zur Bestimmung des
+arithmetisch-geometrischen Mittels.
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Iab@$I(a,b)$ und arithmetisch geometrisches Mittel}%
+Für $a\ge b>0$ gilt
+\begin{equation}
+I(a,b)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2t}
+=
+\frac{\pi}{2M(a,b)}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst folgt aus Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:integrale}, dass
+\[
+I(a,b)
+=
+I(a_1,b_1)
+=
+\dots
+=
+I(a_n,b_n).
+\]
+Ausserdem ist $a_n\to M(a,b)$ und $b_n\to M(a,b)$,
+damit wird
+\[
+I(a,b)
+=
+\frac{1}{M(a,b)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}}
+=
+\frac{\pi}{2M(a,b)}.
+\qedhere
+\]
+\end{proof}
+
+%
+% Berechnung des elliptischen Integrals
+%
+\subsubsection{Berechnung des elliptischen Integrals}
+Das elliptische Integral erster Art hat eine Form, die dem Integral
+$I(a,b)$ bereits sehr ähnlich ist.
+Im die Verbindung herzustellen, berechnen wir
+\begin{align*}
+I(a,b)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}}
+\\
+&=
+\frac{1}{a}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{1-\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \sin^2 t}}
+\\
+&=
+\frac{1}{a}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2 t}}
+=
+K(k)
+\qquad\text{mit}\qquad
+k'=\frac{b^2}{a^2},\;
+k=\sqrt{1-k^{\prime 2}}
+\end{align*}
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!vollständige elliptische Integrale und arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+\label{buch:elliptisch:agm:satz:Ek}
+Für $0<k\le 1$ ist
+\[
+K(k) = I(1,\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}
+\]
+\end{satz}
+
+%
+% Numerisches Beispiel
+%
+\subsubsection{Numerisches Beispiel}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n& a_n & b_n & \pi/2a_n \mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+0 & 1.0000000000000000000 & 0.7071067811865475243 & 1.5707963267948965579 \\
+1 & 0.8535533905932737621 & 0.8408964152537145430 & 1.\underline{8}403023690212201581 \\
+2 & 0.8472249029234941526 & 0.8472012667468914603 & 1.\underline{8540}488143993356315 \\
+3 & 0.8472130848351928064 & 0.8472130847527653666 & 1.\underline{854074677}2111781089 \\
+4 & 0.8472130847939790865 & 0.8472130847939790865 & 1.\underline{854074677301371}8463 \\
+\infty& & & 1.8540746773013719184%
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Die Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels für
+$a=1$ und $b=\sqrt{2}/2$ zeigt die sehr rasche Konvergenz.
+\label{buch:elliptisch:agm:numerisch}}
+\end{table}
+In diesem Abschnitt soll als Zahlenbeispiel $E(k)$ für $k=\sqrt{2}/2$
+berechnet werden.
+In diesem speziellen Fall ist $k'=k$.
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:numerisch} zeigt die sehr rasche
+Konvergenz der Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels
+von $1$ und $\sqrt{2}/2$.
+Mit Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} folgt jetzt
+\[
+K(\!\sqrt{2}/2)
+=
+\frac{\pi}{2M(1,\!\sqrt{2}/2)}
+=
+1.854074677301372.
+\]
+Die Berechnung hat nur 4 Mittelwerte, 4 Produkte, 4 Quadratwurzeln und
+eine Division erfordert.
+
+%
+% Unvollständige elliptische Integrale
+%
+\subsection{Unvollständige elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}}
Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein
festes Intervall definiert.
Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die
@@ -318,12 +841,18 @@ Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}
zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene
Werte des Parameters.
+%
+% Symmetrieeigenschaften
+%
\subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale
sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$.
Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher
ungeraden Funktionen von $x$.
+%
+% Elliptische Integrale als komplexe Funktionen
+%
\subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen}
Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$
in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren.
@@ -334,10 +863,14 @@ Die Faktoren, die in den Integranden der unvollständigen elliptischen
Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und
$\pm 1/\sqrt{n}$
-XXX Additionstheoreme \\
-XXX Parameterkonventionen \\
+% XXX Additionstheoreme \\
+% XXX Parameterkonventionen \\
+%
+% Wertebereich
+%
\subsubsection{Wertebereich}
+\label{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen
haben nur positive relle Werte.
Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art
@@ -427,6 +960,9 @@ l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}}
\end{equation}
ausgewertet werden.
+%
+% Komplementärmodul
+%
\subsubsection{Komplementärmodul}
Im vorangegangen Abschnitt wurde gezeigt, dass der Wertebereicht des
unvollständigen elliptischen Integrals der ersten Art als komplexe
@@ -447,7 +983,7 @@ werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist.
\begin{definition}
Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst
-$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
+$k' = \sqrt{1-k^2}$ der {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$.
\end{definition}
@@ -530,6 +1066,9 @@ in das blaue.
\label{buch:elliptisch:fig:rechteck}}
\end{figure}
+%
+% Reelle Argument > 1/k
+%
\subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$}
Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des
unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann
@@ -576,7 +1115,141 @@ F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr)
für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte
fest.
-\subsection{Potenzreihe}
-XXX Potenzreihen \\
-XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
-XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation
+%
+% AGM und Berechnung von F(x,k)
+%
+\subsubsection{Berechnung von $F(x,k)$ mit dem arithmetisch-geometrischen
+Mittel\label{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}}
+Wie das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann auch das
+unvollständige elliptische Integral
+\begin{align*}
+F(x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^{\prime 2}\xi^2)}}
+=
+\int_0^{\varphi}
+\frac{dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}
+&&\text{mit $x=\sin\varphi$}
+\\
+&=
+a
+\int_0^{\varphi} \frac{dt}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+&&\text{mit $k=b/a$}
+\end{align*}
+mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet werden.
+Dazu muss die Substitution
+\eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+verwendet werden, um auch den Winkel $\varphi_1$ zu berechnen.
+Zunächst wird \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$
+aufgelöst.
+Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man mit der Abkürzung
+$x=\sin t$ %und $x_1=\sin t_1$
+die quadratische Gleichung
+\[
+(a-b)x x_1^2
+-
+2ax_1
++
+(a+b)x
+=
+0,
+\]
+mit der Lösung
+\begin{equation}
+x_1
+=
+\frac{a-\sqrt{a^2-(a^2-b^2)x^2}}{(a-b)x}.
+\label{buch:elliptisch:unvollstagm:xrek}
+\end{equation}
+Der Algorithmus zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels
+muss daher verallgemeinert werden zu
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2, &\qquad a_0 &= a
+\\
+b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n}, & b_0 &= b
+\\
+x_{n+1} &= \frac{a_n-\sqrt{a_n^2-(a_n^2-b_n^2)x_n^2}}{(a_n-b_n)x_n}, & x_0 &= x
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\label{buch:elliptisch:unvollstagm:rek}
+\end{equation}
+Die Folge $x_n$ konvergiert gegen einen Wert $x_{\infty} = \lim_{n\to\infty} x_n$.
+Der Wert des unvollständigen elliptischen Integrals ist dann der Grenzwert
+\[
+F(x,k)
+=
+\lim_{n\to\infty}
+\frac{\arcsin x_n}{M(a_n,b_n)}
+=
+\frac{\arcsin x_{\infty}}{M(1,\sqrt{1-k^2})}.
+\]
+
+In dieser Form ist die Berechnung allerdings nicht praktisch durchführbar.
+Das Problem ist, dass die Differenz $a_n-b_n$, die in
+\eqref{buch:elliptisch:unvollstagm:rek}
+im Nenner vorkommt, sehr schnell gegen Null geht.
+Ausserdem ist die Quadratwurzel im Zähler fast gleich gross wie
+$a_n$, was zu Auslöschung und damit ungenauen Resultaten führt.
+\label{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
+
+Eine Möglichkeit, das Problem zu entschärfen, ist, die Rekursionsformel
+nach $\varepsilon = a-b$ zu entwickeln.
+Mit $a+b=2a+\varepsilon$ kann man $b$ aus der Formel elimineren und erhält
+mit Hilfe der binomischen Reihe
+\begin{align*}
+x_1
+&=
+\frac{a}{x\varepsilon}
+\left(1-\sqrt{1-\varepsilon(2a-\varepsilon)x^2/a^2}\right)
+\\
+&=
+\frac{a}{x\varepsilon}
+\biggl(
+1-\sum_{k=0}^\infty
+(-1)^k
+\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^k(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k}}{a^{2k}}
+\biggr)
+\\
+&=
+\sum_{k=1}^\infty
+(-1)^{k-1}
+\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^{k-1}(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k-1}}{a^{2k-1}}
+\\
+&=
+\frac{\frac12}{1!}(2a-\varepsilon)\frac{x}{a}
+-
+\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)^2\frac{x^3}{a^3}
++
+\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^3\frac{x^5}{a^5}
+-
+\dots
+\\
+&=
+x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr)
+\biggl(
+1
+-
+\frac{\frac12-1}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2}
++
+\frac{(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^2\frac{x^4}{a^4}
+-
+\dots
+\biggr)
+\\
+&=
+x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr)
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-\frac12,1\\2\end{matrix};-\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2}
+\biggr).
+\end{align*}
+Diese Form ist wesentlich besser, aber leider kann es bei der numerischen
+Rechnung passieren, dass $\varepsilon < 0$ wird.
+
+%\subsection{Potenzreihe}
+%XXX Potenzreihen \\
+%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+%XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
new file mode 100644
index 0000000..49e6686
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
@@ -0,0 +1,1076 @@
+%
+% elltrigo.tex
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+%
+% elliptische Funktionen als Trigonometrie
+%
+\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
+\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der
+elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
+auf einer Ellipse.
+\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
+\end{figure}
+% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
+% https://youtu.be/DCXItCajCyo
+Die Ellipse wurde in Abschnitt~\ref{buch:geometrie:subsection:kegelschnitte}
+als Kegelschnitt erkannt und auf verschiedene Arten parametrisiert.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Parametrisierung
+eines Kreises mit trigonometrischen Funktionen verallgemeinern kann
+auf eine Parametrisierung einer Ellipse mit den drei
+Funktionen $\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$,
+die ähnliche Eigenschaften haben wie die trigonometrischen Funktionen.
+
+Die nachstehende Darstellung ist stark inspiriert von William Schwalms
+sehr zielorientierten Einführung
+\cite{buch:schwalm}, welche auch als Youtube-Videovorlesung
+\cite{buch:schwalm-youtube} zur Verfügung steht.
+
+%
+% Geometrie einer Ellipse
+%
+\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
+Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
+\index{Ellipse}%
+der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
+den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
+\index{Brennpunkt}%
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
+mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
+die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
+Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
+Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
+Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
+haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
+Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
+also $a$ sein.
+Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
+\[
+b^2+e^2=a^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+e^2 = a^2-b^2
+\]
+sein muss.
+Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
+Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität}
+der Ellipse.
+
+%
+% Die Ellipsengleichung
+%
+\subsubsection{Ellipsengleichung}
+Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\overline{PF_1}^2
+&=
+y^2 + (x+e)^2
+\\
+\overline{PF_2}^2
+&=
+y^2 + (x-e)^2
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
+\end{equation}
+von den Brennpunkten, für die
+\begin{equation}
+\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
+=
+2a
+\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+\end{equation}
+gelten muss.
+Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
+\[
+\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
+\]
+erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
+erfüllt.
+Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
+$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
+Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
+\[
+l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
+\]
+Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
+auf die rechte Seite und quadriert.
+Man muss also verifizieren, dass
+\[
+(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
+\]
+In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
+\[
+y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
+\]
+substituieren.
+Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
+Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
+
+%
+% Normierung
+%
+\subsubsection{Normierung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse
+von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
+Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert,
+kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
+Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
+
+Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
+weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
+mindestens eine mit Halbachse $1$.
+Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
+Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
+Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
+In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
+zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
+
+Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
+$\varepsilon$ auch mit
+\[
+k
+=
+\varepsilon
+=
+\frac{e}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
+=
+\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
+\]
+die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
+Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
+findet man
+\[
+k^2a^2 = a^2-1
+\quad\Rightarrow\quad
+1=a^2(k^2-1)
+\quad\Rightarrow\quad
+a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
+\]
+
+Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
+\[
+\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
+\qquad\text{oder}\qquad
+x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
+\]
+
+%
+% Definition der elliptischen Funktionen
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
+\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
+an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
+\end{figure}
+\subsubsection{Definition der Jacobischen elliptischen Funktionen}
+Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
+können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
+Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
+Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
+Radiusvektor zum Punkt $P$
+darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
+ausnützen möchten.
+Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
+noch unbestimmte Argument $u$.
+Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
+
+Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch
+vom Modulus ab.
+Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
+wir das $k$-Argument weg.
+
+Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
+Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
+des Kreises.
+Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
+die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
+
+In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für
+die Funktionen
+\[
+\begin{aligned}
+&\text{sinus amplitudinis:}&
+{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
+&\text{cosinus amplitudinis:}&
+{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
+&\text{delta amplitudinis:}&
+{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
+\end{aligned}
+\]
+die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
+dargestellt sind.
+Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
+\[
+\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ist.
+Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
+berechnen, also gilt
+\begin{equation}
+r^2
+=
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+x^2 + y^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
+\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+\end{equation}
+Ersetzt man
+$
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
+$, ergibt sich
+\[
+a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
++
+\operatorname{sn}(u,k)^2
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+\operatorname{dn}(u,k)^2
++
+\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
+=
+1,
+\]
+woraus sich die Identität
+\[
+\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
+\]
+ergibt.
+Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
+die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
+\[
+a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
+=
+a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
++1-\operatorname{cn}(u,k)^2
+=
+(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
++1.
+\]
+Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
+\begin{align*}
+\operatorname{dn}(u,k)^2
+-
+k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
+&=
+\frac{1}{a^2}
+=
+\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
+=
+1-k^2 =: k^{\prime 2}.
+\end{align*}
+Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}^2(u,k)
++
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+1
+\\
+\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
+&=
+1
+\\
+\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+k^{\prime 2}.
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+\end{equation}
+zusammen.
+So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
+ist es mit
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
+jede anderen auszudrücken.
+Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
+zusammengestellt.
+
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
+\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
+\hline
+&\operatorname{sn}(u,k)
+&\operatorname{cn}(u,k)
+&\operatorname{dn}(u,k)\\
+\hline
+\operatorname{sn}(u,k)
+&\operatorname{sn}(u,k)
+&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
+&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
+\\
+\operatorname{cn}(u,k)
+&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
+&\operatorname{cn}(u,k)
+&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k)
+&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
+&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
+&\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
+unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+durch jede andere ausdrücken.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
+\end{table}
+
+%
+% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Ableitung}
+Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich
+für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
+Beziehungen
+\[
+\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi
+\]
+erfüllen.
+So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
+durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
+Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
+sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
+
+Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
+Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
+Ableitungsformeln ergeben.
+Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
+ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
+$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
+Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
+\begin{align*}
+\frac{dy}{d\varphi}
+&=
+\cos\varphi
+=
+\frac{1}{a} x
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+\\
+\frac{dx}{d\varphi}
+&=
+-a\sin\varphi
+=
+-a y
+=
+-a\operatorname{sn}(u,k).
+\end{align*}
+Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
+elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
+\begin{align*}
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
+=
+\cos\varphi
+=
+\frac{x}{a}
+=
+\operatorname{cn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
+&=
+\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
+=
+-\sin\varphi
+=
+-\operatorname{sn}(u,k)
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
+\\
+\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
+&=
+\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
+=
+\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
+%\\
+%&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
++
+\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
+%\\
+%&
+=
+\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
++
+\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
+$}
+\\
+&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+\frac{x}{ar}(-ay)
++
+\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
+%\rlap{$\displaystyle
+=
+\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r}
+%$}
+%\\
+%&
+=
+-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r}
+$}
+\\
+&=
+-\frac{a^2-1}{ar}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+%\\
+%&
+\rlap{$\displaystyle\mathstrut
+=
+-k^2
+\frac{a}{r}
+\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
+$}
+\\
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
+\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\frac{d\varphi}{du}.
+\end{align*}
+Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
+wählt, dass
+\[
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{r}{a}.
+\]
+Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
+
+\begin{satz}
+\index{Satz!Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen}%
+\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen}
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
+&=
+\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
+&=
+-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+\\
+\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
+&=
+-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k).
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+%
+% Der Grenzfall $k=1$
+%
+\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
+\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen
+für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
+\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
+\end{figure}
+Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
+Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+\[
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+-
+k^2
+\operatorname{dn}^2(u,k)
+=
+k^{\prime2}
+=
+0
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\operatorname{cn}^2(u,1)
+=
+\operatorname{dn}^2(u,1),
+\]
+die beiden Funktionen
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+und
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+fallen also zusammen.
+Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
+\begin{align*}
+\operatorname{sn}'(u,1)
+&=
+\operatorname{cn}(u,1)
+\operatorname{dn}(u,1)
+=
+\operatorname{cn}^2(u,1)
+=
+1-\operatorname{sn}^2(u,1)
+&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
+\\
+\operatorname{cn}'(u,1)
+&=
+-
+\operatorname{sn}(u,1)
+\operatorname{dn}(u,1)
+=
+-
+\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
+&&\Rightarrow&
+\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
+\end{align*}
+Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
+die Lösung
+\[
+\frac{y'}{1-y^2}
+=
+1
+\quad\Rightarrow\quad
+\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{artanh}(y) = u
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
+\]
+Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
+\begin{align*}
+(\log \operatorname{cn}(u,1))'
+&=
+\tanh u
+&&\Rightarrow&
+\log\operatorname{cn}(u,1)
+&=
+-\int\tanh u\,du
+=
+-\log\cosh u
+\\
+&
+&&\Rightarrow&
+\operatorname{cn}(u,1)
+&=
+\frac{1}{\cosh u}
+=
+\operatorname{sech}u.
+\end{align*}
+Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
+dargestellt.
+
+%
+% Das Argument u
+%
+\subsubsection{Das Argument $u$}
+Die Gleichung
+\begin{equation}
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\operatorname{dn}(u,k)
+\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
+\end{equation}
+ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
+die geometrische Bedeutung zu klären.
+Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
+Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
+ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
+Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
+\begin{equation}
+\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
+\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
+\end{equation}
+
+Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
+dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
+$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
+Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
+\[
+\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
+=
+\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
+\]
+Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
+werden, sie ist
+\[
+\frac{d\vartheta}{d\varphi}
+=
+\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
+=
+\frac{1}{a}\cdot
+\frac{a^2}{r^2}
+=
+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
+\]
+Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
+Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
+\[
+\frac{d\vartheta}{du}
+=
+\frac{d\vartheta}{d\varphi}
+\cdot
+\frac{d\varphi}{du}
+=
+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
+\cdot
+\operatorname{dn}(u,k)
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot
+\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+=
+\frac{1}{a}
+\cdot\frac{a}{r}
+=
+\frac{1}{r},
+\]
+wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
+verwendet haben.
