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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc index 6536dca..8dba738 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/010-potenzen/Makefile.inc @@ -5,4 +5,8 @@ # CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex \ + chapters/010-potenzen/polynome.tex \ + chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex \ + chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex \ chapters/010-potenzen/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex index 9b8475c..666c426 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/chapter.tex @@ -11,6 +11,8 @@ \input{chapters/010-potenzen/polynome.tex} \input{chapters/010-potenzen/loesbarkeit.tex} +\input{chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex} +\input{chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex} %\section*{Übungsaufgaben} %\rhead{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex index 0c25b65..5821f97 100644 --- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex +++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex @@ -7,4 +7,14 @@ \label{buch:potenzen:section:polynome}} \rhead{Polynome} +\subsection{Faktorisierung und Nullstellen} +% wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe +% die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln + +\subsection{Koeffizienten-Vergleich} +% Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode +% Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen + +\subsection{Polynom-Berechnung} +% Effiziente Berechnung von Polynomen ist zentral für die Numerik diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex new file mode 100644 index 0000000..7fe03eb --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/potenzreihen.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +% +% potenzreihen.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Potenzreihen +\label{buch:potenzen:section:potenzreihen}} + +\subsection{Definition +\label{buch:potenzen:potenzreihen:section:definition}} + +\subsection{Konvergenzkriterien +\label{buch:potenzen:potenzreihen:section:konvergenzkriterien}} + +\subsection{Die geometrische Reihe +\label{buch:potenzen:potenzreihen:section:geometrische}} diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex new file mode 100644 index 0000000..be78967 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +% +% tschebyscheff.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller +% +\section{Die Tschebyscheff-Polynome +\label{buch:polynome:section:tschebyscheff}} +Die Tschbeyscheff-Polynome sind ein Beispiel einer nützlichen Familie +von Polynomen, die wegen ihrer Anwendbarkeit durchaus den Rang von +speziellen Funktionen im weiteren Sinne verdienen. +Sie ermöglichen, Interpolationspolynome mit besonders guten +Fehlereigenschaften zu finden, haben aber auch andere Anwendungen +zum Beispiel beim Design von Filtern in der Elektronik. + +\subsection{Motivation} +\subsection{Rekursionsbeziehung} +\subsection{Anwendung: Interpolation} diff --git a/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex b/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex index 1182e7c..c0a57d8 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/beispiele.tex @@ -6,12 +6,107 @@ \section{Beispiele \label{buch:differentialgleichungen:section:beispiele}} \rhead{Beispiele} +Viele der bisher betrachteten speziellen Funktionen können +durch gewöhnliche Differentialgleichungen charakterisiert werden, +als deren Lösungen sie auftreten. -\subsection{Exponentialfunktion +\subsection{Potenzen und Wurzeln +\label{buch:differentialgleichungen:subsection:potenzen-und-wurzeln}} +Die Potenzfunktionen und die zugehörigen Wurzeln als die ältesten +speziellen Funktionen bieten bereits eine erste kleine Schwierigkeit. +Die Differentialgleichung, die man aus einem naiven Ansatz ableitet, +ist singulär. + +\subsubsection{Differentialgleichung in $(0,\infty)$} +Die Ableitung einer Potenzfunktion $x\mapsto y(x)=x^\alpha$ ist +\[ +y'(x) = +\begin{cases} +\alpha x^{\alpha-1} &\qquad \alpha\ne -1\\ +\log x&\qquad\text{sonst} +\end{cases} +\] +Im Folgenden wollen wir uns auf den Fall $\alpha\ne -1$ konzentrieren. +Die Ableitungsoperation läuft in diesem Fall darauf hinaus, dass der +Grad um $1$ reduziert wird. +Dies könnte man mit einem Faktor $x$ komponsieren. +Wir fragen daher nach der allgmeinen Lösung der linearen +Differentialgleichung der Form +\begin{equation} +xy' = \alpha y. