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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index b0e1b64..a4869aa 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -132,6 +132,7 @@ K(k) = \int_0^{\frac{\pi}2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}} +, \\ E(k) &= @@ -140,6 +141,7 @@ E(k) = \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi +, \\ \Pi(n,k) &= @@ -156,6 +158,7 @@ d\varphi }{ (1-n\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } +. \end{align*} Diese Form wird auch die {\em Legendre-Normalform} der vollständigen \index{Legendre-Normalform}% @@ -170,6 +173,9 @@ die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf} \caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität $\varepsilon$. +Eine solche Ellipse hat Halbachsen $1$ und $\sqrt{1-\varepsilon^2}$, +ein entsprechender Ellipsenbogen ist für ausgewählte Werte in blau +eingezeichnet. \label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}} \end{figure} Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse @@ -183,7 +189,7 @@ Die Parametrisierung t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix} \] einer Ellipse führt auf das Integral -\begin{align*} +\begin{align} U &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt @@ -198,7 +204,7 @@ U &= 4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt \label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} -\end{align*} +\end{align} für den Umfang der Ellipse. Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg, der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$. @@ -225,8 +231,11 @@ U 4b E(\varepsilon). \] Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$ -liefert also genau den Umfang der eines Viertels Ellipse mit +liefert also genau den Umfang eines Viertels der Ellipse mit numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$. +Für den extremen Wert $\varepsilon=0$ entsteht der Umfang einer Ellipse, +also $E(0)=\frac{\pi}2$. +Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$. \subsubsection{Komplementäre Integrale} XXX Komplementäre Integrale \\ @@ -239,6 +248,7 @@ XXX Stammfunktion \\ XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\ XXX Additionstheoreme \\ XXX Parameterkonventionen \\ +XXX Wertebereich (Rechtecke) \\ \subsection{Potenzreihe} XXX Potenzreihen \\ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index e366988..327fed1 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -8,9 +8,9 @@ all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex -ellipsenumfang.pdf: ellipsenumfang.tex ekpath.tex +ellipsenumfang.pdf: ellipsenumfang.tex ekplot.tex pdflatex ellipsenumfang.tex -ekpath.tex: ellipsenumfang.m +ekplot.tex: ellipsenumfang.m octave ellipsenumfang.m diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m index 84022bc..9ac8fe2 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m @@ -11,4 +11,11 @@ for epsilon = (1:100) / 100 fprintf(f, "--({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})\n", epsilon, e); endfor fprintf(f, "\n}\n"); +fprintf(f, "\\def\\punkte{\n"); +for epsilon = (0.05:0.1:0.95) + [k, e] = ellipke(epsilon^2); + fprintf(f, "\\fill[color=blue] ({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f}) circle[radius=0.08];\n", epsilon, e); + fprintf(f, "\\draw[color=blue,line width=0.2pt] ({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f}) -- ({\\dx*%.4f},{\\dy*1.85});\n", epsilon, e, epsilon); +endfor +fprintf(f,"}\n"); fclose(f); diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf Binary files differindex b52d5f3..fc27f21 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex index 9f7c788..0d1b807 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex @@ -12,32 +12,71 @@ \usetikzlibrary{arrows,intersections,math} \begin{document} \input{ekplot.tex} -\def\skala{1} +\def\skala{1.19} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] +\pgfkeys{/pgf/number format/.cd, fixed, fixed zerofill, precision=1} + \def\dx{10} \def\dy{4} -\draw[->] (0,-0.1) -- (0,6.8) coordinate[label={right:$E(\varepsilon)$}]; -\draw[->] (-0.1,0) -- (10.5,0) coordinate[label={$\varepsilon$}]; -\draw[line width=0.4pt] (0,\dy) -- (10,\dy); -\draw[line width=0.4pt] (\dx,0) -- (10,\dy); +%\draw[line width=0.4pt] (0,\dy) -- (10,\dy); +%\draw[line width=0.4pt] (\dx,0) -- (10,\dy); + +\draw[->] (0,{\dy-0.1}) -- (0,7.0) coordinate[label={left:$E(k=\varepsilon)$}]; +\draw[->] (-0.1,\dy) -- (10.5,\dy) coordinate[label={$\varepsilon$}]; + +\foreach \i in {0,...,10}{ + \pgfmathparse{\i/10} + \xdef\wert{\pgfmathresult} + \draw (\i,{\dy-0.1}) -- (\i,{\dy+0.1}); + \node at (\i,{\dy-0.1}) [below] {$\pgfmathprintnumber{\wert}$}; +} \draw[color=red,line width=1.4pt] \ekpath; -\fill[color=red] (\dx,\dy) circle[radius=0.05]; +\fill[color=red] (\dx,\dy) circle[radius=0.07]; -\foreach \y in {2,4,...,16}{ - \draw (-0.1,{\dy*\y/10}) -- (0.1,{\dy*\y/10}); - \pgfmathparse{\y/10} - \xdef\v{\pgfmathresult} - \node at (0,{\dy*\y/10}) [left] {$\v$}; +\foreach \y in {1.0,1.2,1.4}{ + \draw (-0.1,{\dy*\y}) -- (0.1,{\dy*\y}); + \node at (-0.1,{\dy*\y}) [left] {$\pgfmathprintnumber{\y}$}; } -\foreach \i in {1,...,9}{ - \draw (\i,-0.1) -- (\i,0.1); - \node at (\i,0) [below] {$0.\i$}; + +\draw (-0.1,{\dy*3.14159/2}) -- (0.1,{\dy*3.14159/2}); +\node at (0,{\dy*3.14159/2}) [left] {$\displaystyle\frac{\pi}2$}; + + +\punkte + +\foreach \exzentrizitaet in {0.05,0.15,...,0.95}{ + \pgfmathparse{sqrt(1-\exzentrizitaet*\exzentrizitaet)} + \xdef\halbachse{\pgfmathresult} + + \pgfmathparse{\exzentrizitaet*\dx} + \xdef\mitte{\pgfmathresult} + %\node at (\mitte,1) {$\pgfmathprintnumber{\mitte}$}; + + \pgfmathparse{(1-\exzentrizitaet)} + \xdef\breite{\halbachse} + %\node at (\mitte,0.5) {$\pgfmathprintnumber{\breite}$}; + + \begin{scope} + + \clip ({\mitte-(\breite/2)},{1.8*\dy}) + rectangle ({\mitte+(\breite/2)+0.1},{1.8*\dy+1.1}); + \fill[color=blue!20] ({\mitte-\breite/2},{1.8*\dy}) + ellipse({\breite} and 1); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] + ({\mitte-\breite/2},{1.8*\dy}) + ellipse({\breite} and 1); + \draw[color=blue,line width=0.2pt] + ({\mitte-\breite/2},{1.8*\dy+1}) + -- + ({\mitte-\breite/2},{1.8*\dy}) + -- + ({\mitte+\breite/2},{1.8*\dy}); + \end{scope} } -\draw (10,-0.1) -- (10,0.1); -\node at (10,0) [below] {$1.0$}; + \end{tikzpicture} \end{document} |