+
+In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
+von $u$ nach $t$ berechnen als
+\[
+\frac{du}{dt}
+=
+\frac{du}{d\vartheta}
+\frac{d\vartheta}{dt}
+=
+r
+\dot{\vartheta}.
+\]
+Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
+das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
+von $O$.
+$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
+$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
+Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
+\[
+u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
+\]
+Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
+auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
+$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
+
+%
+% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
+\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
+$\operatorname{sn}(u,k)$,
+$\operatorname{cn}(u,k)$
+udn
+$\operatorname{dn}(u,k)$
+geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
+des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
+\end{figure}
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
+\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
+\hline
+\cdot &
+\frac{1}{1} &
+\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
+\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
+\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\[5pt]
+\hline
+1&
+&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
+\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
+\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
+\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{sn}(u,k) &
+\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
+&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{cn}(u,k) &
+\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
+\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\
+\operatorname{dn}(u,k) &
+\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
+\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
+\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
+%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\\[5pt]
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
+Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen.
+Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
+Jacobischen elliptischen Funktionen.
+\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
+\end{table}
+
+%
+% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+%
+\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
+Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
+lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
+die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
+Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
+$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
+$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
+die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
+Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
+Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
+ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
+der Nenner durch den Buchstaben q.
+Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
+die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
+Funktionen.
+Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
+man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
+
+In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
+geometrisch interpretiert.
+Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
+mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
+Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
+Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
+Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
+
+Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
+andere auszudrücken.
+Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie
+übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
+nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
+ausgedrückt werden.
+Zunächst ist
+\[
+\operatorname{sc}(u,k)
+=
+\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\]
+nach Definition.
+Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
+$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
+Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
+\begin{equation}
+\operatorname{sc}(u,k)
+=
+\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
+\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
+\end{equation}
+Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
+$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
+Aus der Definition und der
+dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
+erhält man
+\begin{align*}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+&=
+\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
+=
+\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
+\\
+\Rightarrow
+\qquad
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
++
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+&=
+\frac{
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+}{
+1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+}
+\end{align*}
+Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
+\[
+1-\operatorname{cn}^2(u,k)
+=
+\frac{
+1
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+-
+k^{\prime 2}
+\operatorname{cd}^2(u,k)
+}{
+1
+-
+k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
+}
+=
+\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
+\]
+Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
+\begin{align*}
+\operatorname{sc}(u,k)
+&=
+\frac{
+\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
+\cdot
+\frac{
+\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{
+k'
+\operatorname{cd}(u,k)
+}
+=
+\frac{
+\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
+}{
+k'
+\operatorname{cd}(u,k)
+}.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
+Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
+können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
+abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
+Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
+Sie ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{du}
+\operatorname{sc}(u,k)
+&=
+\frac{d}{du}
+\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+=
+\frac{
+\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
+-
+\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+\\
+&=
+\frac{
+\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
++
+\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
+}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+=
+\frac{(
+\operatorname{sn}^2(u,k)
++
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+)\operatorname{dn}(u,k)}{
+\operatorname{cn}^2(u,k)
+}
+\\
+&=
+\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\cdot
+\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
+=
+\operatorname{nc}(u,k)
+\operatorname{dc}(u,k).
+\end{align*}
+Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
+der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
+beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
+die Funktion, die abgeleitet wird.
+
+Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
+\begin{equation}
+%\small
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
+&&\qquad&
+\operatorname{ns}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
+\\
+\operatorname{cn}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
+&&&
+\operatorname{nc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
+\\
+\operatorname{dn}'(u,k)
+&=
+-k^2
+\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
+&&&
+\operatorname{nd}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+k^2
+\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
+\\
+\operatorname{sc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
+&&&
+\operatorname{cs}'(u,k)
+&=
+-
+\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
+\\
+\operatorname{cd}'(u,k)
+&=
+-k^{\prime2}
+\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
+&&&
+\operatorname{dc}'(u,k)
+&=
+\phantom{-}
+k^{\prime2}
+\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
+\\
+\operatorname{ds}'(d,k)
+&=
+-
+\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
+&&&
+\operatorname{sd}'(d,k)
+&=
+\phantom{-}
+\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
+\end{equation}
+finden.
+Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
+zweiten Buchstaben haben.
+
+\subsubsection{Weitere Beziehungen}
+Für die Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich eine grosse
+Zahl weiterer Eigenschaften und Identitäten beweisen.
+Zum Beispiel gibt es Aditionstheoreme, die im Grenzfall $k\to 0$ zu
+den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen werden.
+\index{Additionstheorem}%
+Ebenso kann man weitere algebraische Identitäten finden.
+So lässt sich zum Beispiel die einzige reelle Nullstelle von $x^5+x=w$
+mit Jacobischen elliptischen Funktionen darstellen, während es
+nicht möglich ist, diese Lösung als Wurzelausdruck zu schreiben.
+
+Die Jacobischen elliptischen Funktionen lassen sich statt auf dem
+hier gewählten trigonometrischen Weg auch mit Hilfe der Jacobischen
+Theta-Funktionen definieren, die Lösungen einer Wärmeleitungsgleichung
+\index{Theta-Funktionen}%
+\index{Wärmeleitungs-Gleichung}%
+mit geeigneten Randbedingungen sind.
+Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, ziemlich direkt zu
+Reihen- und Produktentwicklungen für die Funktionen zu führen.
+Auch die Additionstheorem ergeben sich vergleichsweise leicht.
+Dieser Zugang zu den Jacobischen elliptischen Funktionen wird in der
+Standardreferenz~\cite{buch:ellfun-applications} gewählt.
+
+Bei anderen speziellen Funktionen waren Reihenentwicklungen ein
+wichtiges Hilfsmittel zu deren numerischer Berechnung.
+Bei den Jacobischen elliptischen Funktionen ist diese Methode
+nicht zielführend.
+Im Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}
+wird gezeigt, dass Jacobische elliptische Funktionen gewisse nichtlineare
+Differentialgleichungen zu lösen ermöglichen.
+Dies zeigt auch, dass Jacobischen elliptischen Funktionen
+Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind, die in
+Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} mit dem
+arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet wurden.
+Die dort angetroffenen numerischen Schwierigkeiten treten bei der
+Berechnung der Umkehrfunktion jedoch nicht auf.
+
+Die grundlegende Mechanik dieser Berechnungsmethode wird auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:jacobi:agm} dargestellt und
+und in den Übungsaufgaben
+\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} bis \ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}
+etwas näher untersucht wird.
+
+Aus der Theorie das arithmetisch-geometrischen Mittels lässt sich
+die sogenannte Landen-Trans\-formation herleiten.
+\index{Landen-Transformation}%
+Sie stellt eine Verbindung zwischen
+den Werten der elliptischen Funktionen zu verschiedenen Moduli $k$ her.
+Sie ist die Basis aller effizienten Berechnungsmethoden.
+
+
+% algebraische Beziehungen \\
+% Additionstheoreme \\
+% Perioden
+% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf
new file mode 100644
index 0000000..13a2739
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex
new file mode 100644
index 0000000..a3ae425
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% KK.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{10}
+\def\dy{3}
+\input{KKpath.tex}
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- (10.3,0) coordinate[label={$k$}];
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,{2*\dy+0.3}) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\node at (3,{1.2*\dy}) {$\displaystyle y = \frac{K(k)}{K(\!\sqrt{1-k^2})}$};
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle (10,{2*\dy});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \KKpath;
+\end{scope}
+
+\draw[line width=0.2pt] (10,0) -- (10,{2*\dy});
+
+\foreach \y in {0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}{
+ \draw (-0.05,{\y*\dy}) -- (0.05,{\y*\dy});
+ \node at (0,{\y*\dy}) [left] {$\y\mathstrut$};
+}
+
+\foreach \k in {1,...,9}{
+ \draw ({\k*\dx/10},-0.05) -- ({\k*\dx/10},0.05);
+ \node at ({\k*\dx/10},0) [below] {$0.\k\mathstrut$};
+}
+\node at (0,0) [below] {$0\mathstrut$};
+\node at (10,0) [below] {$1\mathstrut$};
+
+\draw[color=blue] ({\knull*\dx},0) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy});
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+ \draw[color=blue]
+ ({\knull*\dx-0.05},{\y*\KKnull*\dy/5})
+ --
+ ({\knull*\dx+0.05},{\y*\KKnull*\dy/5});
+}
+\draw[color=black,line width=0.1pt] (0,{\KKnull*\dy}) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy});
+\draw[color=black,line width=0.1pt] (0,{\KKnull*\dy/5}) -- ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5});
+\node at ({0.6*\dx},{\KKnull*\dy}) [above] {$y=1.7732$};
+\node at ({0.6*\dx},{\KKnull*\dy/5}) [above] {$y=0.3546$};
+\draw[color=blue] ({\kone*\dx},0) -- ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5});
+\draw[color=blue] ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy/5});
+\fill[color=blue] ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}) circle[radius=0.05];
+\fill[color=blue] ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy/5}) circle[radius=0.05];
+\fill[color=blue] ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy}) circle[radius=0.05];
+\node[color=blue] at ({\knull*\dx},0) [left,rotate=90] {$k=0.97\mathstrut$};
+\node[color=blue] at ({\kone*\dx},0) [left,rotate=90] {$k_1=0.0477$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp
new file mode 100644
index 0000000..1dcca9e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp
@@ -0,0 +1,177 @@
+/*
+ * KN.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <sstream>
+#include <getopt.h>
+#include <vector>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+#include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
+
+namespace KN {
+
+bool debug = false;
+
+static struct option longopts[] {
+{ "debug", no_argument, NULL, 'd' },
+{ "N", required_argument, NULL, 'N' },
+{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' },
+{ "min", required_argument, NULL, 'm' },
+{ NULL, 0, NULL, 0 }
+};
+
+double KprimeK(double k) {
+ double kprime = sqrt(1-k*k);
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: k = %f, k' = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, kprime);
+ double v
+ =
+ gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE)
+ /
+ gsl_sf_ellint_Kcomp(kprime, GSL_PREC_DOUBLE)
+ ;
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: KprimeK(k = %f) = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, v);
+ return v;
+}
+
+static const int L = 100000000;
+static const double h = 1. / L;
+
+double Kd(double k) {
+ double m = 0;
+ if (k < h) {
+ m = 2 * (KprimeK(k) - KprimeK(k / 2)) / k;
+ } else if (k > 1-h) {
+ m = 2 * (KprimeK((1 + k) / 2) - KprimeK(k)) / (1 - k);
+
+ } else {
+ m = L * (KprimeK(k + h) - KprimeK(k));
+ }
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: Kd(%f) = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, m);
+ return m;
+}
+
+double k1(double y) {
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: Newton for y = %f\n", __FILE__, __LINE__, y);
+ double kn = 0.5;
+ double delta = 1;
+ int n = 0;
+ while ((fabs(delta) > 0.000001) && (n < 10)) {
+ double yn = KprimeK(kn);
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: k%d = %f, y%d = %f\n", __FILE__, __LINE__, n, kn, n, yn);
+ delta = (yn - y) / Kd(kn);
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: delta = %f\n", __FILE__, __LINE__, delta);
+ double kneu = kn - delta;
+ if (kneu <= 0) {
+ kneu = kn / 4;
+ }
+ if (kneu >= 1) {
+ kneu = (3 + kn) / 4;
+ }
+ kn = kneu;
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: kneu = %f, kn = %f\n", __FILE__, __LINE__, kneu, kn);
+ n++;
+ }
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: Newton result: k = %f\n", __FILE__, __LINE__, kn);
+ return kn;
+}
+
+double k1(int N, double k) {
+ return k1(KprimeK(k) / N);
+}
+
+/**
+ * \brief Main function for the slcl program
+ */
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ int longindex;
+ int c;
+ int N = 5;
+ double kmin = 0.01;
+ std::string outfilename;
+ while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "d:N:o:m:",
+ longopts, &longindex)))
+ switch (c) {
+ case 'd':
+ debug = true;
+ break;
+ case 'N':
+ N = std::stoi(optarg);
+ break;
+ case 'o':
+ outfilename = std::string(optarg);
+ break;
+ case 'm':
+ kmin = std::stod(optarg);
+ break;
+ }
+
+ double d = 0.01;
+ if (outfilename.size() > 0) {
+ FILE *fn = fopen(outfilename.c_str(), "w");
+ fprintf(fn, "\\def\\KKpath{ ");
+ double k = d;
+ fprintf(fn, " (0,0)");
+ double k0 = k/16;
+ while (k0 < k) {
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", k0, KprimeK(k0));
+ k0 *= 2;
+ }
+ while (k < 1-0.5*d) {
+ fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", k, KprimeK(k));
+ k += d;
+ }
+ fprintf(fn, "}\n");
+
+ k0 = 0.97;
+ fprintf(fn, "\\def\\knull{%.4f}\n", k0);
+ double KK = KprimeK(k0);
+ fprintf(fn, "\\def\\KKnull{%.4f}\n", KK);
+ fprintf(fn, "\\def\\kone{%.4f}\n", k1(N, k0));
+
+ fclose(fn);
+ return EXIT_SUCCESS;
+ }
+
+ for (double k = kmin; k < (1 - d/2); k += d) {
+ if (debug)
+ printf("%s:%d: k = %f\n", __FILE__, __LINE__, k);
+ double y = KprimeK(k);
+ double k0 = k1(y);
+ double kone = k1(N, k0);
+ printf("g(%4.2f) = %10.6f,", k, y);
+ printf(" g'(%.2f) = %10.6f,", k, Kd(k));
+ printf(" g^{-1} = %10.6f,", k0);
+ printf(" k1 = %10.6f,", kone);
+ printf(" g(k1) = %10.6f\n", KprimeK(kone));
+ }
+
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
+
+} // namespace KN
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ try {
+ return KN::main(argc, argv);
+ } catch (const std::exception& e) {
+ std::cerr << "terminated by exception: " << e.what();
+ std::cerr << std::endl;
+ } catch (...) {
+ std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl;
+ }
+ return EXIT_FAILURE;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..fac4fbc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+#
+all: KK.pdf
+
+KN: KN.cpp
+ g++ -O -Wall -std=c++11 KN.cpp -o KN `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
+KKpath.tex: KN
+ ./KN --outfile KKpath.tex
+
+KK.pdf: KK.tex KKpath.tex
+ pdflatex KK.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index 68322b6..7636e65 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -5,7 +5,8 @@
#
all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \
ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \
- sncnlimit.pdf
+ sncnlimit.pdf slcl.pdf torusschnitt.pdf kegelpara.pdf lemnispara.pdf \
+ ellpolnul.pdf ellall.pdf ellselection.pdf
lemniskate.pdf: lemniskate.tex
pdflatex lemniskate.tex
@@ -71,3 +72,59 @@ jacobi12.pdf: jacobi12.tex
sncnlimit.pdf: sncnlimit.tex
pdflatex sncnlimit.tex
+slcl: slcl.cpp
+ g++ -O -Wall -std=c++11 slcl.cpp -o slcl `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
+slcldata.tex: slcl
+ ./slcl --outfile=slcldata.tex --a=0 --b=13.4 --steps=200
+slcl.pdf: slcl.tex slcldata.tex
+ pdflatex slcl.tex
+