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl} +\end{equation} +Diese Gleichung ist separierbar, die Separation von $x$ und $y$ liefert +die Integrale +\[ +\int \frac{dy}{y} = \alpha \int \frac{dx}{x} + C. +\] +Die Durchführunge der Integration liefert +\[ +\log |y| = \alpha \log|x| + C. +\] +Wendet man die Exponentialfunktion an, erhält man wieder +\[ +y = Dx^\alpha,\quad D=\exp C. +\] + +Die Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl} +hat aber eine schwerwiegenden Mangel. +Ihre explizite Form lautet +\begin{equation} +y' = \frac{\alpha}{x}\cdot y. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzelsing} +\end{equation} +Dies ist zwar durchaus eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, +aber der Koeffiziente $\alpha/x$ wächst für $x\to 0$ über alle Grenzen. +Man kann daher den Wert der Potenzfunktion im Nullpunkt gar nicht aus der +Differentialgleichung erhalten, es ist dazu mindestens noch ein Grenzübergang +$x\to 0+$ nötig. + +\subsubsection{Differentialgleichung in der Nähe von $x=1$} +Um dem Problem des singulären Koeffizienten der +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzelsing} +aus dem Weg zu gehen, verwenden wir die Variable $t$ mit $x=1+t$ und +versuchen eine Differentialgleichung für die Potenzfunktion +$(1+t)^\alpha$ zu finden. +Es gilt natürlich +\begin{equation} +\frac{d}{dt} (1+t)^\alpha += +\alpha (1+t)^{\alpha-1} +\qquad\Rightarrow\qquad +(1+t) \dot{y} = \alpha y. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +\end{equation} +Diese Differentialgleichung kann natürlich auch wieder mit Separation +gelöst werden, es ist +\begin{equation} +\int +\frac{dy}{y} += +\alpha +\int +\frac{dt}{1+t} ++ +C +\qquad\Rightarrow\qquad +\log|y| = \alpha \log|1+t| + C +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1loesung} +\end{equation} +und daraus die Potenzfunktion +\[ +y=D(1+t)^\alpha +\] +wie vorhin. +Der Vorteil der +Form~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +wird sich später bei dem Versuch zeigen, die Fuktion $y(t)$ +direkt als Potenzreihenlösung der Differentialgleichung zu finden. + + +\subsection{Exponentialfunktion und ihre Varianten \label{buch:differentialgleichungen:subsection:exponentialfunktion}} -\subsection{Trigonometrische Funktionen -\label{buch:differentialgleichungen:subsection:trigonometrisch}} +\subsubsection{Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten} -\subsection{Hyperbelfunktionen -\label{buch:differentialgleichungen:subsection:hyperbelfunktionen}} +\subsubsection{Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten} diff --git a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex index 1cfc1dd..f8b0dc3 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/chapter.tex @@ -9,6 +9,55 @@ \label{buch:chapter:differential}} \lhead{Differentialgleichungen} \rhead{} +Allgemeine Sätze über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen +gewöhnlicher Differentialgleichungen garantieren für fast jeder +einigermassen vernünftige Gleichung mindestens für kurze Zeit +eine eindeutige Lösung für fast jede Anfangsbedingung. +Die Konstruktion solcher Lösungen stellt sich jedoch als deutlich +schwieriger heraus. + +Für einzelne Kategorien von Differentialgleichungen sind +gut funktionierende Lösungsverfahren gefunden worden, zum Beispiel +für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. +Damit konnten auch Gleichungen gelöst werden, die sich zum Beispiel +durch eine Variablentransformation auf eine lineare Differentialgleichung +mit konstanten Koeffizienten reduzieren lassen, wie die Eulersche +Differentialgleichung. + +Die Methode der Separation der Variablen liefert führt die Lösung +einer Differentialgleichung erster Ordnung auf die Bestimmung +zweier Stammfunktionen und deren Invertierung zurück. +Dieses Verfahren ist jedoch nicht auf Vektordifferentialgleichungen +oder auf Differentialgleichungen höherer Ordnung verallgemeinerungsfähig. + +Daneben gibt es eine Reihe von ``Spezialfällen'' wie die +Clairaut-Differentialgleichung oder die damit verwandte +Lagrangesche Differentialgleichung, deren Lösung eine sehr +spezielle Form haben. + +Sehr viele Differentialgleichungen in den Anwendungen können aber +mit keinem der genannten Verfahren gelöst werden. +Hier bleibt nichts anderes übrig, als neue spezielle Funktionen +zu definieren, die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind. +Dabei ist man bestrebt, möglichst universell einsetzbare Funktionen +zu definieren, die ein breites Anwendungsfeld haben. + +In den folgenden Abschnitten wird zunächst gezeigt, dass viele +der bereits bekannten speziellen Funktionen