+KEGELSIZE = -W256 -H256
+KEGELSIZE = -W128 -H128
+KEGELSIZE = -W1080 -H1080
+kegelpara.png: kegelpara.pov
+ povray +A0.1 $(KEGELSIZE) -Okegelpara.png kegelpara.pov
+
+kegelpara.jpg: kegelpara.png Makefile
+ convert -extract 1080x1040+0+0 kegelpara.png \
+ -density 300 -units PixelsPerInch kegelpara.jpg
+
+kegelpara.pdf: kegelpara.tex kegelpara.jpg
+ pdflatex kegelpara.tex
+
+torusschnitt.png: torusschnitt.pov
+ povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorusschnitt.png torusschnitt.pov
+
+torusschnitt.jpg: torusschnitt.png Makefile
+ convert -extract 1640x1080+140+0 torusschnitt.png \
+ -density 300 -units PixelsPerInch torusschnitt.jpg
+
+torusschnitt.pdf: torusschnitt.tex torusschnitt.jpg
+ pdflatex torusschnitt.tex
+
+lemnispara: lemnispara.cpp
+ g++ -O2 -Wall -g -o lemnispara `pkg-config --cflags gsl` \
+ lemnispara.cpp `pkg-config --libs gsl`
+
+lemnisparadata.tex: lemnispara
+ ./lemnispara
+
+lemnispara.pdf: lemnispara.tex lemnisparadata.tex
+ pdflatex lemnispara.tex
+
+ltest: lemnispara.pdf
+
+ellpolnul.pdf: ellpolnul.tex ellcommon.tex
+ pdflatex ellpolnul.tex
+ellall.pdf: ellall.tex ellcommon.tex
+ pdflatex ellall.tex
+
+rechteckpfade2.tex: rechteck Makefile
+ ./rechteck --outfile rechteckpfade2.tex --k 0.87 --vsteps=1
+ellselection.pdf: ellselection.tex rechteckpfade2.tex
+ pdflatex ellselection.tex
+
+rechteckpfade3.tex: rechteck
+ ./rechteck --outfile rechteckpfade3.tex --k 0.70710678118654752440 \
+ --vsteps=4
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fd0a5dd
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex
new file mode 100644
index 0000000..b37fe12
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellall.tex
@@ -0,0 +1,215 @@
+%
+% ellpolnul.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\input{ellcommon.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+%\draw (-1,-1) rectangle (1,1);
+%\node at (-1,-1) [below left] {$0$};
+%\node at (1,-1) [below right] {$K$};
+%\node at (1,1) [above right] {$K+iK'$};
+%\node at (-1,1) [above left] {$iK'$};
+%\node at (0,0) {$u$};
+
+\fill[color=rot!10,opacity=0.5] (-5.5,-4.3) rectangle (7.3,-1.7);
+\fill[color=blau!10,opacity=0.5] (-5.5,-7.3) rectangle (7.3,-4.7);
+\fill[color=gruen!10,opacity=0.5] (-5.5,-10.3) rectangle (7.3,-7.7);
+
+\fill[color=rot!10,opacity=0.5] (-1.3,-10.5) rectangle (1.3,2.5);
+\fill[color=blau!10,opacity=0.5] (1.7,-10.5) rectangle (4.3,2.5);
+\fill[color=gruen!10,opacity=0.5] (4.7,-10.5) rectangle (7.3,2.5);
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=2cm]
+\node at (0,0) {Zähler};
+\draw[<-] (-4.5,0) -- (-1,0);
+\draw[->] (1,0) -- (4.5,0);
+\node[color=black] at (-4.5,-0.4) {\Large n};
+\node[color=rot] at (-1.5,-0.4) {\Large s};
+\node[color=blau] at (1.5,-0.4) {\Large c};
+\node[color=gruen] at (4.5,-0.4) {\Large d};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-5.1cm,yshift=-4.5cm]
+\node at (0,0) [rotate=90] {Nenner};
+\draw[<-] (0,-4.5) -- (0,-1);
+\draw[->] (0,1) -- (0,4.5);
+\node[color=gruen] at (0.4,-4.5) [rotate=90] {\Large d};
+\node[color=blau] at (0.4,-1.5) [rotate=90] {\Large c};
+\node[color=rot] at (0.4,1.5) [rotate=90] {\Large s};
+\node[color=black] at (0.4,4.5) [rotate=90] {\Large n};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=0cm]
+\node at (0,0) {$1$};
+\draw[color=gray!20] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\end{scope}
+
+\definecolor{sccolor}{rgb}{0.8,0.0,1.0}
+\definecolor{sdcolor}{rgb}{0.6,0.6,0.0}
+\definecolor{cdcolor}{rgb}{0.0,0.6,1.0}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm]
+\rechteck{rot}{\operatorname{sn}(u,k)}
+\nullstelle{(-1,-1)}{rot}
+\pol{(-1,1)}{rot}
+\node at (-1,-1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$1$};
+\node at (1,1) {$\frac1k$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm]
+\rechteck{blau}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\nullstelle{(1,-1)}{blau}
+\pol{(-1,1)}{blau}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$0$};
+\node at (1,1) {$\frac{k'}{ik}$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm]
+\rechteck{gruen}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\nullstelle{(1,1)}{gruen}
+\pol{(-1,1)}{gruen}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$k'$};
+\node at (1,1) {$0$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+%
+% start row with denominator sn(u,k)
+%
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=-3cm]
+\rechteck{rot}{\operatorname{ns}(u,k)}
+\pol{(-1,-1)}{rot}
+\nullstelle{(-1,1)}{rot}
+\node at (-1,-1) {$\infty$};
+\node at (1,-1) {$1$};
+\node at (1,1) {$k$};
+\node at (-1,1) {$0$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm]
+%\rechteck{gray}{1}
+\fill[color=white] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node[color=gray] at (0,0) {$1$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-3cm]
+\rechteck{sccolor}{\operatorname{cs}(u,k)}
+\pol{(-1,-1)}{sccolor}
+\nullstelle{(1,-1)}{sccolor}
+\node at (-1,-1) {$\infty$};
+\node at (1,-1) {$0$};
+\node at (1,1) {$\frac{k'}{i}$};
+\node at (-1,1) {$ $};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm]
+\rechteck{sdcolor}{\operatorname{ds}(u,k)}
+\pol{(-1,-1)}{sdcolor}
+\nullstelle{(1,1)}{sdcolor}
+\node at (-1,-1) {$\infty$};
+\node at (1,-1) {$k'$};
+\node at (1,1) {$0$};
+\node at (-1,1) {$ $};
+\end{scope}
+
+%
+% start row with denominator cn(u,k)
+%
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=-6cm]
+\rechteck{blau}{\operatorname{nc}(u,k)}
+\pol{(1,-1)}{blau}
+\nullstelle{(-1,1)}{blau}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (-1,1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$\infty$};
+\node at (1,1) {$\frac{ik}{k'}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-6cm]
+\rechteck{sccolor}{\operatorname{sc}(u,k)}
+\nullstelle{(-1,-1)}{sccolor}
+\pol{(1,-1)}{sccolor}
+\node at (-1,-1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$\infty$};
+\node at (-1,1) {$ $};
+\node at (1,1) {$\frac{i}{k'}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-6cm]
+%\rechteck{gray}{1}
+\fill[color=white] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node[color=gray] at (0,0) {$1$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-6cm]
+\rechteck{cdcolor}{\operatorname{dc}(u,k)}
+\nullstelle{(1,1)}{cdcolor}
+\pol{(1,-1)}{cdcolor}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$\infty$};
+\node at (-1,1) {$k$};
+\node at (1,1) {$0$};
+\end{scope}
+
+%
+% start row with denominator dn(u,k)
+%
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=-9cm]
+\rechteck{gruen}{\operatorname{nd}(u,k)}
+\pol{(1,1)}{gruen}
+\nullstelle{(-1,1)}{gruen}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (-1,1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$\frac{1}{k'}$};
+\node at (1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-9cm]
+\rechteck{sdcolor}{\operatorname{sd}(u,k)}
+\nullstelle{(-1,-1)}{sdcolor}
+\pol{(1,1)}{sdcolor}
+\node at (-1,-1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$\frac{1}{k'}$};
+\node at (-1,1) {$ $};
+\node at (1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-9cm]
+\rechteck{cdcolor}{\operatorname{cd}(u,k)}
+\pol{(1,1)}{cdcolor}
+\nullstelle{(1,-1)}{cdcolor}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (-1,1) {$\frac1k $};
+\node at (1,-1) {$0$};
+\node at (1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-9cm]
+%\rechteck{gray}{1}
+\fill[color=white] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node[color=gray] at (0,0) {$1$};
+\end{scope}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex
new file mode 100644
index 0000000..cd3245d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellcommon.tex
@@ -0,0 +1,24 @@
+%
+% ellcommon.tex -- common macros/definitions for elliptic function
+% values display
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\definecolor{rot}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0,1}
+\definecolor{gruen}{rgb}{0,0.6,0}
+\def\l{0.2}
+
+\def\pol#1#2{
+ \draw[color=#2!50,line width=3.0pt]
+ ($#1+(-\l,-\l)$) -- ($#1+(\l,\l)$);
+ \draw[color=#2!50,line width=3.0pt]
+ ($#1+(-\l,\l)$) -- ($#1+(\l,-\l)$);
+}
+\def\nullstelle#1#2{
+ \draw[color=#2!50,line width=3.0pt] #1 circle[radius=\l];
+}
+\def\rechteck#1#2{
+ \fill[color=#1!20] (-1,-1) rectangle (1,1);
+ \node[color=#1] at (0,0) {$#2\mathstrut$};
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d798169
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex
new file mode 100644
index 0000000..dfa04d3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.tex
@@ -0,0 +1,69 @@
+%
+% ellpolnul.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\input{ellcommon.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input rechteckpfade3.tex
+
+\pgfmathparse{2/\xmax}
+\xdef\dx{\pgfmathresult}
+\xdef\dy{\dx}
+
+\begin{scope}[xshift=-1cm,yshift=-1cm]
+\clip (0,0) rectangle (2,2);
+\netz{0.4pt}
+\draw[line width=0.4pt] (-1,0) -- (1,0);
+\end{scope}
+\fill[color=white,opacity=0.7] (-1,-1) rectangle (1,1);
+\draw (-1,-1) rectangle (1,1);
+\node at (-1,-1) [below left] {$0$};
+\node at (1,-1) [below right] {$K$};
+\node at (1,1) [above right] {$K+iK'$};
+\node at (-1,1) [above left] {$iK'$};
+\node at (0,0) {$u$};
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\rechteck{rot}{\operatorname{sn}(u,k)}
+\nullstelle{(-1,-1)}{rot}
+\pol{(-1,1)}{rot}
+\node at (-1,-1) {$0$};
+\node at (1,-1) {$1$};
+\node at (1,1) {$\frac1k$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=7cm]
+\rechteck{blau}{\operatorname{cn}(u,k)}
+\nullstelle{(1,-1)}{blau}
+\pol{(-1,1)}{blau}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$0$};
+\node at (1,1) {$\frac{k'}{ik}$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=10cm]
+\rechteck{gruen}{\operatorname{dn}(u,k)}
+\nullstelle{(1,1)}{gruen}
+\pol{(-1,1)}{gruen}
+\node at (-1,-1) {$1$};
+\node at (1,-1) {$k'$};
+\node at (1,1) {$0$};
+\node at (-1,1) {$\infty$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7c98db1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex
new file mode 100644
index 0000000..d8afeb1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellselection.tex
@@ -0,0 +1,141 @@
+%
+% ellselection.tex -- Wahl einer elliptischen Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\input{rechteckpfade2.tex}
+
+\def\l{0.45}
+\pgfmathparse{\l*72/2.54}
+\xdef\L{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{4.1/\xmax}
+\xdef\dx{\pgfmathresult}
+\xdef\dy{\dx}
+
+\def\sx{4.1}
+\pgfmathparse{\sx*72/2.54}
+\xdef\Sx{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{\dx*\ymax}
+\xdef\sy{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{\sy*72/2.54}
+\xdef\Sy{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{\sx/2-\l}
+\xdef\linksx{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{\sy/2-\l}
+\xdef\linksy{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{\sx/2+2*\l}
+\xdef\rechtsx{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{\sy/2}
+\xdef\rechtsy{\pgfmathresult}
+
+\begin{scope}
+ \clip (-\sx,-\sy) rectangle (\sx,\sy);
+ \begin{scope}[xshift={-\Sx}]
+ \hintergrund
+ \netz{0.7pt}
+ \end{scope}
+ \begin{scope}[xshift={\Sx}]
+ \hintergrund
+ \netz{0.7pt}
+ \end{scope}
+\end{scope}
+
+\fill[color=red!14,opacity=0.7] ({-\sx},0) rectangle (\sx,\sy);
+\fill[color=blue!14,opacity=0.7] ({-\sx},{-\sy}) rectangle (\sx,0);
+\fill[color=yellow!40,opacity=0.5] (0,0) rectangle (\sx,\sy);
+
+\draw (-\sx,-\sy) rectangle (\sx,\sy);
+
+\draw[->] ({-1.4*\sx},0) -- ({1.4*\sx},0) coordinate[label={$\Re u$}];
+\draw[->] (0,{-\sy-1}) -- (0,{\sy+1}) coordinate[label={right:$\Im u$}];
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\draw[->,line width=1.9pt,color=darkgreen]
+ (\sx,0) to[out=180,in=-79] (\linksx,\linksy);
+\draw[->,line width=1.9pt,color=darkgreen]
+ (\sx,{\sy-\l}) to[out=-90,in=0] (\rechtsx,\rechtsy);
+
+\def\rect#1#2{
+ \fill[color=white] (-\l,-\l) rectangle (\l,\l);
+ #2
+ \draw (-\l,-\l) rectangle (\l,\l);
+ \node at (0,0) {\Huge #1\strut};
+}
+
+\def\kreuz{
+ \begin{scope}
+ \clip ({-\l},{-\l}) rectangle ({\l},{\l});
+ \fill[color=white] ({-2*\l},{-2*\l}) rectangle ({2*\l},{2*\l});
+ \draw[color=darkgreen!30,line width=3pt] (-\l,-\l) -- (\l,\l);
+ \draw[color=darkgreen!30,line width=3pt] (-\l,\l) -- (\l,-\l);
+ \end{scope}
+}
+
+\def\kreis{
+ \begin{scope}
+ \clip ({-\l},{-\l}) rectangle ({\l},{\l});
+ \fill[color=white] ({-2*\l},{-2*\l}) rectangle ({2*\l},{2*\l});
+ \draw[color=darkgreen!30,line width=3pt]
+ (0,0) circle[radius={\l*(\L-1.5)/\L}];
+ \end{scope}
+}
+
+\begin{scope}[xshift={0},yshift={0}]
+ \rect{s}{}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift={\Sx},yshift={0}]
+ \rect{c}{\kreis}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift={\Sx},yshift={\Sy}]
+ \rect{d}{\kreuz}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift={0},yshift={\Sy}]
+ \rect{n}{}
+\end{scope}
+
+\node at ({-\l+0.1},{\sy+\l-0.1}) [above left] {$iK'\mathstrut$};
+\node at ({-\l+0.1},{-\l+0.1}) [below left] {$0\mathstrut$};
+\node at ({\sx+\l-0.1},{-\l+0.1}) [below right] {$K\mathstrut$};
+\node at ({\sx+\l-0.1},{\sy+\l-0.1}) [above right] {$K+iK'\mathstrut$};
+\node at ({-\sx},0) [below left] {$-K\mathstrut$};
+\node at (0,{-\sy+0.05}) [below left] {$-iK'\mathstrut$};
+\node at ({\sx-0.1},{-\sy+0.1}) [below right] {$K-iK'\mathstrut$};
+\node at ({-\sx+0.1},{-\sy+0.1}) [below left] {$-K-iK'\mathstrut$};
+\node at ({-\sx+0.1},{\sy-0.1}) [above left] {$-K+iK'\mathstrut$};
+
+\begin{scope}[xshift={-\L+0.5*\Sx},yshift={0.5*\Sy}]
+ \node at ({-\l},{\l-0.1}) [above] {Nullstelle\strut};
+ \kreis
+ \node[color=darkgreen] at (0,0) {\Huge c\strut};
+ \draw[line width=0.2pt] (-\l,-\l) rectangle (\l,\l);
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift={\L+0.5*\Sx},yshift={0.5*\Sy}]
+ \node at ({\l},{\l-0.1}) [above] {Pol\strut};
+ \kreuz
+ \node[color=darkgreen] at (0,0) {\Huge d\strut};
+ \draw[line width=0.2pt] (-\l,-\l) rectangle (\l,\l);
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index 88cf119..eb9d7f1 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2bbd428
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov
new file mode 100644
index 0000000..13b66cc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pov
@@ -0,0 +1,329 @@
+//
+// kegelpara.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+#declare O = <0,0,0>;
+
+global_settings {
+ assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.08;
+
+camera {
+ location <28, 20, -40>
+ look_at <0, 0.1, 0>
+ right x * imagescale
+ up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+ <30, 10, -40> color White
+ area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+ adaptive 1
+ jitter
+}
+
+sky_sphere {
+ pigment {
+ color rgb<1,1,1>
+ }
+}
+
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+ sphere {
+ from, 1.1 * arrowthickness
+ }
+ cylinder {
+ from,
+ from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+ arrowthickness
+ }
+ cone {
+ from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+ 2 * arrowthickness,
+ to,
+ 0
+ }
+ pigment {
+ color c
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+arrow(<-2.6,0,0>,<2.5,0,0>,0.02,White)
+arrow(<0,-2,0>,<0,2.3,0>,0.02,White)
+arrow(<0,0,-3.2>,<0,0,3.7>,0.02,White)
+
+#declare epsilon = 0.0001;
+#declare l = 1.5;
+
+#macro Kegel(farbe)
+union {
+ difference {
+ cone { O, 0, <l, 0, 0>, l }
+ cone { O + <epsilon, 0,0>, 0, <l+epsilon, 0, 0>, l }
+ }
+ difference {
+ cone { O, 0, <-l, 0, 0>, l }
+ cone { O + <-epsilon, 0, 0>, 0, <-l-epsilon, 0, 0>, l }
+ }
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Kegelpunkt(xx, phi)
+ < xx, xx * sin(phi), xx * cos(phi) >
+#end
+
+#macro Kegelgitter(farbe, r)
+union {
+ #declare s = 0;
+ #declare smax = 2 * pi;
+ #declare sstep = pi / 6;
+ #while (s < smax - sstep/2)
+ cylinder { Kegelpunkt(l, s), Kegelpunkt(-l, s), r }
+ #declare s = s + sstep;
+ #end
+ #declare phimax = 2 * pi;
+ #declare phisteps = 100;
+ #declare phistep = phimax / phisteps;
+ #declare xxstep = 0.5;
+ #declare xxmax = 2;
+ #declare xx = xxstep;
+ #while (xx < xxmax - xxstep/2)
+ #declare phi = 0;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ cylinder {
+ Kegelpunkt(xx, phi),
+ Kegelpunkt(xx, phi + phistep),
+ r
+ }
+ sphere { Kegelpunkt(xx, phi), r }
+ cylinder {
+ Kegelpunkt(-xx, phi),
+ Kegelpunkt(-xx, phi + phistep),
+ r
+ }
+ sphere { Kegelpunkt(-xx, phi), r }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ #declare xx = xx + xxstep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro F(w, r)
+ <r * cos(w), r * r/sqrt(2), r * sin(w) >
+#end
+
+#macro Paraboloid(farbe)
+mesh {
+ #declare phi = 0;
+ #declare phimax = 2 * pi;
+ #declare phisteps = 100;
+ #declare phistep = pi / phisteps;
+ #declare rsteps = 100;
+ #declare rmax = 1.5;
+ #declare rstep = rmax / rsteps;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ #declare r = rstep;
+ #declare h = r * r / sqrt(2);
+ triangle {
+ O, F(phi, r), F(phi + phistep, r)
+ }
+ #while (r < rmax - rstep/2)
+ // ring
+ triangle {
+ F(phi, r),
+ F(phi + phistep, r),
+ F(phi + phistep, r + rstep)
+ }
+ triangle {
+ F(phi, r),
+ F(phi + phistep, r + rstep),
+ F(phi, r + rstep)
+ }
+ #declare r = r + rstep;
+ #end
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Paraboloidgitter(farbe, gr)
+union {
+ #declare phi = 0;
+ #declare phimax = 2 * pi;
+ #declare phistep = pi / 6;
+
+ #declare rmax = 1.5;
+ #declare rsteps = 100;
+ #declare rstep = rmax / rsteps;
+
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ #declare r = rstep;
+ #while (r < rmax - rstep/2)
+ cylinder { F(phi, r), F(phi, r + rstep), gr }
+ sphere { F(phi, r), gr }
+ #declare r = r + rstep;
+ #end
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+
+ #declare rstep = 0.2;
+ #declare r = rstep;
+
+ #declare phisteps = 100;
+ #declare phistep = phimax / phisteps;
+ #while (r < rmax)
+ #declare phi = 0;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ cylinder { F(phi, r), F(phi + phistep, r), gr }
+ sphere { F(phi, r), gr }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ #declare r = r + rstep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#declare a = sqrt(2);
+#macro G(phi,sg)
+ < a*sg*sqrt(cos(2*phi))*cos(phi), a*cos(2*phi), a*sqrt(cos(2*phi))*sin(phi)>
+#end
+
+#macro Lemniskate3D(s, farbe)
+union {
+ #declare phi = -pi / 4;
+ #declare phimax = pi / 4;
+ #declare phisteps = 100;
+ #declare phistep = phimax / phisteps;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ sphere { G(phi,1), s }
+ cylinder { G(phi,1), G(phi+phistep,1), s }
+ sphere { G(phi,-1), s }
+ cylinder { G(phi,-1), G(phi+phistep,-1), s }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#declare a = sqrt(2);
+#macro G2(phi,sg)
+ a * sqrt(cos(2*phi)) * < sg * cos(phi), 0, sin(phi)>
+#end
+
+#macro Lemniskate(s, farbe)
+union {
+ #declare phi = -pi / 4;
+ #declare phimax = pi / 4;
+ #declare phisteps = 100;
+ #declare phistep = phimax / phisteps;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ sphere { G2(phi,1), s }
+ cylinder { G2(phi,1), G2(phi+phistep,1), s }
+ sphere { G2(phi,-1), s }
+ cylinder { G2(phi,-1), G2(phi+phistep,-1), s }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Projektion(s, farbe)
+union {
+ #declare phistep = pi / 16;
+ #declare phi = -pi / 4 + phistep;
+ #declare phimax = pi / 4;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ cylinder { G(phi, 1), G2(phi, 1), s }
+ cylinder { G(phi, -1), G2(phi, -1), s }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#declare kegelfarbe = rgbf<0.2,0.6,0.2,0.2>;
+#declare kegelgitterfarbe = rgb<0.2,0.8,0.2>;
+#declare paraboloidfarbe = rgbf<0.2,0.6,1.0,0.2>;
+#declare paraboloidgitterfarbe = rgb<0.4,1,1>;
+
+//intersection {
+// union {
+ Paraboloid(paraboloidfarbe)
+ Paraboloidgitter(paraboloidgitterfarbe, 0.004)
+
+ Kegel(kegelfarbe)
+ Kegelgitter(kegelgitterfarbe, 0.004)
+// }
+// plane { <0, 0, -1>, 0.6 }
+//}
+
+
+Lemniskate3D(0.02, rgb<0.8,0.0,0.8>)
+Lemniskate(0.02, Red)
+Projektion(0.01, Yellow)
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex
new file mode 100644
index 0000000..8fcefbf
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% kegelpara.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{4}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{kegelpara.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (4.1,-1.4) {$X$};
+\node at (0.2,3.8) {$Z$};
+\node at (4.0,1.8) {$Y$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
index 063a3e1..9e02c3c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
index f74a81f..fe90631 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.tex
@@ -27,13 +27,16 @@
\draw[color=red,line width=2.0pt]
plot[domain=45:\a,samples=100] ({\x}:{sqrt(2*cos(2*\x))});
-\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$y$}];
+\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) coordinate[label={$X$}];
+\draw[->] (0,-0.7) -- (0,0.7) coordinate[label={right:$Y$}];
\fill[color=white] (1,0) circle[radius=0.02];
\draw (1,0) circle[radius=0.02];
+\node at ({1},0) [below] {$\displaystyle a\mathstrut$};
+
\fill[color=white] (-1,0) circle[radius=0.02];
\draw (-1,0) circle[radius=0.02];
+\node at ({-1},0) [below] {$\displaystyle\llap{$-$}a\mathstrut$};
\node[color=blue] at (\a:{0.6*sqrt(2*cos(2*\a))}) [below] {$r$};
\node[color=red] at ({\b}:{sqrt(2*cos(2*\b))}) [above] {$s$};
@@ -41,6 +44,14 @@
\fill[color=white] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
\draw[color=red] (\a:{sqrt(2*cos(2*\a))}) circle[radius=0.02];
+\draw ({sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({sqrt(2)},{0.1/\skala});
+\node at ({sqrt(2)},0) [below right]
+ {$\displaystyle a\mathstrut\sqrt{2}$};
+\draw ({-sqrt(2)},{-0.1/\skala}) -- ({-sqrt(2)},{0.1/\skala});
+\node at ({-sqrt(2)},0) [below left]
+ {$\displaystyle -a\mathstrut\sqrt{2}$};
+
+
\end{tikzpicture}
\end{document}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp
new file mode 100644
index 0000000..6f4d55d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp
@@ -0,0 +1,126 @@
+/*
+ * lemnispara.cpp -- Display parametrisation of the lemniskate
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdio>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <map>
+#include <string.h>
+#include <string>
+
+const static double s = sqrt(2);
+const static double k = 1 / s;
+const static double m = k * k;
+
+typedef std::pair<double, double> point_t;
+
+point_t operator*(const point_t& p, double s) {
+ return point_t(s * p.first, s * p.second);
+}
+
+static double norm(const point_t& p) {
+ return hypot(p.first, p.second);
+}
+
+static point_t normalize(const point_t& p) {
+ return p * (1/norm(p));
+}
+
+static point_t normal(const point_t& p) {
+ return std::make_pair(p.second, -p.first);
+}
+
+class lemniscate : public point_t {
+ double sn, cn, dn;
+public:
+ lemniscate(double t) {
+ gsl_sf_elljac_e(t, m, &sn, &cn, &dn);
+ first = s * cn * dn;
+ second = cn * sn;
+ }
+ point_t tangent() const {
+ return std::make_pair(-s * sn * (1.5 - sn * sn),
+ dn * (1 - 2 * sn * sn));
+ }
+ point_t unittangent() const {
+ return normalize(tangent());
+ }
+ point_t normal() const {
+ return ::normal(tangent());
+ }
+ point_t unitnormal() const {
+ return ::normal(unittangent());
+ }
+};
+
+std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) {
+ char b[1024];
+ snprintf(b, sizeof(b), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", p.first, p.second);
+ out << b;
+ return out;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ std::ofstream out("lemnisparadata.tex");
+
+ // the curve
+ double tstep = 0.01;
+ double tmax = 4.05;
+ out << "\\def\\lemnispath{ ";
+ out << lemniscate(0);
+ for (double t = tstep; t < tmax; t += tstep) {
+ out << std::endl << "\t" << "-- " << lemniscate(t);
+ }
+ out << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+
+ out << "\\def\\lemnispathmore{ ";
+ out << lemniscate(tmax);
+ double tmax2 = 7.5;
+ for (double t = tmax + tstep; t < tmax2; t += tstep) {
+ out << std::endl << "\t" << "-- " << lemniscate(t);
+ }
+ out << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+
+ // individual points
+ tstep = 0.2;
+ int i = 0;
+ char name[3];
+ strcpy(name, "L0");
+ for (double t = 0; t <= tmax; t += tstep) {
+ char c = 'A' + i++;
+ char buffer[128];
+ lemniscate l(t);
+ name[0] = 'L';
+ name[1] = c;
+ out << "\\coordinate (" << name << ") at ";
+ out << l << ";" << std::endl;
+ name[0] = 'T';
+ out << "\\coordinate (" << name << ") at ";
+ out << l.unittangent() << ";" << std::endl;
+ name[0] = 'N';
+ out << "\\coordinate (" << name << ") at ";
+ out << l.unitnormal() << ";" << std::endl;
+ name[0] = 'C';
+ out << "\\def\\" << name << "{ ";
+ out << "\\node[color=red] at ($(L" << c << ")+0.06*(N" << c << ")$) ";
+ out << "[rotate={";
+ double w = 180 * atan2(l.unitnormal().second,
+ l.unitnormal().first) / M_PI;
+ snprintf(buffer, sizeof(buffer), "%.1f", w);
+ out << buffer;
+ out << "-90}]";
+ snprintf(buffer, sizeof(buffer), "%.1f", t);
+ out << " {$\\scriptstyle " << buffer << "$};" << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+ }
+
+ out.close();
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf
new file mode 100644
index 0000000..16731d3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex
new file mode 100644
index 0000000..c6e32d7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex
@@ -0,0 +1,94 @@
+%
+% lemnispara.tex -- parametrization of the lemniscate
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\def\dx{4}
+\def\dy{4}
+\input{lemnisparadata.tex}
+
+% add image content here
+\draw[color=red!20,line width=1.4pt] \lemnispathmore;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \lemnispath;
+
+\draw[->] ({-1.6*\dx},0) -- ({1.8*\dx},0) coordinate[label={$X$}];
+\draw[->] (0,{-0.7*\dy}) -- (0,{0.7*\dy}) coordinate[label={right:$Y$}];
+
+\draw ({1.5*\dx},-0.05) -- ({1.5*\dx},0.05);
+\draw ({\dx},-0.05) -- ({\dx},0.05);
+\draw ({0.5*\dx},-0.05) -- ({0.5*\dx},0.05);
+\draw ({-0.5*\dx},-0.05) -- ({-0.5*\dx},0.05);
+\draw ({-\dx},-0.05) -- ({-\dx},0.05);
+\draw ({-1.5*\dx},-0.05) -- ({-1.5*\dx},0.05);
+\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy});
+\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy});
+
+\node at ({\dx},0) [above] {$1$};
+\node at ({-\dx},0) [above] {$-1$};
+\node at ({-0.5*\dx},0) [above] {$-\frac12$};
+\node at ({0.5*\dx},0) [above] {$\frac12$};
+\node at (0,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$};
+\node at (0,{-0.5*\dy}) [left] {$-\frac12$};
+
+\def\s{0.02}
+
+\draw[color=red] ($(LA)-\s*(NA)$) -- ($(LA)+\s*(NA)$);
+\draw[color=red] ($(LB)-\s*(NB)$) -- ($(LB)+\s*(NB)$);
+\draw[color=red] ($(LC)-\s*(NC)$) -- ($(LC)+\s*(NC)$);
+\draw[color=red] ($(LD)-\s*(ND)$) -- ($(LD)+\s*(ND)$);
+\draw[color=red] ($(LE)-\s*(NE)$) -- ($(LE)+\s*(NE)$);
+\draw[color=red] ($(LF)-\s*(NF)$) -- ($(LF)+\s*(NF)$);
+\draw[color=red] ($(LG)-\s*(NG)$) -- ($(LG)+\s*(NG)$);
+\draw[color=red] ($(LH)-\s*(NH)$) -- ($(LH)+\s*(NH)$);
+\draw[color=red] ($(LI)-\s*(NI)$) -- ($(LI)+\s*(NI)$);
+\draw[color=red] ($(LJ)-\s*(NJ)$) -- ($(LJ)+\s*(NJ)$);
+\draw[color=red] ($(LK)-\s*(NK)$) -- ($(LK)+\s*(NK)$);
+\draw[color=red] ($(LL)-\s*(NL)$) -- ($(LL)+\s*(NL)$);
+\draw[color=red] ($(LM)-\s*(NM)$) -- ($(LM)+\s*(NM)$);
+\draw[color=red] ($(LN)-\s*(NN)$) -- ($(LN)+\s*(NN)$);
+\draw[color=red] ($(LO)-\s*(NO)$) -- ($(LO)+\s*(NO)$);
+\draw[color=red] ($(LP)-\s*(NP)$) -- ($(LP)+\s*(NP)$);
+\draw[color=red] ($(LQ)-\s*(NQ)$) -- ($(LQ)+\s*(NQ)$);
+\draw[color=red] ($(LR)-\s*(NR)$) -- ($(LR)+\s*(NR)$);
+\draw[color=red] ($(LS)-\s*(NS)$) -- ($(LS)+\s*(NS)$);
+\draw[color=red] ($(LT)-\s*(NT)$) -- ($(LT)+\s*(NT)$);
+\draw[color=red] ($(LU)-\s*(NU)$) -- ($(LU)+\s*(NU)$);
+
+\CB
+\CC
+\CD
+\CE
+\CF
+\CG
+\CH
+\CI
+\CJ
+\CK
+\CL
+\CM
+\CN
+\CO
+\CP
+\CQ
+\CR
+\CS
+\CT
+\CU
+
+\fill[color=blue] (LA) circle[radius=0.07];
+\node[color=blue] at (LA) [above right] {$S$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
index c65ae0f..b5ad0ec 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
@@ -163,7 +163,7 @@ curvetracer::curve_t curvetracer::trace(const std::complex<double>& startz,
} catch (const toomanyiterations& x) {
std::cerr << "iterations exceeded after ";
std::cerr << result.size();
- std::cerr << " points";
+ std::cerr << " points" << std::endl;
maxsteps = 0;
}
}
@@ -230,7 +230,7 @@ void curvedrawer::operator()(const curvetracer::curve_t& curve) {
double first = true;
for (auto z : curve) {
if (first) {
- *_out << "\\draw[color=" << _color << "] ";
+ *_out << "\\draw[color=" << _color << ",line width=#1] ";
first = false;
} else {
*_out << std::endl << " -- ";
@@ -244,6 +244,7 @@ static struct option longopts[] = {
{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' },
{ "k", required_argument, NULL, 'k' },
{ "deltax", required_argument, NULL, 'd' },
+{ "vsteps", required_argument, NULL, 'v' },
{ NULL, 0, NULL, 0 }
};
@@ -252,7 +253,8 @@ static struct option longopts[] = {
*/
int main(int argc, char *argv[]) {
double k = 0.625;
- double deltax = 0.2;
+ double Deltax = 0.2;
+ int vsteps = 4;
int c;
int longindex;
@@ -261,7 +263,7 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
&longindex)))
switch (c) {
case 'd':
- deltax = std::stod(optarg);
+ Deltax = std::stod(optarg);
break;
case 'o':
outfilename = std::string(optarg);
@@ -269,6 +271,9 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
case 'k':
k = std::stod(optarg);
break;
+ case 'v':
+ vsteps = std::stoi(optarg);
+ break;
}
double kprime = integrand::kprime(k);
@@ -293,15 +298,21 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
curvetracer ct(f);
// fill
+ (*cdp->out()) << "\\def\\hintergrund{" << std::endl;
(*cdp->out()) << "\\fill[color=red!10] ({" << (-xmax) << "*\\dx},0) "
<< "rectangle ({" << xmax << "*\\dx},{" << ymax << "*\\dy});"
<< std::endl;
(*cdp->out()) << "\\fill[color=blue!10] ({" << (-xmax) << "*\\dx},{"
<< (-ymax) << "*\\dy}) rectangle ({" << xmax << "*\\dx},0);"
<< std::endl;
+ (*cdp->out()) << "}" << std::endl;
+
+ // macro for grid
+ (*cdp->out()) << "\\def\\netz#1{" << std::endl;
// "circles"
std::complex<double> dir(0.01, 0);
+ double deltax = Deltax;
for (double im = deltax; im < 3; im += deltax) {
std::complex<double> startz(0, im);
std::complex<double> startw = ct.startpoint(startz);
@@ -316,9 +327,9 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
}
// imaginary axis
- (*cdp->out()) << "\\draw[color=red] (0,0) -- (0,{" << ymax
+ (*cdp->out()) << "\\draw[color=red,line width=#1] (0,0) -- (0,{" << ymax
<< "*\\dy});" << std::endl;
- (*cdp->out()) << "\\draw[color=blue] (0,0) -- (0,{" << (-ymax)
+ (*cdp->out()) << "\\draw[color=blue,line width=#1] (0,0) -- (0,{" << (-ymax)
<< "*\\dy});" << std::endl;
// arguments between 0 and 1
@@ -353,7 +364,8 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
// arguments between 1 and 1/k
{
- for (double x0 = 1 + deltax; x0 < 1/k; x0 += deltax) {
+ deltax = (1/k - 1) / vsteps;
+ for (double x0 = 1 + deltax; x0 < 1/k + 0.00001; x0 += deltax) {
double y0 = sqrt(1-1/(x0*x0))/kprime;
//std::cout << "y0 = " << y0 << std::endl;
double y = gsl_sf_ellint_F(asin(y0), kprime,
@@ -389,8 +401,9 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
// arguments larger than 1/k
{
+ deltax = Deltax;
dir = std::complex<double>(0, 0.01);
- double x0 = 1;
+ double x0 = 1/k;
while (x0 <= 1/k + 0.0001) { x0 += deltax; }
for (; x0 < 4; x0 += deltax) {
std::complex<double> startz(x0);
@@ -407,6 +420,8 @@ int main(int argc, char *argv[]) {
}
}
+ (*cdp->out()) << "}" << std::endl;
+
// border
(*cdp->out()) << "\\def\\xmax{" << xmax << "}" << std::endl;
(*cdp->out()) << "\\def\\ymax{" << ymax << "}" << std::endl;
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
index 6209897..46f2376 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex
index 622a9e9..12535ba 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.tex
@@ -18,6 +18,8 @@
\def\dy{3}
\input{rechteckpfade.tex}
+\hintergrund
+\netz{0.7pt}
\begin{scope}
\clip ({-\xmax*\dx},{-\ymax*\dy}) rectangle ({\xmax*\dx},{\ymax*\dy});
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp
new file mode 100644
index 0000000..8584e94
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.cpp
@@ -0,0 +1,128 @@
+/*
+ * slcl.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <sstream>
+#include <getopt.h>
+#include <vector>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+
+namespace slcl {
+
+static struct option longopts[] {
+{ "outfile", required_argument, NULL, 'o' },
+{ "a", required_argument, NULL, 'a' },
+{ "b", required_argument, NULL, 'b' },
+{ "steps", required_argument, NULL, 'n' },
+{ NULL, 0, NULL, 0 }
+};
+
+class plot {
+ typedef std::pair<double, double> point_t;
+ typedef std::vector<point_t> curve_t;
+ curve_t _sl;
+ curve_t _cl;
+ double _a;
+ double _b;
+ int _steps;
+public:
+ double a() const { return _a; }
+ double b() const { return _b; }
+ int steps() const { return _steps; }
+public:
+ plot(double a, double b, int steps) : _a(a), _b(b), _steps(steps) {
+ double l = sqrt(2);
+ double k = 1 / l;
+ double m = k * k;
+ double h = (b - a) / steps;
+ for (int i = 0; i <= steps; i++) {
+ double x = a + h * i;
+ double sn, cn, dn;
+ gsl_sf_elljac_e(x, m, &sn, &cn, &dn);
+ _sl.push_back(std::make_pair(l * x, k * sn / dn));
+ _cl.push_back(std::make_pair(l * x, cn));
+ }
+ }
+private:
+ std::string point(const point_t p) const {
+ char buffer[128];
+ snprintf(buffer, sizeof(buffer), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+ p.first, p.second);
+ return std::string(buffer);
+ }
+ std::string path(const curve_t& curve) const {
+ std::ostringstream out;
+ auto i = curve.begin();
+ out << point(*(i++));
+ do {
+ out << std::endl << " -- " << point(*(i++));
+ } while (i != curve.end());
+ out.flush();
+ return out.str();
+ }
+public:
+ std::string slpath() const {
+ return path(_sl);
+ }
+ std::string clpath() const {
+ return path(_cl);
+ }
+};
+
+/**
+ * \brief Main function for the slcl program
+ */
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ int longindex;
+ int c;
+ double a = 0;
+ double b = 10;
+ int steps = 100;
+ std::ostream *out = &std::cout;
+ while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "a:b:o:n:",
+ longopts, &longindex)))
+ switch (c) {
+ case 'a':
+ a = std::stod(optarg);
+ break;
+ case 'b':
+ b = std::stod(optarg) / sqrt(2);
+ break;
+ case 'n':
+ steps = std::stol(optarg);
+ break;
+ case 'o':
+ out = new std::ofstream(optarg);
+ break;
+ }
+
+ plot p(a, b, steps);
+ (*out) << "\\def\\slpath{ " << p.slpath();
+ (*out) << std::endl << " }" << std::endl;
+ (*out) << "\\def\\clpath{ " << p.clpath();
+ (*out) << std::endl << " }" << std::endl;
+
+ out->flush();
+ //out->close();
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
+
+} // namespace slcl
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ try {
+ return slcl::main(argc, argv);
+ } catch (const std::exception& e) {
+ std::cerr << "terminated by exception: " << e.what();
+ std::cerr << std::endl;
+ } catch (...) {
+ std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl;
+ }
+ return EXIT_FAILURE;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
new file mode 100644
index 0000000..71645e3
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex
new file mode 100644
index 0000000..0af1027
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.tex
@@ -0,0 +1,88 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\input{slcldata.tex}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+% add image content here
+\def\lemniscateconstant{2.6220575542}
+\pgfmathparse{(3.1415926535/2)/\lemniscateconstant}
+\xdef\scalechange{\pgfmathresult}
+
+\pgfmathparse{\scalechange*(180/3.1415926535)}
+\xdef\ts{\pgfmathresult}
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{3}
+
+\draw[line width=0.3pt]
+ ({\lemniscateconstant*\dx},0)
+ --
+ ({\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+ ({2*\lemniscateconstant*\dx},0)
+ --
+ ({2*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+ ({3*\lemniscateconstant*\dx},0)
+ --
+ ({3*\lemniscateconstant*\dx},{-1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+ ({4*\lemniscateconstant*\dx},0)
+ --
+ ({4*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+\draw[line width=0.3pt]
+ ({5*\lemniscateconstant*\dx},0)
+ --
+ ({5*\lemniscateconstant*\dx},{1*\dy});
+
+\draw[color=red!40,line width=1.4pt]
+ plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*sin(\ts*\x)});
+\draw[color=blue!40,line width=1.4pt]
+ plot[domain=0:13,samples=200] ({\x},{\dy*cos(\ts*\x)});
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \slpath;
+\draw[color=blue,line width=1.4pt] \clpath;
+
+\draw[->] (0,{-1*\dy-0.1}) -- (0,{1*\dy+0.4}) coordinate[label={right:$r$}];
+\draw[->] (-0.1,0) -- (13.6,0) coordinate[label={$s$}];
+
+\foreach \i in {1,2,3,4,5}{
+ \draw ({\lemniscateconstant*\i},-0.1) -- ({\lemniscateconstant*\i},0.1);
+}
+\node at ({\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\frac{\varpi}2\mathstrut$};
+\node at ({2*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\varpi\mathstrut$};
+\node at ({3*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$\frac{3\varpi}2\mathstrut$};
+\node at ({4*\lemniscateconstant*\dx},0) [below right] {$2\varpi\mathstrut$};
+\node at ({5*\lemniscateconstant*\dx},0) [below left] {$\frac{5\varpi}2\mathstrut$};
+
+\node[color=red] at ({1.6*\lemniscateconstant*\dx},{0.6*\dy})
+ [below left] {$\operatorname{sl}(s)$};
+\node[color=red!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{sin(1.5*90)*\dy*0.90})
+ [above right] {$\sin \bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$};
+
+\node[color=blue] at ({1.4*\lemniscateconstant*\dx},{-0.6*\dy})
+ [above right] {$\operatorname{cl}(s)$};
+\node[color=blue!50] at ({1.5*\lemniscateconstant*\dx},{cos(1.5*90)*\dy*0.90})
+ [below left] {$\cos\bigl(\frac{\pi}{\varpi}s\bigr)$};
+
+\draw (-0.1,{1*\dy}) -- (0.1,{1*\dy});
+\draw (-0.1,{-1*\dy}) -- (0.1,{-1*\dy});
+\node at (0,{1*\dy}) [left] {$1\mathstrut$};
+\node at (0,0) [left] {$0\mathstrut$};
+\node at (0,{-1*\dy}) [left] {$-1\mathstrut$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9b64ab2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov
new file mode 100644
index 0000000..e5602df
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pov
@@ -0,0 +1,308 @@
+//
+// kegelpara.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+