ebenfalls als Lösungen +gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten werden können. +Die numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist +oft keine effizientes Vorgehen zur Bestimmung von einzelnen Werten, +daher wird in +Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode} +eine universelle Methode vorgestellt, mit der eine Potenzreihenentwicklung +gefunden werden kann. +Eine Potenzreihendarstellung ermöglicht nicht nur die Berechnung +einzelner Werte, sondern auch beliebiger Ableitungen und die +analytische Untersuchung der Funktion mit den Methoden der +komplexen Analysis. +Als Beispiel für dieses Verfahren werden in +Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} +die Bessel-Funktionen erster Art vorgestellt. \input{chapters/050-differential/beispiele.tex} \input{chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex} diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex index feafacb..6d30129 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex @@ -5,4 +5,237 @@ % \section{Potenzreihenmethode \label{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode}} +Die Potenzreihenmethode versucht die Lösung einer gewöhnlichen +Differentialgleichung als Potenzreihe um die Anfangsbedingung zu +entwickeln. +Wir gehen in diesem Abschnitt von einer Differentialgleichung der +Form +\begin{equation} +a_n(x)y^{(n)}(x) ++ +a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) ++ +\dots ++ +a_1(x)y'(x) ++ +a_0(x)y(x) += +f(x) +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:potenzreihendgl} +\end{equation} +mit der Randbedingung $y(0)=y_0$ aus. +Schon im einfachsten Fall einer homogenen Differentialgleichung erster +Ordnung ergibt sich die Beziehung +\[ +a_1(x) y'(x) = a_0(x)y(x), +\] +wobei wir uns $y(x)$ und damit auch $y'(x)$ als Potenzreihe vorstellen. +Insbesondere ist +\[ +\frac{a_1(x)}{a_0(x)} = \frac{y(x)}{y'(x)} +\] +ein Quotient von Potenzreihen, den man natürlich wieder als +Potenzreihe schreiben kann. +Da es nur auf den Quotienten ankommt, kann man sich auf den Fall +beschränken, dass die Koeffizienten Potenzreihen sind. +Tatsächlich gilt der folgende sehr viel allgemeinere Satz von +Cauchy und Kowalevskaja: + +\begin{satz}[Cauchy-Kowalevskaja] +Eine partielle Differentialgleichung der Ordnung $k$ für eine +Funktion $u(x_1,\dots,x_n,t)=u(x,t)$ +in expliziter Form +\[ +\frac{\partial^k}{\partial t^k} += +G\biggl(x,t, +\frac{\partial^j\partial^\alpha}{\partial t^j\,\partial x^k} +\biggr) +\quad\text{mit $j<k$ und $|\alpha|+j\le k$} +\] +mit einer Funktion $G$, die analytisch ist in allen Variablen +und der Randbedingung +\[ +\frac{\partial j}{\partial t^j}u(x,0) = \varphi_j(x)\quad\text{für $k=0,\dots,k-1$} +\] +mit analytischen Funktion $\varphi_j$ hat eine in einer Umgebung von +$t=0$ eindeutige analytische Lösung. +\end{satz} + +Im folgenden werden wir daher weitere einschränkende Annahmen über +die Koeffizienten $a_k(x)$ machen. + +\subsection{Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich} + + + +\subsection{Die Newtonsche Reihe} +Wir lösen die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode. +Wir setzen daher für die Lösung die Potenzreihe an +\[ +y(t) += +a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + \dots + a_kt^k + \dots +\] +Die Ableitung ist +\[ +\dot{y}(t) += +a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + \dots + ka_kt^{k-1} + \dots +\] +Einsetzen in die +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +liefert +\begin{align*} +(1+t) +( +a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + \dots + ka_kt^{k-1} + \dots +) +&= +\alpha +( +a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3 + \dots + a_kt^k + \dots +) +\\ +a_1 ++(a_1+2a_2)t ++(2a_2+3a_3)t^2 ++(3a_3+4a_4)t^3 ++\dots +&= +\alpha a_0 + \alpha a_1t + \alpha a_2t^2 + \alpha a_3t^3 + \dots +\end{align*} +Der Koeffizientenvergleich ergbiet die Gleichungen +\begin{align} +a_1&=\alpha a_0 +\notag +\\ +a_1+2a_2 &= \alpha a_1 &&\Rightarrow& 2a_2 &= (\alpha-1) a_1 +\notag +\\ +2a_2+3a_3 &= \alpha a_2&&\Rightarrow& 3a_3 &= (\alpha-2) a_2 +\notag +\\ +3a_3+4a_4 &= \alpha a_3&&\Rightarrow& 4a_4 &= (\alpha-3) a_3 +\notag +\\ +4a_4+5a_5 &= \alpha a_4&&\Rightarrow& 5a_5 &= (\alpha-4) a_4 +\notag +\\ +&\vdots +\notag +\\ +&&&& \llap{$(k+1)a_{k+1}$} &= (\alpha-k) a_k +&&\Rightarrow& +a_{k+1} = \frac{\alpha-k}{k+1}a_k. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +\end{align} +Die +Rekursionsformel~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +gilt auch im Fall $k=0$. +Aus der Anfangsbedingung folgt $a_0=1$. +Durch wiederholte Anwendung der +Rekursionsformel~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +erhalten wir jetzt die Koeffizienten +\begin{align*} +a_0&=1 +\\ +a_1&=\alpha +\\ +a_2&=\frac{\alpha(\alpha-1)}{1\cdot 2} +\\ +a_3&=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{1\cdot 2\cdot 3} +\\ +a_4&=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\\ +&\;\vdots +\\ +a_k&=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}. +\end{align*} +Für ganzzahliges $\alpha$ ist $a_k$ der Binomialkoeffizient +\[ +a_k=\binom{\alpha}{k} +\] +und $a_k=0$ für $k>\alpha$. +Für nicht ganzzahliges $\alpha$ sind alle Koeffizienten $a_k\ne 0$. + +Die Lösung der +Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1} +ist daher die Reihe +\begin{equation} +(1+t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}\, t^k. +\label{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreihe} +\end{equation} +Für ganzzahliges $\alpha$ wird daraus die binomische Formel +\[ +(1+t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}\, t^k += +\sum_{k=0}^\alpha \binom{\alpha}{k} t^k. +\] + +% +% Lösung als hypergeometrische Riehe +% +\subsubsection{Lösung als hypergeometrische Funktion} +Die Newtonreihe verwendet ein absteigendes Produkt im Zähler. +Man kann sie aber in eine Form bringen, die besser zu den aufsteigenden +Produkten bringen, die wir im Zusammenhang mit der Gamma-Funktion +angetroffen und als Pochhammer-Symbole formalisiert haben. + +Eine hypergeometrische Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass +die Quotienten aufeinanderfolgender Koeffizienten der Reihe rationale +Funktionen von $k$ sind. +Der Quotient ist +nach~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:newtonreiherekursion} +\[ +\frac{a_{k+1}}{a_k} += +\frac{\alpha-k}{k+1}. +\] +Der Nenner wird nie $0$, aber das Zählerpolynom hat genau die Nullstelle +$-\alpha$. +Die Newtonsche Reihe muss sich daher als Wert der hypergeometrischen +Funktion $\mathstrut_1F_0$ schreiben lassen. + +Das Produkt im Zähler von $a_k$ hat $k$ Faktoren, indem wir jeden Faktor +mit $-1$ multiplizieren, erhalten wir +\begin{align*} +\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1) +&= +(-\alpha)(-\alpha+1)(-\alpha+2)\dots(-\alpha+k-1) (-1)^k +\\ +&= +(-\alpha)_k (-1)^k. +\end{align*} +Indem wir den Faktor $-1$ in der Variablen absorbieren, erhalten +wir die Darstellung +\[ +(1+t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty +(-\alpha)_k\frac{(-t)^k}{k!}. +\] +Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt. + +\begin{satz} +Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert +\[ +(1-t)^\alpha += +\sum_{k=0}^\infty (-\alpha)_k \frac{t^k}{k!} += +\mathstrut_1F_0(-\alpha;t) +\] +der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_1F_0$. +\end{satz} + diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index c2d50a7..1485e40 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -8,4 +8,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ + chapters/060-integral/orthogonal.tex \ chapters/060-integral/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex index 786f388..ced3ab2 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex @@ -42,6 +42,7 @@ gibt darauf eine Antwort. \input{chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex} \input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex} \input{chapters/060-integral/risch.tex} +\input{chapters/060-integral/orthogonal.tex} \section*{Übungsaufgaben} \rhead{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex new file mode 100644 index 0000000..6300e26 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex @@ -0,0 +1,25 @@ +% +% orthogonal.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Orthogonale Polynome +\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}} +Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch +Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines +Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals +definiert sind. +Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von +Differentialgleichungen. +Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen +Polynome sind. + +\subsection{Skalarprodukt} +\subsection{Definition} +\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen} +\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung} +\subsubsection{Legendre-Polyome} +\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art} +Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom} +\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur} + |