+#declare O = <0,0,0>;
+
+global_settings {
+ assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.060;
+
+camera {
+ location <28, 20, -40>
+ look_at <0, 0.55, 0>
+ right (16/9) * x * imagescale
+ up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+ <30, 10, -40> color White
+ area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
+ adaptive 1
+ jitter
+}
+
+sky_sphere {
+ pigment {
+ color rgb<1,1,1>
+ }
+}
+
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+#declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+#declare arrowlength = vlength(to - from);
+union {
+ sphere {
+ from, 1.1 * arrowthickness
+ }
+ cylinder {
+ from,
+ from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+ arrowthickness
+ }
+ cone {
+ from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+ 2 * arrowthickness,
+ to,
+ 0
+ }
+ pigment {
+ color c
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+
+#macro Ticks(tl, tr)
+union {
+ #declare s = 1;
+ #while (s <= 3.1)
+ cylinder { <-0.5*s-tl, 0, 0>, <-0.5*s+tl, 0, 0>, tr }
+ cylinder { < 0.5*s-tl, 0, 0>, < 0.5*s+tl, 0, 0>, tr }
+ #declare s = s + 1;
+ #end
+
+ #declare s = 1;
+ #while (s <= 4.1)
+ cylinder { <0, 0.5*s-tl, 0>, <0, 0.5*s+tl, 0>, tr }
+ #declare s = s + 1;
+ #end
+ #declare s = 1;
+ #while (s <= 2.1)
+ cylinder { <0,-0.5*s-tl, 0>, <0,-0.5*s+tl, 0>, tr }
+ #declare s = s + 1;
+ #end
+
+ #declare s = 1;
+ #while (s <= 4)
+ cylinder { <0, 0, 0.5*s-tl>, <0, 0, 0.5*s+tl>, tr }
+ #declare s = s + 1;
+ #end
+ #declare s = 1;
+ #while (s <= 3)
+ cylinder { <0, 0, -0.5*s-tl>, <0, 0, -0.5*s+tl>, tr }
+ #declare s = s + 1;
+ #end
+
+ pigment {
+ color White
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#declare epsilon = 0.001;
+#declare l = 1.5;
+
+#declare a = sqrt(2);
+#macro G2(phi,sg)
+ a * sqrt(cos(2*phi)) * < sg * cos(phi), 0, sin(phi)>
+#end
+
+#macro Lemniskate(s, farbe)
+union {
+ #declare phi = -pi / 4;
+ #declare phimax = pi / 4;
+ #declare phisteps = 100;
+ #declare phistep = phimax / phisteps;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ sphere { G2(phi,1), s }
+ cylinder { G2(phi,1), G2(phi+phistep,1), s }
+ sphere { G2(phi,-1), s }
+ cylinder { G2(phi,-1), G2(phi+phistep,-1), s }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Projektion(s, farbe)
+union {
+ #declare phistep = pi / 16;
+ #declare phi = -pi / 4 + phistep;
+ #declare phimax = pi / 4;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ cylinder { G(phi, 1), G2(phi, 1), s }
+ cylinder { G(phi, -1), G2(phi, -1), s }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Ebene(l, b, farbe)
+mesh {
+ triangle { <-l, 0, -b>, < l, 0, -b>, < l, 0, b> }
+ triangle { <-l, 0, -b>, < l, 0, b>, <-l, 0, b> }
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Ebenengitter(l, b, s, r, farbe)
+union {
+ #declare lmax = floor(l / s);
+ #declare ll = -lmax;
+ #while (ll <= lmax)
+ cylinder { <ll * s, 0, -b>, <ll * s, 0, b>, r }
+ #declare ll = ll + 1;
+ #end
+ #declare bmax = floor(b / s);
+ #declare bb = -bmax;
+ #while (bb <= bmax)
+ cylinder { <-l, 0, bb * s>, <l, 0, bb * s>, r }
+ #declare bb = bb + 1;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#declare b = 0.5;
+#macro T(phi, theta)
+ b * < (2 + cos(theta)) * cos(phi), (2 + cos(theta)) * sin(phi) + 1, sin(theta) >
+#end
+
+#macro breitenkreis(theta, r)
+ #declare phi = 0;
+ #declare phimax = 2 * pi;
+ #declare phisteps = 200;
+ #declare phistep = phimax / phisteps;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ cylinder { T(phi, theta), T(phi + phistep, theta), r }
+ sphere { T(phi, theta), r }
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+#end
+
+#macro laengenkreis(phi, r)
+ #declare theta = 0;
+ #declare thetamax = 2 * pi;
+ #declare thetasteps = 200;
+ #declare thetastep = thetamax / thetasteps;
+ #while (theta < thetamax - thetastep/2)
+ cylinder { T(phi, theta), T(phi, theta + thetastep), r }
+ sphere { T(phi, theta), r }
+ #declare theta = theta + thetastep;
+ #end
+#end
+
+#macro Torusgitter(farbe, r)
+union {
+ #declare phi = 0;
+ #declare phimax = 2 * pi;
+ #declare phistep = pi / 6;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ laengenkreis(phi, r)
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ #declare thetamax = pi;
+ #declare thetastep = pi / 6;
+ #declare theta = thetastep;
+ #while (theta < thetamax - thetastep/2)
+ breitenkreis(theta, r)
+ breitenkreis(thetamax + theta, r)
+ #declare theta = theta + thetastep;
+ #end
+ breitenkreis(0, 1.5 * r)
+ breitenkreis(pi, 1.5 * r)
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#macro Torus(farbe)
+mesh {
+ #declare phi = 0;
+ #declare phimax = 2 * pi;
+ #declare phisteps = 200;
+ #declare phistep = phimax/phisteps;
+ #while (phi < phimax - phistep/2)
+ #declare theta = 0;
+ #declare thetamax = 2 * pi;
+ #declare thetasteps = 200;
+ #declare thetastep = thetamax / thetasteps;
+ #while (theta < thetamax - thetastep/2)
+ triangle {
+ T(phi, theta),
+ T(phi + phistep, theta),
+ T(phi + phistep, theta + thetastep)
+ }
+ triangle {
+ T(phi, theta),
+ T(phi + phistep, theta + thetastep),
+ T(phi, theta + thetastep)
+ }
+ #declare theta = theta + thetastep;
+ #end
+ #declare phi = phi + phistep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
+#end
+
+#declare torusfarbe = rgbt<0.2,0.6,0.2,0.2>;
+#declare ebenenfarbe = rgbt<0.2,0.6,1.0,0.2>;
+
+arrow(<-2,0,0>,<2,0,0>,0.02,White)
+arrow(<0,-1.1,0>,<0,2.2,0>,0.02,White)
+arrow(<0,0,-1.7>,<0,0,2.4>,0.02,White)
+Ticks(0.007,0.036)
+
+Lemniskate(0.02, Red)
+Ebene(1.8, 1.6, ebenenfarbe)
+Ebenengitter(1.8, 1.6, 0.5, 0.005, rgb<0.4,1,1>)
+Torus(torusfarbe)
+Torusgitter(Yellow, 0.005)
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex
new file mode 100644
index 0000000..63351ad
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% torusschnitt.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{6}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=11.98cm]{torusschnitt.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (4.4,-2.4) {$X$};
+\node at (3.5,0.6) {$Y$};
+\node at (0.3,3.8) {$Z$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
index f1e0987..166ea41 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -22,1597 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins
Auge fassen.
-%
-% ellpitische Funktionen als Trigonometrie
-%
-\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
-\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der
-elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
-auf einer Ellipse.
-\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
-\end{figure}
-% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
-% https://youtu.be/DCXItCajCyo
-
-%
-% Geometrie einer Ellipse
-%
-\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
-Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
-\index{Ellipse}%
-der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
-den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
-\index{Brennpunkt}%
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
-mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
-die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
-Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
-Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
-Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
-haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
-Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
-also $a$ sein.
-Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
-\[
-b^2+e^2=a^2
-\qquad\Rightarrow\qquad
-e^2 = a^2-b^2
-\]
-sein muss.
-Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
-Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$ heisst die {\em numerische Exzentrizität}
-der Ellipse.
-
-%
-% Die Ellipsengleichung
-%
-\subsubsection{Ellipsengleichung}
-Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\overline{PF_1}^2
-&=
-y^2 + (x+e)^2
-\\
-\overline{PF_2}^2
-&=
-y^2 + (x-e)^2
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
-\end{equation}
-von den Brennpunkten, für die
-\begin{equation}
-\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
-=
-2a
-\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-\end{equation}
-gelten muss.
-Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
-\[
-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
-\]
-erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-erfüllt.
-Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
-$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
-Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
-\[
-l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
-\]
-Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
-auf die rechte Seite und quadriert.
-Man muss also verifizieren, dass
-\[
-(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
-\]
-In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
-\[
-y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
-\]
-substituieren.
-Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
-Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
-
-%
-% Normierung
-%
-\subsubsection{Normierung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse
-von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
-Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert,
-kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
-Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
-
-Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
-weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
-mindestens eine mit Halbeachse $1$.
-Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
-Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
-Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
-In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
-zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
-
-Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
-$\varepsilon$ auch mit
-\[
-k
-=
-\varepsilon
-=
-\frac{e}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
-=
-\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
-\]
-die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
-Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
-findet man
-\[
-k^2a^2 = a^2-1
-\quad\Rightarrow\quad
-1=a^2(k^2-1)
-\quad\Rightarrow\quad
-a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
-\]
-
-Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
-\[
-\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
-\qquad\text{oder}\qquad
-x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
-\]
-
-%
-% Definition der elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
-\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
-an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
-\end{figure}
-\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
-Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
-können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
-Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
-Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
-Radiusvektor zum Punkt $P$
-darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
-ausnützen möchten.
-Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
-noch unbestimmte Argument $u$.
-Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
-
-Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch
-vom Modulus ab.
-Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
-wir das $k$-Argument weg.
-
-Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
-Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
-des Kreises.
-Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
-die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
-
-In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für
-die Funktionen
-\[
-\begin{aligned}
-&\text{sinus amplitudinis:}&
-{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
-&\text{cosinus amplitudinis:}&
-{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
-&\text{delta amplitudinis:}&
-{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
-\end{aligned}
-\]
-die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-dargestellt sind.
-Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
-\[
-\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ist.
-Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
-berechnen, also gilt
-\begin{equation}
-r^2
-=
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-x^2 + y^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
-\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-\end{equation}
-Ersetzt man
-$
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-$, ergibt sich
-\[
-a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-+
-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-\operatorname{dn}(u,k)^2
-+
-\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
-=
-1,
-\]
-woraus sich die Identität
-\[
-\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
-\]
-ergibt.
-Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
-\[
-a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
-=
-a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1-\operatorname{cn}(u,k)^2
-=
-(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+1.
-\]
-Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
-\begin{align*}
-\operatorname{dn}(u,k)^2
--
-k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-&=
-\frac{1}{a^2}
-=
-\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
-=
-1-k^2 =: k^{\prime 2}.
-\end{align*}
-Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
-&=
-1
-\\
-\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}.
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\end{equation}
-zusammen.
-So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
-ist es mit
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
-jede anderen auszudrücken.
-Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
-zusammengestellt.
-
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\operatorname{dn}(u,k)\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
-&\operatorname{sn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
-&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\operatorname{cn}(u,k)
-&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
-&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
-&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-&\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
-unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-durch jede andere ausdrücken.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
-\end{table}
-
-%
-% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
-%
-\subsubsection{Ableitung}
-Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich
-für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
-Beziehungen
-\[
-\frac{d}{d\varphi} \cos\varphi = -\sin\varphi
-\qquad\text{und}\qquad
-\frac{d}{d\varphi} \sin\varphi = \cos\varphi
-\]
-erfüllen.
-So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
-durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
-Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
-sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
-
-Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
-Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
-Ableitungsformeln ergeben.
-Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
-ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
-$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
-Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
-\begin{align*}
-\frac{dy}{d\varphi}
-&=
-\cos\varphi
-=
-\frac{1}{a} x
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\frac{dx}{d\varphi}
-&=
--a\sin\varphi
-=
--a y
-=
--a\operatorname{sn}(u,k).
-\end{align*}
-Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
-elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
-\begin{align*}
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
-=
-\cos\varphi
-=
-\frac{x}{a}
-=
-\operatorname{cn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
-&=
-\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
-=
--\sin\varphi
-=
--\operatorname{sn}(u,k)
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-\\
-\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
-&=
-\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
-=
-\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
-+
-\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
-\\
-&=
-\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
-+
-\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
-\\
-&=
-\frac{x}{ar}(-ay)
-+
-\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
-=
-\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r}
-\\
-&=
--\frac{xy(a^2-1)}{a^2r}
-\\
-&=
--\frac{a^2-1}{ar}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=-k^2
-\frac{a}{r}
-\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-\\
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
-\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\frac{d\varphi}{du}
-\end{align*}
-Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
-wählt, dass
-\[
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{r}{a}
-\]
-Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
-&=
-\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\end{align*}
-der elliptischen Funktionen nach Jacobi.
-
-%
-% Der Grenzfall $k=1$
-%
-\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
-\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen
-für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
-\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
-\end{figure}
-Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
-Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-\[
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2
-\operatorname{dn}^2(u,k)
-=
-k^{\prime2}
-=
-0
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-\operatorname{dn}^2(u,1),
-\]
-die beiden Funktionen
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-und
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-fallen also zusammen.
-Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
-\begin{align*}
-\operatorname{sn}'(u,1)
-&=
-\operatorname{cn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
-\operatorname{cn}^2(u,1)
-=
-1-\operatorname{sn}^2(u,1)
-&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
-\\
-\operatorname{cn}'(u,1)
-&=
--
-\operatorname{sn}(u,1)
-\operatorname{dn}(u,1)
-=
--
-\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
-&&\Rightarrow&
-\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
-\end{align*}
-Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
-die Lösung
-\[
-\frac{y'}{1-y^2}
-=
-1
-\quad\Rightarrow\quad
-\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{artanh}(y) = u
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
-\]
-Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
-\begin{align*}
-(\log \operatorname{cn}(u,1))'
-&=
-\tanh u
-&&\Rightarrow&
-\log\operatorname{cn}(u,1)
-&=
--\int\tanh u\,du
-=
--\log\cosh u
-\\
-&
-&&\Rightarrow&
-\operatorname{cn}(u,1)
-&=
-\frac{1}{\cosh u}
-=
-\operatorname{sech}u.
-\end{align*}
-Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
-dargestellt.
-
-%
-% Das Argument u
-%
-\subsubsection{Das Argument $u$}
-Die Gleichung
-\begin{equation}
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\operatorname{dn}(u,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-\end{equation}
-ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
-die geometrische Bedeutung zu klären.
-Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
-Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
-Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
-\begin{equation}
-\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
-\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
-\end{equation}
-
-Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
-dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
-$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
-Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
-\[
-\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
-=
-\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
-werden, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-=
-\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot
-\frac{a^2}{r^2}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
-\]
-Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
-\[
-\frac{d\vartheta}{du}
-=
-\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-\cdot
-\frac{d\varphi}{du}
-=
-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-\cdot
-\operatorname{dn}(u,k)
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-=
-\frac{1}{a}
-\cdot\frac{a}{r}
-=
-\frac{1}{r},
-\]
-wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
-verwendet haben.
-
-In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
-von $u$ nach $t$ berechnen als
-\[
-\frac{du}{dt}
-=
-\frac{du}{d\vartheta}
-\frac{d\vartheta}{dt}
-=
-r
-\dot{\vartheta}.
-\]
-Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
-das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
-von $O$.
-$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
-$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
-Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
-\[
-u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
-\]
-Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
-auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
-$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
-
-%
-% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
-\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-udn
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
-des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
-\end{figure}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
-\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-\hline
-\cdot &
-\frac{1}{1} &
-\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\[5pt]
-\hline
-1&
-&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
-\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{sn}(u,k) &
-\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
-&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{cn}(u,k) &
-\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\
-\operatorname{dn}(u,k) &
-\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
-\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-\\[5pt]
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
-Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
-Jacobischen elliptischen Funktionen.
-\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
-\end{table}
-\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
-lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
-die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
-Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
-$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
-$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
-Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
-Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
-der Nenner durch den Buchstaben q.
-Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
-die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
-Funktionen.
-Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
-man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
-
-In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
-geometrisch interpretiert.
-Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
-mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
-Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
-Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
-Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
-
-Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
-andere auszudrücken.
-Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie
-übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
-nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
-
-\begin{beispiel}
-Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-Zunächst ist
-\[
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\]
-nach Definition.
-Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
-$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
-Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
-\begin{equation}
-\operatorname{sc}(u,k)
-=
-\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
-\end{equation}
-Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
-$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
-Aus der Definition und der
-dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-erhält man
-\begin{align*}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-&=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-=
-\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-\\
-\Rightarrow
-\qquad
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-+
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-&=
-\frac{
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-\end{align*}
-Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
-\[
-1-\operatorname{cn}^2(u,k)
-=
-\frac{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
--
-k^{\prime 2}
-\operatorname{cd}^2(u,k)
-}{
-1
--
-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-\]
-Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
-\begin{align*}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
-\cdot
-\frac{
-\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}
-=
-\frac{
-\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-}{
-k'
-\operatorname{cd}(u,k)
-}.
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
-können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
-abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
-Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
-Sie ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}
-\operatorname{sc}(u,k)
-&=
-\frac{d}{du}
-\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\frac{
-\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
--
-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{
-\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-+
-\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-=
-\frac{(
-\operatorname{sn}^2(u,k)
-+
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-)\operatorname{dn}(u,k)}{
-\operatorname{cn}^2(u,k)
-}
-\\
-&=
-\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
-\cdot
-\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-=
-\operatorname{nc}(u,k)
-\operatorname{dc}(u,k).
-\end{align*}
-Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
-der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
-beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
-die Funktion, die abgeleitet wird.
-
-Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
-\begin{equation}
-%\small
-\begin{aligned}
-\operatorname{sn}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&\qquad&
-\operatorname{ns}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
-\\
-\operatorname{cn}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
-\\
-\operatorname{dn}'(u,k)
-&=
--k^2
-\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
-&&&
-\operatorname{nd}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^2
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
-\\
-\operatorname{sc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-&&&
-\operatorname{cs}'(u,k)
-&=
--
-\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-\\
-\operatorname{cd}'(u,k)
-&=
--k^{\prime2}
-\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-&&&
-\operatorname{dc}'(u,k)
-&=
-\phantom{-}
-k^{\prime2}
-\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-\\
-\operatorname{ds}'(d,k)
-&=
--
-\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-&&&
-\operatorname{sd}'(d,k)
-&=
-\phantom{-}
-\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-\end{aligned}
-\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
-\end{equation}
-finden.
-Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
-zweiten Buchstaben haben.
-
-\subsubsection{TODO}
-XXX algebraische Beziehungen \\
-XXX Additionstheoreme \\
-XXX Perioden
-% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
-
-
-XXX Ableitungen \\
-XXX Werte \\
-
-%
-% Lösung von Differentialgleichungen
-%
-\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen}
-Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
-Differentialgleichungen in geschlossener Form.
-Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
-\(
-\ddot{x}(t)
-=
-p(x(t))
-\)
-mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
-
-%
-% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
-%
-\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
-Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
-können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
-finden.
-Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
-man
-\[
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-=
-\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
-\]
-Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
-ausgedrückt werden.
-\begin{align*}
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
-\biggr)
-\\
-&=
-k^2\operatorname{sn}(u,k)^4
--(1+k^2)
-\operatorname{sn}(u,k)^2
-+1.
-\end{align*}
-Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung
-\begin{align*}
-\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-&=
--\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
-\\
-\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
-&=
-\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-\\
-&=
-\biggl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\biggl(1-k^2+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\biggr)
-\\
-&=
--k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
--
-(1-k^2-k^2)\operatorname{cn}(u,k)^2
-+
-(1-k^2)
-\\
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-&=
--k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-\\
-\biggl(
-\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-\biggr)^2
-&=
-\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
-\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-\\
-&=
-\biggl(
-1-\operatorname{dn}(u,k)^2
-\biggr)
-\biggl(
-\operatorname{dn}(u,k)^2-k^2+1
-\biggr)
-\\
-&=
--\operatorname{dn}(u,k)^4
--
-2\operatorname{dn}(u,k)^2
--k^2+1.
-\end{align*}
-\begin{table}
-\centering
-\renewcommand{\arraystretch}{2}
-\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
-\hline
-\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\
-\hline
-\operatorname{sn}(u,k)
- & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
- &k^2&1&1 &+&+&+
-\\
-\operatorname{cn}(u,k)
- &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2)
- &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+
-\\
-\operatorname{dn}(u,k)
- & y'^2 = -(1-y^2)(1-k^2-y^2)
- &1 &1-k^2 &-(1-k^2)&+&+&-
-\\
-\hline
-\end{tabular}
-\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
-nichtlineare Differentialgleichungen der Art
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
-Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
-muss.
-\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
-\end{table}
-
-Die elliptischen Funktionen genügen also alle einer nichtlinearen
-Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
-Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
-Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{zn}(u,k)$,
-wenn wir eine beliebige der drei Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$,
-$\operatorname{cn}(u,k)$
-oder
-$\operatorname{dn}(u,k)$
-meinen.
-Die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ ist also Lösung der
-Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\operatorname{zn}'(u,k)^2
-=
-\alpha \operatorname{zn}(u,k)^4 + \beta \operatorname{zn}(u,)^2 + \gamma,
-\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-\end{equation}
-wobei wir mit $\operatorname{zn}'(u,k)$ die Ableitung von
-$\operatorname{zn}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
-Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
-vor allem aber haben Sie verschiedene Vorzeichen.
-Je nach Vorzeichen sind also eine andere elliptische Funktion als
-Lösung zu verwenden.
-
-%
-% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
-%
-\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
-Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
-Zusammenhang zwischen den Funktionen
-$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
-und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
-Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{d y}{d u}
-\biggr)^2
-=
-p(u),
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
-Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
-Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
-Wurzel
-\begin{align}
-\frac{dy}{du}
-=
-\sqrt{p(y)}
-\notag
-\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
-\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
-\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
-\end{align}
-Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
-von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
-das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
-Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
-Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-ist daher
-\[
-y(u) = F^{-1}(u+C).
-\]
-Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
-der unvollständigen elliptischen Integrale.
-
-\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-Leitet die Differentialgleichung ~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
-\[
-2\operatorname{zn}''(u,k)\operatorname{zn}'(u,k)
-=
-4\alpha \operatorname{zn}(u,k)^3\operatorname{zn}'(u,k) + 2\beta \operatorname{zn}'(u,k)\operatorname{zn}(u,k).
-\]
-Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{zn}'(u,k)$,
-bleibt die nichtlineare
-Differentialgleichung
-\[
-\frac{d^2\operatorname{zn}}{du^2}
-=
-\beta \operatorname{zn} + 2\alpha \operatorname{zn}^3.
-\]
-Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer
-Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
-
-%
-% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
-%
-\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
-Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\biggl(
-\frac{dx}{dt}
-\biggr)^2
-=
-Ax^4+Bx^2 + C
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-\end{equation}
-mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
-Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
-\begin{equation}
-x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
-\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
-\end{equation}
-ist.
-Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
-\[
-\dot{x}(t)
-=
-a\operatorname{zn}'(bt,k).
-\]
-
-Indem wir diesen Lösungsansatz in die
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-einsetzen, erhalten wir
-\begin{equation}
-a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
-=
-a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+C
-\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
-\end{equation}
-Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
-Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-erfüllt.
-Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
-die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
-Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
-\[
-\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+\frac{C}{a^2b^2}
-=
-\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
-+
-\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
-+
-\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
-\]
-Daraus ergeben sich die Gleichungen
-\begin{align}
-\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
-&
-\beta &= \frac{B}{b^2}
-&&\text{und}
-&
-\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
-Differentialgleichung}
-A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
-&
-B&=\beta b^2
-&&\text{und}&
-C &= \gamma a^2b^2
-\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-\end{align}
-für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
-Funktion.
-
-Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die
-Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
-$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
-wird, die immer positiv sind.
-Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
-
-In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
-es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
-Es folgt, dass die Gleichungen
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-auch $a$ und $b$ bestimmen.
-Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
-\[
-b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
-\]
-Damit folgt dann aus der zweiten
-\[
-a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
-\]
-Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
-Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
-Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
-
-\begin{beispiel}
-Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
-Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
-dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
-werden muss.
-Die Tabelle sagt dann auch, dass
-$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
-Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-folgt dann der Reihe nach
-\begin{align*}
-b&=\pm \sqrt{B}
-\\
-a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
-\\
-k^2
-&=
-\frac{AC}{B^2}.
-\end{align*}
-Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
-\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-erhalten kann, nämlich
-\[
-\frac{AC}{B^2}
-=
-\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
-=
-\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Da alle Parameter im
-Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
-festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
-Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
-Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
-autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
-sind nicht von der Zeit abhängig.
-Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
-Lösung der Differentialgleichung.
-Die allgmeine Lösung der
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
-also die Form
-\[
-x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
-\]
-wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
-von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
-
-%
-% Das mathematische Pendel
-%
-\subsection{Das mathematische Pendel
-\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
-\caption{Mathematisches Pendel
-\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
-\end{figure}
-Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
-Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
-im Punkt $P$,
-der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
-verbunden ist.
-Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
-
-Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
-\(
-I=ml^2
-\).
-Das Drehmoment der Schwerkraft ist
-\(M=gl\sin\vartheta\).
-Die Bewegungsgleichung wird daher
-\[
-\begin{aligned}
-\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
-&=
-M
-=
-gl\sin\vartheta
-\\
-ml^2\ddot{\vartheta}
-&=
-gl\sin\vartheta
-&&\Rightarrow&
-\ddot{\vartheta}
-&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
-\end{aligned}
-\]
-Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
-wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
-der elliptischen Funktionen vergleichen können.
-
-Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
-enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
-In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
-enthält.
-Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
-Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
-Dies führt auf
-\[
-E_{\text{kinetisch}}
-+
-E_{\text{potentiell}}
-=
-\frac12I\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
-+
-mgl(1-\cos\vartheta)
-=
-E
-\]
-Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
-Differentialgleichung
-\[
-\dot{\vartheta}^2
-=
--
-\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
-+\frac{2E}{ml^2}
-\]
-finden.
-In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
-Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies
-tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
-elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
-Lösung konstruieren.
-
-Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
-über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist
-$E=2lmg$.
-Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen
-der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
-bleibt.
-Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
-Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
-höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
-
-%
-% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
-%
-\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
-Wir verwenden als neue Variable
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
-\]
-Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
-$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
-
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac14
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\cdot
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac14
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{1}{4}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-\end{align*}
-Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
-für elliptische Funktionen.
-Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
-Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
-Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
-$1$ sein muss.
-
-%
-% Der Fall E < 2mgl
-%
-\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
-\caption{%
-Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
-verschiedene Werte von $k^2=m$.
-Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$,
-$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
-sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
-Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
-von den trigonometrischen Funktionen ab,
-es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
-Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
-Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
-die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
-erreichen kann, was es für $m$ macht.
-\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
-\end{figure}
-
-
-Wir verwenden als neue Variable
-\[
-y = \sin\frac{\vartheta}2
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-\]
-Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-
-Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-\[
-\cos\vartheta
-=
-1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-=
-1-2y^2.
-\]
-Dies können wir zusammen mit der
-Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-\[
-\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
-\]
-Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-Wir erhalten
-\begin{align*}
-\frac12ml^2
-\cos^2\frac{\vartheta}2
-\dot{\vartheta}^2
-&=
-(1-y^2)
-(E -mgly^2)
-\\
-\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
-&=
-\frac{1}{2}
-(1-y^2)
-\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
-\\
-\dot{y}^2
-&=
-\frac{E}{2ml^2}
-(1-y^2)\biggl(
-1-\frac{2gml}{E}y^2
-\biggr).
-\end{align*}
-Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
-Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
-
-%
-% Der Fall E > 2mgl
-%
-\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
-In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
-kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
-Indem wir die Gleichung
-
-XXX Differentialgleichung \\
-XXX Mathematisches Pendel \\
-\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
-\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
-XXX Möbius-Transformation \\
-XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index 7083b63..04c137d 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -12,33 +12,70 @@ veröffentlich hat.
In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen
elliptischen Funktionen hergestellt werden.
+%
+% Lemniskate
+%
\subsection{Lemniskate
\label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}}
+Die {\em Lemniskate von Bernoulli} ist die Kurve vierten Grades
+mit der Gleichung
+\index{Lemniskate von Bernoulli}%
+\begin{equation}
+(X^2+Y^2)^2 = 2a^2(X^2-Y^2).
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+\end{equation}
+Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
+dargestellt.
+Der Fall $a=1/\!\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
+\[
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
+\]
+wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}.
+
+\subsubsection{Scheitelpunkte}
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\!\sqrt{2}$.
+Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht
+\begin{equation}
+\biggl(
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
++
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggr)^2
+=
+2\frac{a^2}{2a^2}\biggl(
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
+-
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggr).
+\qquad
+\Leftrightarrow
+\qquad
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
+\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
+\end{equation}
+wobei wir $x=X/a\!\sqrt{2}$ und $y=Y/a\!\sqrt{2}$ gesetzt haben.
+In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel
+bei $\pm 1$.
+Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
+Sinus und Kosinus verwendet werden soll.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemniskate.pdf}
\caption{Bogenlänge und Radius der Lemniskate von Bernoulli.
\label{buch:elliptisch:fig:lemniskate}}
\end{figure}
-Die Lemniskate von Bernoulli ist die Kurve vierten Grades mit der Gleichung
-\begin{equation}
-(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2).
-\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
-\end{equation}
-Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
-dargestellt.
-Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $x=\pm a/\sqrt{2}$.
+\subsubsection{Polarkoordinaten}
In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
-gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
\begin{equation}
r^4
=
-2a^2r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
+r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)
=
-2a^2r^2\cos2\varphi
+r^2\cos2\varphi
\qquad\Rightarrow\qquad
-r^2 = 2a^2\cos 2\varphi
+r^2 = \cos 2\varphi
\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatepolar}
\end{equation}
als Darstellung der Lemniskate in Polardarstellung.
@@ -46,20 +83,180 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
Blatt der Lemniskate.
-Für die Definition des lemniskatischen Sinus wird eine Skalierung
-verwendet, die den rechten Scheitel im Punkt $(1,0)$.
-Dies ist der Fall für $a=1/\sqrt{2}$, die Gleichung der Lemniskate
-wird dann zu
+%
+% Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid
+%
+\subsubsection{Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid}
+\begin{figure}
+\center
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf}
+\caption{Leminiskate (rot) als Projektion (gelb) der Schnittkurve (pink)
+eines geraden
+Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau).
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}}
+\end{figure}%
+\index{Kegel}%
+\index{Paraboloid}%
+Schreibt man in der Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+für die Klammer auf der rechten Seite $Z^2 = X^2 - Y^2$, dann wird die
+Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittkurve der Flächen,
+die durch die Gleichungen
+\begin{equation}
+X^2-Y^2 = Z^2
+\qquad\text{und}\qquad
+(X^2+Y^2) = R^2 = \!\sqrt{2}aZ
+\label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
+\end{equation}
+beschrieben wird.
+Die linke Gleichung in
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
+beschreibt einen geraden Kreiskegel, die rechte ist ein Rotationsparaboloid.
+Die Schnittkurve ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}
+dargestellt.
+
+\subsubsection{Schnitt eines Torus mit einer Ebene}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf}
+\caption{Die Schnittkurve (rot) eines Torus (grün)
+mit einer zur Torusachse parallelen Ebene (blau),
+die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}}
+\end{figure}
+\index{Torus}%
+Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus
+parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt},
+entsteht ebenfalls eine Lemniskate, wie in diesem Abschnitt nachgewiesen
+werden soll.
+
+Der in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
+dargestellte Torus mit den Radien $2$ und $1$ hat als Achse die
+um eine Einheit in $Z$-Richtung verschobene $Y$-Achse und die
+$X$-$Z$-Ebene als Äquatorebene.
+Der Torus kann mit
+\[
+(u,v)
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+(2+\cos u) \cos v \\
+ \sin u \\
+(2+\cos u) \sin v + 1
+\end{pmatrix}
+\]
+parametrisiert werden, die $u$- und $v$-Koordinatenlinien sind
+in der Abbildung gelb eingezeichnet.
+Die $v$-Koordinatenlinien sind Breitenkreise um die Achse des Torus.
+Aus $u=0$ und $u=\pi$ ergeben sich die Äquatoren des Torus.
+
+Die Gleichung $Z=0$ beschreibt eine achsparallele Ebene, die den
+inneren Äquator berührt.
+Die Schnittkurve erfüllt daher
\[
-(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2).
+(2+\cos u)\sin v + 1 = 0,
\]
+was wir auch als $2 +\cos u = -1/\sin v$ schreiben können.
+Wir müssen nachprüfen, dass die Koordinaten
+$X=(2+\cos u)\cos v$ und $Y=\sin u$ die Gleichung einer Lemniskate
+erfüllen.
-\subsubsection{Bogelänge}
+Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch
+$\sin v$ ausdrücken und erhalten
+\begin{equation}
+X
+=
+(2+\cos u) \cos v
+=
+-\frac{1}{\sin v}\cos v
+=
+-\frac{\cos v}{\sin v}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+X^2
+=
+\frac{\cos^2v}{\sin^2 v}
+=
+\frac{1-\sin^2v}{\sin^2 v}.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
+\end{equation}
+Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $v$ ausdrücken,
+nämlich
+\begin{equation}
+Y^2=\sin^2 u = 1-\cos^2 u
+=
+1-
+\biggl(
+\frac{1}{\sin v}
+-2
+\biggr)^2
+=
+\frac{-3\sin^2 v+4\sin v-1}{\sin^2 v}.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
+\end{equation}
+Die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
+und
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
+zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin v$
+parametrisieren kann.
+Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin v$
+und erhalten zusammenfassend
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X^2
+&=
+\frac{1-S^2}{S^2}
+\\
+Y^2
+&=
+\frac{-3S^2+4S-1}{S^2}.
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Daraus kann man jetzt die Summen und Differenzen der Quadrate
+berechnen, sie sind
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X^2+Y^2
+&=
+\frac{-4S^2+4S}{S^2}
+=
+\frac{4S(1-S)}{S^2}
+=
+\frac{4(1-S)}{S}
+=
+4\frac{1-S}{S}
+\\
+X^2-Y^2
+&=
+\frac{2-4S+2S^2}{S^2}
+=
+\frac{2(1-S)^2}{S^2}
+=
+2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2.
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt die Gleichung
+\[
+(X^2+Y^2)^2
+=
+16
+\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
+=
+8 \cdot 2
+\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
+=
+2\cdot 2^2\cdot (X^2-Y^2).
+\]
+Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
+
+%
+% Bogenlänge der Lemniskate
+%
+\subsection{Bogenlänge}
Die Funktionen
\begin{equation}
-x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
+x(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
\quad
-y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
+y(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
\label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
\end{equation}
erfüllen
@@ -74,9 +271,9 @@ r^4
=
(x(r)^2 + y(r)^2)^2,
\end{align*}
-sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar.
+sie stellen also eine Parametrisierung der Standard-Lemniskate dar.
-Mit Hilfe der Parametrsierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
+Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
dargestellten Bogens der Lemniskate berechnen.
Dazu benötigt man die Ableitungen nach $r$, die man mit der Produkt- und
@@ -84,9 +281,9 @@ Kettenregel berechnen kann:
\begin{align*}
\dot{x}(r)
&=
-\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1+r^2}}{\!\sqrt{2}}
+
-\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
+\frac{r^2}{\!\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
&&\Rightarrow&
\dot{x}(r)^2
&=
@@ -94,13 +291,13 @@ Kettenregel berechnen kann:
\\
\dot{y}(r)
&=
-\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1-r^2}}{\!\sqrt{2}}
-
\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}}
&&\Rightarrow&
\dot{y}(r)^2
&=
-\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}
+\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}.
\end{align*}
Die Summe der Quadrate ist
\begin{align*}
@@ -119,53 +316,371 @@ Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man
s(r)
=
\int_0^r
-\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt.
+\frac{1}{\!\sqrt{1-t^4}}\,dt.
\label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
\end{equation}
-\subsubsection{Darstellung als elliptisches Integral}
+%
+% Als elliptisches Integral
+%
+\subsection{Darstellung als elliptisches Integral}
Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter
-$m=-1$ ist
+$k^2=-1$ oder $k=i$ ist
\[
-K(r,-1)
+K(r,i)
+=
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
=
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
=
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{1-t^4}}
=
s(r).
\]
Der lemniskatische Sinus ist also eine Umkehrfunktion des
-ellptischen Integrals erster Art für einen speziellen Wert des
-Parameters $m$
+elliptischen Integrals erster Art für den speziellen Wert $i$ des
+Parameters $k$.
+
+Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
+und hat den numerischen Wert
+\begin{equation}
+\varpi
+=
+2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+=
+2.6220575542.
+\label{buch:elliptisch:eqn:varpi}
+\end{equation}
+$\varpi$ ist auch als die {\em lemniskatische Konstante} bekannt.
+\index{lemniskatische Konstante}%
+Der Lemniskatenbogen zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
+$\varpi/2$.
-\subsubsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
-Berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises.
+%
+% Bogenlängenparametrisierung
+%
+\subsection{Bogenlängenparametrisierung}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf}
+\caption{Parametrisierung der Lemniskate mit Jacobischen elliptischen
+Funktion wie in \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara}}
+\end{figure}
+Die Lemniskate mit der Gleichung
+\[
+(X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2)
+\]
+(der Fall $a=1$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate})
+kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen
+parametrisiert werden.
+Dazu schreibt man
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+X(t)
+&=
+\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{dn}(t,k)
+\\
+Y(t)
+&=
+\phantom{\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k)
+\end{aligned}
+\quad\right\}
+\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.$}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+\end{equation}
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
+Parametrisierung.
+Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt
+$S=(\!\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+
+%
+% Lemniskatengleichung
+%
+\subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung}
+Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+tatsächlich eine Parametrisierung ist, kann dadurch nachgewiesen werden,
+dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
+Lemniskate berechnet.
+Zunächst sind die Quadrate von $X(t)$ und $Y(t)$
+\begin{align*}
+X(t)^2
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)^2
+\\
+Y(t)^2
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{sn}(t,k)^2.
+\intertext{Für Summe und Differenz der Quadrate findet man jetzt}
+X(t)^2+Y(t)^2
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+\underbrace{
+\operatorname{dn}(t,k)^2
++{\textstyle\frac12}
+\operatorname{sn}(t,k)^2
+}_{\displaystyle =1}
+\bigr)
+%\\
+%&
+=
+2\operatorname{cn}(t,k)^2
+\\
+X(t)^2-Y(t)^2
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+2\operatorname{dn}(t,k)^2 - \operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+\operatorname{cn}(t,k)^2
+\bigl(
+2\bigl({\textstyle\frac12}+{\textstyle\frac12}\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr)
+-
+\bigl(1-\operatorname{cn}(t,k)^2\bigr)
+\bigr)
+\\
+&=
+2\operatorname{cn}(t,k)^4.
+\intertext{Beide lassen sich also durch $\operatorname{cn}(t,k)^2$
+ausdrücken.
+Zusammengefasst erhält man}
+\Rightarrow\qquad
+(X(t)^2+Y(t)^2)^2
+&=
+4\operatorname{cn}(t,k)^4
+=
+2(X(t)^2-Y(t)^2),
+\end{align*}
+eine Lemniskaten-Gleichung.
+
+%
+% Berechnung der Bogenlänge
+%
+\subsubsection{Berechnung der Bogenlänge}
+Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung
+der Lemniskate ist.
+Dazu berechnen wir die Ableitungen
+\begin{align*}
+\dot{X}(t)
+&=
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
++
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
+\\
+&=
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
+-\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2
+\\
+&=
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
+1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+&=
+\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)
+\\
+\dot{Y}(t)
+&=
+\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k)
++
+\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{sn}'(t,k)
+\\
+&=
+-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)
++\operatorname{cn}(t,k)^2
+\operatorname{dn}(t,k)
+\\
+&=
+\operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\intertext{und davon die Quadrate}
+\dot{X}(t)^2
+&=
+2\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)^2
+\\
+&=
+{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
+-
+6\operatorname{sn}(t,k)^4
++2\operatorname{sn}(t,k)^6
+\\
+\dot{Y}(t)^2
+&=
+\bigl(1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\bigl(1-2\operatorname|{sn}(t,k)^2\bigr)^2
+\\
+&=
+1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
++6\operatorname{sn}(t,k)^4
+-2\operatorname{sn}(t,k)^6.
+\intertext{Für das Bogenlängenintegral wird die Quadratsumme der Ableitungen
+benötigt, diese ist}
+\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2
+&=
+1.
+\intertext{Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den
+Parameterwerten $0$ und $t$}
+\int_0^t
+\sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2}
+\,d\tau
+&=
+\int_0^s\,d\tau
+=
+t,
+\end{align*}
+der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
+
+%
+% Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate
+%
+\subsubsection{Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate}
+Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der
+Gleichung
+\[
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2
+\]
+hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+x(t)
+&=
+\phantom{\frac{1}{\!\sqrt{2}}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)
+\\
+y(t)
+&=
+\frac{1}{\!\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad
+\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\!\sqrt{2}}.$}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+\end{equation}
+Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate.
+Der Parameter misst also die Bogenlänge entlang der Lemniskate ausgehend
+vom Scheitel.
+
+%
+% der lemniskatische Sinus und Kosinus
+%
+\subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
+Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des
+Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete
+die Bogenlänge zuordnet.
Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in
\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
-$r=\operatorname{sl} s$.
+\index{lemniskatischer Sinus}%
+\index{Sinus, lemniskatischer}%
+$r=r(s)=\operatorname{sl} s$.
+\index{komplementäre Bogenlänge}
+%
+% die komplementäre Bogenlänge
+%
+\subsubsection{Die komplementäre Bogenlänge}
Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
-komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
-dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
-Die Länge des rechten Blattes der Lemniskate wird mit $\varpi$ bezeichnet
-und hat den numerischen Wert
+komplementäre Bogenlänge $t$ definieren, nämlich die Bogenlänge
+zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$.
+Dies ist der Parameter der Parametrisierung
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+des vorangegangenen Abschnittes.
+Die Bogenlänge zwischen $O=(0,0)$ und $S=(1,0)$ wurde in
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet,
+sie ist $\varpi/2$.
+Damit folgt für die beiden Parameter $s$ und $t$ die Beziehung
+$t = \varpi/2 - s$.
+
+\subsubsection{Der lemniskatische Kosinus}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
+\caption{
+Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
+mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die
+gleichen Nullstellen haben.
+\label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
+\end{figure}
+Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher
+$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$.
+Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
+
+Die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+ist eine Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate.
+Man kann sie verwenden, um $r(t)$ zu berechnen.
+Es ist
\[
-\varphi
+r(t)^2
=
-2\int_0^1\sqrt{\frac{1}{1-t^4}}\,dt
+x(t)^2 + y(t)^2
=
-2.6220575542.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
+\biggl(
+\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
++
+\frac12
+\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
+\biggr)
+=
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2.
\]
-Lemniskatenbogens zwischen dem Nullpunkt und $(1,0)$ hat die Länge
-$\varpi/2$.
+Die Wurzel ist
+\[
+r(t)
+=
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\!\sqrt{2}}})
+.
+\]
+Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von
+$s=\varpi/2-t$ mittels
+\[
+\operatorname{sl}s
+=
+r(s)
+=
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
+\]
+definiert.
+Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus
+\index{lemniskatischer Kosinus}%
+\index{Kosinus, lemniskatischer}%
+der komplementären Bogenlänge, also
+\[
+\operatorname{cl}(s)
+=
+\operatorname{sl}(\varpi/2-s)
+=
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)^2.
+\]
+Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind
+in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
+Sie sind beide $2\varpi$-periodisch.
+Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$
+und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind.
+
+Die Darstellung des lemniskatischen Sinus und Kosinus durch die
+Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)$
+zeigt einmal mehr den Nutzen der Jacobischen elliptischen Funktionen.
+
-Der {\em lemniskatische Kosinus} von $s$ ist derjenige Radiuswert $r$,
-für den der Lemniskatenbogen zwischen $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$
-die Länge $s$ hat.
-XXX Algebraische Beziehungen \\
-XXX Ableitungen \\
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
new file mode 100644
index 0000000..e029ffd
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
@@ -0,0 +1,325 @@
+%
+% mathpendel.tex -- Das mathematische Pendel
+%
+% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+
+\subsection{Das mathematische Pendel
+\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
+\caption{Mathematisches Pendel
+\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
+\end{figure}
+Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
+Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
+im Punkt $P$,
+der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
+verbunden ist.
+Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
+
+Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
+\(
+I=ml^2
+\).
+Das Drehmoment der Schwerkraft ist
+\(M=gl\sin\vartheta\).
+Die Bewegungsgleichung wird daher
+\[
+\begin{aligned}
+\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
+&=
+M
+=
+gl\sin\vartheta
+\\
+ml^2\ddot{\vartheta}
+&=
+gl\sin\vartheta
+&&\Rightarrow&
+\ddot{\vartheta}
+&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
+\end{aligned}
+\]
+Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
+wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
+der elliptischen Funktionen vergleichen können.
+
+Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
+enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
+In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
+enthält.
+Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
+Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
+Dies führt auf
+\begin{equation}
+E_{\text{kinetisch}}
++
+E_{\text{potentiell}}
+=
+\frac12I\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
++
+mgl(1-\cos\vartheta)
+=
+E.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung}
+\end{equation}
+Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
+Differentialgleichung
+\[
+\dot{\vartheta}^2
+=
+-
+\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
++\frac{2E}{ml^2}
+\]
+finden.
+In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
+Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt, ist dies
+tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
+elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
+Lösung konstruieren.
+
+Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
+über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist
+$E=2lmg$.
+Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen
+der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
+bleibt.
+Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
+Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
+höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
+
+
+%
+% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
+%
+\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
+Wir verwenden als neue Variable
+\begin{align}
+y
+&=
+\sin\frac{\vartheta}2
+&&\Rightarrow&
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+&=
+1-y^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydef}
+\intertext{Die Ableitung ist}
+\dot{y}
+&=
+\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}
+&&\Rightarrow&
+\dot{y}^2
+&=
+\frac14\cos^2\frac{\vartheta}2\cdot\dot{\vartheta}^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:yabl}
+\intertext{%
+Man beachte, dass die Koordinate senkrecht zur $x$-Achse in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} die Auslenkung
+$l\sin\vartheta$ ist, $y$ ist also nicht die Auslenkung senkrecht
+zur $x$-Achse!
+Aus den Halbwinkelformeln finden wir ausserdem
+}
+\cos\vartheta
+&=
+1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
+=
+1-2y^2
+&&\Rightarrow&
+1-\cos\vartheta
+&=
+2y^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:halbwinkel}
+\end{align}
+Die Grösse $1-\cos\vartheta$ haben wir in der Energiegleichung
+\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung}
+bereits angetroffen.
+
+Die Identitäten
+\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:halbwinkel}
+%und
+%\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydef}
+können wir jetzt in die
+Energiegleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:energiegleichung}
+einsetzen und erhalten
+\begin{align}
+\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + 2mgly^2
+&=
+E
+\intertext{und nach Division durch $2ml^2$}
+\frac14 \dot{\vartheta}^2
+&=
+\frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{l}y^2.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:thetadgl}
+\end{align}
+%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
+%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
+Durch Multiplizieren mit der rechten Gleichung von
+\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydef}
+erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
+mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:mathpendel:yabl}
+als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
+Wir erhalten
+\begin{align}
+\underbrace{\frac14
+\cos^2\frac{\vartheta}2
+\cdot
+\dot{\vartheta}^2}_{\displaystyle=\dot{y}^2}
+&=
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\notag
+\\
+\dot{y}^2
+&=
+(1-y^2)
+\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl}
+\end{align}
+Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
+für elliptische Funktionen.
+Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der relativen
+Grösse der Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
+
+%
+% Zeittransformation zur Elimination des konstanten Faktors
+%
+\subsubsection{Zeittransformation}
+Die Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl} kann auch in
+die Form
+\begin{equation}
+\frac{2ml^2}{E}\dot{y}^2
+=
+(1-y^2)\biggl(1-\frac{2mgl}{E}y^2\biggr)
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl2}
+\end{equation}
+gebracht werden.
+Der konstante Faktor auf der linken Seite kann wie in der Diskussion
+des anharmonischen Oszillators durch eine lineare
+Transformation der Zeit zum Verschwinden gebracht werden.
+Dazu setzt man $z(t) = y(bt)$ und bekommt
+\[
+\frac{d}{dt}z(t)
+=
+\frac{d}{dt}y(bt) \frac{d\,bt}{dt}
+=
+b\,\dot{y}(bt).
+\]
+Die Zeit muss also mit dem Faktor $\sqrt{2ml^2/E}$ skaliert werden.
+
+%
+% Nullstellen der rechten Seite der Differentialgleichung
+%
+\subsubsection{Nullstellen der rechten Seite}
+Die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:mathpendel:ydgl2}
+hat die beiden Nullstellen $1$ und
+\begin{equation}
+y_0=\sqrt{\frac{E}{2mgl}}.
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:y0}
+\end{equation}
+Die Differentialgleichung kann damit als
+\begin{equation}
+\dot{y}^2
+=
+(1-y^2)\biggl(1-\frac{1}{y_0^2}y^2\biggr)
+\label{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl}
+\end{equation}
+geschrieben werden.
+Da die linke Seite $\ge 0$ sein muss, muss
+\(
+y\le \min(1,y_0)
+\)
+sein.
+Damit ergeben sich zwei Fälle.
+Wenn $y_0<1$ ist, dann schwingt das Pendel.
+Der Fall $y_0>1$ entspricht einer Bewegung, bei der das Pendel
+um den Punkt $O$ rotiert.
+In den folgenden zwei Abschnitten werden die beiden Fälle ausführlicher
+diskutiert.
+
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
+\caption{%
+Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
+verschiedene Werte von $k^2=m$.
+Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$,
+$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
+sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
+Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
+von den trigonometrischen Funktionen ab,
+es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
+Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
+Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
+die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
+erreichen kann, was es für $m$ macht.
+\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Der Fall $E>2mgl$}
+In diesem Fall ist die zweite Nullstelle $y_0>1$ oder $1/y_0^2 < 1$.
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl}
+sieht ganz ähnlich aus wie die Differentialgleichung der
+Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$, tatsächlich wird sie zur
+Differentialgleichung von $\operatorname{sn}(u,k)$ wenn man
+\[
+k^2
+=
+1/y_0^2
+=
+\frac{2mgl}{E}
+\]
+wählt.
+In diesem Fall ist also $y=\operatorname{sn}(u,1/y_0)$ eine Lösung
+der Differentialgleichung, wobei $u$ eine lineare Funktion der Zeit
+ist.
+
+Wenn $y_0 \gg 1$ ist, dann ist $k\approx 0$ und die Bewegung ist
+entspricht einer gleichförmigen Kreisbewegung.
+Je näher $y_0$ an $1$ liegt, desto näher an $1$ ist auch $k$ und
+desto grösser wird die Verlangsamung der Bewgung in der Nähe des
+Scheitels, das Pendel verweilt sehr lange.
+Dies äussert sich in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}
+durch die lange Verweildauer der Funktion nahe der Extrema.
+
+%
+% Der Fall E < 2mgl
+%
+\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
+In diesem Fall ist $y_0<1$ und die
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:mathpendel:y0dgl}
+sieht zwar immer noch wie eine Differentialgleichung für
+$\operatorname{sn}(u,k)$ aus, aber die Lage der Nullstellen
+der rechten Seite ist verkehrt.
+Indem wir $y=y_0z$ schreiben, erhalten wir
+\begin{equation}
+\dot{y}^2
+=
+y_0^2 \dot{z}^2
+=
+(1-y_0^2z^2)(1-z^2).
+\end{equation}
+Wieder kann durch eine lineare Transformation der Zeit der Faktor $y_0^2$
+auf der linken Seite zum Verschwinden gebracht werden, es bleibt
+die Differentialgleichung der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
+mit $k=y_0$.
+Daraus liest man ab, dass $y_0\operatorname{sn}(u,k)$ die Bewegung
+des Pendels im oszillatorischen Fall beschreibt, wobei $u$ wieder
+eine lineare Funktion der Zeit ist.
+
+Wenn $y_0\ll 1$ ist, dann ist auch $k$ sehr klein und die lineare
+Näherung ist sehr gut, das Pendel verhält sich wie ein harmonischer
+Oszillator mit einer Sinus-Schwingung als Lösung.
+Für $y_0=k$ nahe an $1$ dagegen erreicht die Schwingung fast den
+die maximale Höhe und wird dort sehr langsam.
+Dies äussert sich in Abbildung~
+Dies äussert sich in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}
+wiederum durch die lange Verweildauer der Funktion nahe der Extrema.
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
index 8e4b39f..af094c6 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:1}
In einem anharmonische Oszillator oszilliert eine Masse $m$ unter dem
Einfluss einer Kraft, die nach dem Gesetz
\[
@@ -28,9 +29,11 @@ for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
$\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben.
\item
Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die
-Geschwindigkeit verschwindet.
+Geschwindigkeit $\dot{x}(t)$ verschwindet.
Leiten Sie die Amplitude aus der Differentialgleichung von
-\ref{buch:1101:basic-dgl} ab.
+%\ref{buch:1101:basic-dgl}
+Teilaufgabe c)
+ab.
Sie erhalten zwei Werte $x_{\pm}$, wobei der kleinere $x_-$
die Amplitude einer beschränkten Schwingung beschreibt,
während die $x_+$ die minimale Ausgangsamplitude einer gegen
@@ -66,13 +69,16 @@ wobei $k^2=x_-^2/x_+^2$ und $A$ geeignet gewählt werden müssen.
\label{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
Verwenden Sie $t(\tau) = \alpha\tau$
und
-$Y(\tau)=X(t(\tau))$ um eine Differentialgleichung für die Funktion
-$Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
-von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat, für die also $A=0$ in
-\eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
+$Y(\tau)=X(t(\tau))=X(\alpha\tau)$ um eine Differentialgleichung für
+die Funktion $Y(\tau)$ zu gewinnen, die die Form der Differentialgleichung
+von $\operatorname{sn}(u,k)$ hat (Abschnitt
+\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}),
+für die also $A=0$ in \eqref{buch:1101:eqn:dgl3} ist.
\item
Verwenden Sie die Lösung $\operatorname{sn}(u,k)$ der in
-\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3} erhaltenen Differentialgleichung,
+Teilaufgabe h)
+%\ref{buch:1101:teilaufgabe:dgl3}
+erhaltenen Differentialgleichung,
um die Lösung $x(t)$ der ursprünglichen Gleichung aufzuschreiben.
\end{teilaufgaben}
@@ -262,15 +268,21 @@ Die Ableitung von $Y(\tau)=X(t(\tau))$ nach $\tau$ ist
=
\alpha
\dot{X}(t(\tau))
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{1}{\alpha^2}\frac{dY}{d\tau}
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha}\frac{dY}{d\tau}
=
-\dot{X}(t(\tau)).
+\dot{X}(t(\tau))
+\quad\Rightarrow\quad
+\frac{1}{\alpha^2}\biggl(\frac{dY}{d\tau}\biggr)^2
+=
+\dot{X}(t(\tau))^2.
\]
Die Differentialgleichung für $Y(\tau)$ ist
\[
-\frac{2mk^2}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\frac{2m}{\delta x_+^2\alpha^2}
+\biggl(
\frac{dY}{d\tau}
+\biggr)^2
=
(1-Y^2)(1-k^2Y^2).
\]
@@ -278,7 +290,7 @@ Der Koeffizient vor der Ableitung wird $1$, wenn man
\[
\alpha^2
=
-\frac{2mk^2}{\delta x_+^2}
+\frac{2m}{\delta x_+^2}
\]
wählt.
Diese Differentialgleichug hat die Lösung
@@ -294,9 +306,9 @@ x(t)
x_- X(t)
=
x_- \operatorname{sn}\biggl(
-t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2mk^2} }
+t\sqrt{\frac{\delta x_+^2}{2m} }
,k
-\biggr)
+\biggr).
\end{align*}
Das Produkt $\delta x_+^2$ kann auch als
\[
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..dbf184a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:2}%
+Die Landen-Transformation basiert auf der Iteration
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+k_{n+1}
+&=
+\frac{1-k_n'}{1+k_n'}
+&
+&\text{und}&
+k_{n+1}'
+&=
+\sqrt{1-k_{n+1}^2}
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration}
+\end{equation}
+mit den Startwerten $k_0 = k$ und $k_0' = \sqrt{1-k_0^2}$.
+Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz.
+
+\begin{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n & k & k'%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}%
+\\
+\hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\
+1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\
+2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\
+3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\
+4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$
+gemäss \eqref{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration}
+mit $k_0=0.2$
+\label{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch}}
+\end{table}
+Es ist klar, dass $k'_n\to 1$ folgt, wenn man zeigen kann, dass
+$k_n\to 0$ gilt.
+Wir berechnen daher
+\begin{align*}
+k_{n+1}
+&=
+\frac{1-k_n'}{1+k_n'}
+=
+\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
+\intertext{und erweitern mit dem Nenner $1+\sqrt{1-k_n^2}$ um}
+&=
+\frac{1-(1-k_n^2)}{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2}
+=
+\frac{ k_n^2 }{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2}
+\le
+k_n^2
+\end{align*}
+zu erhalten.
+Daraus folgt jetzt sofort die quadratische Konvergenz von $k_n$ gegen $0$.
+
+Ein einfaches numerisches Experiment (siehe
+Tabelle~\ref{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch})
+bestätigt die quadratische Konvergenz der Folgen.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex
new file mode 100644
index 0000000..a5d118f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex
@@ -0,0 +1,135 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:3}%
+Aus der in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} konstruierten Folge
+$k_n$ kann zu einem vorgegebenen $u$ ausserdem die Folge $u_n$
+mit der Rekursionsformel
+\[
+u_{n+1} = \frac{u_n}{1+k_{n+1}}
+\]
+und Anfangswert $u_0=u$ konstruiert werden.
+Die Landen-Transformation (siehe \cite[80]{buch:ellfun-applications})
+\index{Landen-Transformation}%
+führt auf die folgenden Formeln für die Jacobischen elliptischen Funktionen:
+\begin{equation}
+\left.\qquad
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}(u_n,k_n)
+&=
+\frac{
+(1+k_{n+1})\operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})
+}{
+1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}
+\\
+\operatorname{cn}(u_n,k_n)
+&=
+\frac{
+\operatorname{cn}(u_{n+1},k_{n+1})
+\operatorname{dn}(u_{n+1},k_{n+1})
+}{
+1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}
+\\
+\operatorname{dn}(u_n,k_n)
+&=
+\frac{
+1 - k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}{
+1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}
+\end{aligned}
+\qquad\right\}
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+\end{equation}
+Die Transformationsformeln
+\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+sind auch als Gauss-Transformation bekannt.
+\index{Gauss-Transformation}%
+Konstruieren Sie daraus einen numerischen Algorithmus, mit dem sich
+gleichzeitig die Werte aller drei Jacobischen elliptischen Funktionen
+für vorgegebene Parameterwerte $u$ und $k$ berechnen lassen.
+
+\begin{loesung}
+In der ersten Phase des Algorithmus werden die Folgen $k_n$ und $k_n'$
+sowie $u_n$ bis zum Folgenindex $N$ berechnet, bis $k_N\approx 0$
+angenommen werden darf.
+Dann gilt
+\begin{align*}
+\operatorname{sn}(u_N, k_N) &= \operatorname{sn}(u_N,0) = \sin u_N
+\\
+\operatorname{cn}(u_N, k_N) &= \operatorname{cn}(u_N,0) = \cos u_N
+\\
+\operatorname{dn}(u_N, k_N) &= \operatorname{dn}(u_N,0) = 1.
+\end{align*}
+In der zweiten Phase des Algorithmus können für absteigende
+$n$ jeweils die Formeln~\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+angewendet werden um nacheinander die Werte der Jacobischen
+elliptischen Funktionen für Argument $u_n$ und Parameter $k_n$
+für $n=N-1,N-2,\dots,0$ zu bekommen.
+\end{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\pfeil#1#2{
+ \fill[color=#1!30] (-0.5,1) -- (-0.5,-1) -- (-0.8,-1)
+ -- (0,-1.5) -- (0.8,-1) -- (0.5,-1) -- (0.5,1) -- cycle;
+ \node[color=white] at (0,-0.2) [scale=5] {\sf #2\strut};
+}
+\begin{scope}[xshift=-4.9cm,yshift=0.2cm]
+\pfeil{red}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-2.3cm,yshift=0.2cm]
+\pfeil{red}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0.35cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1]
+\pfeil{blue}{2}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2.92cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1]
+\pfeil{blue}{2}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.60cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1]
+\pfeil{blue}{2}
+\end{scope}
+
+\node at (0,0) {
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n & k_n & u_n & \operatorname{sn}(u_n,k_n) & \operatorname{cn}(u_n,k_n) & \operatorname{dn}(u_n,k_n)%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+%\small
+0 & 0.90000000000 & 0.60000000000 & 0.54228232286 & 0.84019633556 & 0.87281338478 \\
+1 & 0.39286445838 & 0.43076696830 & 0.41576897816 & 0.90947026163 & 0.98656969610 \\
+2 & 0.04188568608 & 0.41344935827 & 0.40175214109 & 0.91574844642 & 0.99985840483 \\
+3 & 0.00043898784 & 0.41326793867 & 0.40160428679 & 0.91581329801 & 0.99999998445 \\
+4 & 0.00000004817 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000 \\
+5 & 0.00000000000 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000 \\
+%N & 0.00000000000 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000%
+N & & 0.41326791876 & \sin u_N & \cos u_N & 1%
+%0 & 0.900000000000000 & 0.600000000000000 & 0.542282322869158 & 0.840196335569032 & 0.872813384788490 \\
+%1 & 0.392864458385019 & 0.430766968306220 & 0.415768978168966 & 0.909470261631645 & 0.986569696107075 \\
+%2 & 0.041885686080039 & 0.413449358275499 & 0.401752141098324 & 0.915748446421239 & 0.999858404836479 \\
+%3 & 0.000438987841605 & 0.413267938675096 & 0.401604286793186 & 0.915813298019491 & 0.999999984459261 \\
+%4 & 0.000000048177586 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\
+%5 & 0.000000000000001 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\
+%N & 0.000000000000000 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\end{tabular}
+};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Durchführung des auf der Landen-Transformation basierenden
+Algorithmus zur Berechnung der Jacobischen elliptischen Funktionen
+für $u=0.6$ und $k=0.9$.
+Die erste Phase (rot) berechnet die Folgen $k_n$ und $u_n$, die zweite
+(blau)
+transformiert die Wert der trigonometrischen Funktionen in die Werte
+der Jacobischen elliptischen Funktionen.
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:3:resultate}}
+\end{table}
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
new file mode 100644
index 0000000..8814090
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:4}
+Es ist bekannt, dass $\operatorname{sn}(K+iK', k) = 1/k$ gilt.
+Verwenden Sie den Algorithmus von Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3},
+um dies für $k=\frac12$ nachzurechnen.
+
+\begin{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\renewcommand{\tabcolsep}{5pt}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+ n & k_n & u_n & \operatorname{sn}(u_n,k_n)%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}%
+\\
+\hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+ 0 & 0.500000000000000 & 1.685750354812596 + 2.156515647499643i & 2.000000000000000 \\
+ 1 & 0.071796769724491 & 1.572826493259468 + 2.012056490946491i & 3.732050807568877 \\
+ 2 & 0.001292026239995 & 1.570796982340579 + 2.009460215619685i & 3.796651109009551 \\
+ 3 & 0.000000417333300 & 1.570796326794965 + 2.009459377005374i & 3.796672364209438 \\
+ 4 & 0.000000000000044 & 1.570796326794897 + 2.009459377005286i & 3.796672364211658 \\
+ N & 0.000000000000000 & 1.570796326794897 + 2.009459377005286i & 3.796672364211658%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}%
+\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(K+iK',k)=1/k$ mit Hilfe der Landen-Transformation.
+Konvergenz der Folge $k_n$ ist bei $N=5$ eintegreten.
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:4:table}}
+\end{table}
+Zunächst müssen wir mit dem Algorithmus des arithmetisch-geometrischen
+Mittels
+\[
+K(k)
+\approx
+1.685750354812596
+\qquad\text{und}\qquad
+K(k')
+\approx
+2.156515647499643
+\]
+berechnen.
+Aus $k=\frac12$ kann man jetzt die Folgen $k_n$ und $u_n$ berechnen, die innert
+$N=5$ Iterationen konvergiert.
+Sie führt auf
+\[
+u_N
+=
+\frac{\pi}2 + 2.009459377005286i
+=
+\frac{\pi}2 + bi.
+\]
+Jetzt muss der Sinus von $u_N$ berechnet werden.
+Dazu verwenden wir die komplexe Darstellung:
+\[
+\sin u_N
+=
+\frac{e^{i\frac{\pi}2-b} - e^{-i\frac{\pi}2+b}}{2i}
+=
+\frac{ie^{-b}+ie^{b}}{2i}
+=
+\cosh b
+=
+3.796672364211658.
+\]
+Da der Wert $\operatorname{sn}(u_N,k_N) = \sin u_N$ reell ist, wird auch
+die daraus wie in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:3}
+konstruierte Folge $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ reell sein.
+Die Werte von $\operatorname{cn}(u_n,k_n)$ und $\operatorname{dn}(u_n,k_n)$
+werden für die Iterationsformeln~\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+für $\operatorname{sn}(u_n,k_n)$ nicht benötigt.
+Die Berechnung ist in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4:table}
+zusammengefasst.
+Man liest ab, dass $\operatorname{sn}(K+iK',k)=2 = 1/k$, wie erwartet.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
new file mode 100644
index 0000000..fa018ca
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/5.tex
@@ -0,0 +1,59 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:5}
+Die sehr schnelle Konvergenz des arithmetisch-geometrische Mittels
+kann auch dazu ausgenutzt werden, eine grosse Zahl von Stellen der
+Kreiszahl $\pi$ zu berechnen.
+Almkvist und Berndt haben gezeigt \cite{buch:almkvist-berndt}, dass
+\[
+\pi
+=
+\frac{4 M(1,\!\sqrt{2}/2)^2}{
+\displaystyle 1-\sum_{n=1}^\infty 2^{n+1}(a_n^2-b_n^2)
+}.
+\]
+Verwenden Sie diese Formel, um Approximationen von $\pi$ zu berechnen.
+
+\begin{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n & a_n & b_n & \pi_n%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+0 & 1.000000000000000 & 0.707106781186548 &
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\
+1 & 0.853553390593274 & 0.840896415253715 & 3.\underline{1}87672642712106 \\
+2 & 0.847224902923494 & 0.847201266746892 & 3.\underline{141}680293297648 \\
+3 & 0.847213084835193 & 0.847213084752765 & 3.\underline{141592653}895451 \\
+4 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}822 \\
+5 & 0.847213084793979 & 0.847213084793979 & 3.\underline{141592653589}871%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\infty & & & 3.141592653589793%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Approximationen der Kreiszahl $\pi$ mit Hilfe des Algorithmus
+des arithmetisch-geometrischen Mittels.
+In nur 4 Schritten werden 12 Stellen Genauigkeit erreicht.
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:5:table}}
+\end{table}
+Wir schreiben
+\[
+\pi_n
+=
+\frac{4 a_k^2}{
+\displaystyle
+1-\sum_{k=1}^\infty 2^{k+1}(a_k^2-b_k^2)
+}
+\]
+für die Approximationen von $\pi$,
+wobei $a_k$ und $b_k$ die Folgen der arithmetischen und geometrischen
+Mittel von $1$ und $\!\sqrt{2}/2$ sind.
+Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5:table} zeigt die Resultat.
+In nur 4 Schritten können 12 Stellen Genauigkeit erreicht werden,
+dann beginnen jedoch bereits Rundungsfehler das Resultat zu beinträchtigen.
+Für die Berechnung einer grösseren Zahl von Stellen muss daher mit
+grösserer Präzision gerechnet werden.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m
new file mode 100644
index 0000000..bba5549
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m
@@ -0,0 +1,60 @@
+#
+# landen.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+N = 10;
+
+function retval = M(a,b)
+ for i = (1:10)
+ A = (a+b)/2;
+ b = sqrt(a*b);
+ a = A;
+ endfor
+ retval = a;
+endfunction;
+
+function retval = EllipticKk(k)
+ retval = pi / (2 * M(1, sqrt(1-k^2)));
+endfunction
+
+k = 0.5;
+kprime = sqrt(1-k^2);
+
+EK = EllipticKk(k);
+EKprime = EllipticKk(kprime);
+
+u = EK + EKprime * i;
+
+K = zeros(N,3);
+K(1,1) = k;
+K(1,2) = kprime;
+K(1,3) = u;
+
+format long
+
+for n = (2:N)
+ K(n,1) = (1-K(n-1,2)) / (1+K(n-1,2));
+ K(n,2) = sqrt(1-K(n,1)^2);
+ K(n,3) = K(n-1,3) / (1 + K(n,1));
+end
+
+K(:,[1,3])
+
+pi / 2
+
+scd = zeros(N,3);
+scd(N,1) = sin(K(N,3));
+scd(N,2) = cos(K(N,3));
+scd(N,3) = 1;
+
+for n = (N:-1:2)
+ nenner = 1 + K(n,1) * scd(n, 1)^2;
+ scd(n-1,1) = (1+K(n,1)) * scd(n, 1) / nenner;
+ scd(n-1,2) = scd(n, 2) * scd(n, 3) / nenner;
+ scd(n-1,3) = (1 - K(n,1) * scd(n,1)^2) / nenner;
+end
+
+scd(:,1)
+
+cosh(2.009459377005286)