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diff --git a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
index 5f119e5..981e444 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
@@ -13,20 +13,30 @@ Operationen konstruieren lassen, sind die Polynome.
 \index{Polynom}%
 Ein {\em Polynome} vom Grad $n$ ist die Funktion
 \[
-p(x) = a_nx^2n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0,
+p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0,
 \]
 wobei $a_n\ne 0$ sein muss.
 Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist.
 \index{normiert}%
+\index{Grad eines Polynoms}%
 Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit
 $K[x]$ bezeichnet.
 \end{definition}
 
 Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$
-mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen ein
-Ring mit $1$ ist.
-Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{R}$ und $K=\mathbb{C}$
-beschränken.
+mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen eine
+algebraische Struktur bildet, die man einen Ring mit $1$ nennt.
+\index{Ring}%
+Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{R}$
+und $K=\mathbb{C}$ beschränken.
+
+Für den Grad eines Polynoms gelten die bekannten Rechenregeln
+\begin{align*}
+\deg (a(x) + b(x)) &\le \operatorname{max}(\deg a(x), \deg b(x))
+\\
+\deg (a(x)\cdot b(x)) &=\deg a(x) + \deg b(x)
+\end{align*}
+für beliebige Polynome $a(x),b(x)\in K[x]$.
 
 In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden
 Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine
@@ -35,12 +45,14 @@ Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von
 Differentialgleichungen finden.
 Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen
 \[
-\mathstrut_pF_q\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z\biggr),
+\mathstrut_pF_q\biggl(
+\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z
+\biggr),
 \] die in
 Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
 definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der
 Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist.
-Polynome sind also bereits eine Vielfältige Quelle von speziellen
+Polynome sind also bereits eine vielfältige Quelle von speziellen
 Funktionen.
 
 Viele spezielle Funktionen werden aber komplizierter sein und
@@ -53,6 +65,7 @@ Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen.
 
 \begin{satz}[Weierstrass]
 \label{buch:potenzen:satz:weierstrass}
+\index{Weierstrass, Satz von}%
 Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$
 lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig
 approximieren.
@@ -69,6 +82,189 @@ ebenfalls als Approximationen dienen können.
 Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der
 numerischen Mathematik.
 
+\subsection{Polynomdivision, Teilbarkeit und grösster gemeinsamer Teiler}
+Der schriftliche Divisionsalgorithmus für Zahlen funktioniert 
+auch für die Division von Polynomen.
+Zu zwei beliebigen Polynomen $p(x)$ und $q(x)$ lassen sich also
+immer zwei Polynome $a(x)$ und $r(x)$ finden derart, dass
+$p(x) = a(x) q(x) + r(x)$.
+Das Polynom $a(x)$ heisst der {\em Quotient}, $r(x)$ der {\em Rest}
+der Division.
+Das Polynom $p(x)$ heisst {\em teilbar} durch $q(x)$, geschrieben
+$q(x)\mid p(x)$, wenn $r(x)=0$ ist.
+
+\subsubsection{Grösster gemeinsamer Teiler}
+Mit dem Begriff der Teilbarkeit geht auch die Idee des grössten
+gemeinsamen Teilers einher.
+Ein gemeinsamer Teiler zweier Polynome $a(x)$ und $b(x)$ 
+ist ein Polynom $g(x)$, welches beide Polynome teilt, also
+$g(x)\mid a(x)$ und $g(x)\mid b(x)$.
+\index{grösster gemeinsamer Teiler}%
+Ein Polynome $g(x)$ heisst grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$
+und $b(x)$, wenn jeder andere gemeinsame Teiler $f(x)$ von $a(x)$
+und $b(x)$ auch ein Teiler von $g(x)$ ist.
+Man beachte, dass die skalaren Vielfachen eines grössten gemeinsamen
+Teilers ebenfalls grösste gemeinsame Teiler sind, der grösste gemeinsame
+Teiler ist also nicht eindeutig bestimmt.
+
+\subsubsection{Der euklidische Algorithmus}
+Zur Berechnung eines grössten gemeinsamen Teilers steht wie bei den
+ganzen Zahlen der euklidische Algorithmus zur Verfügung.
+Dazu bildet man die Folgen von Polynomen
+\[
+\begin{aligned}
+a_0(x)&=a(x) & b_0(x) &= b(x)
+&
+&\Rightarrow&
+a_0(x)&=b_0(x) q_0(x) + r_0(x) &&
+\\
+a_1(x)&=b_0(x) & b_1(x) &= r_0(x)
+&
+&\Rightarrow&
+a_1(x)&=b_1(x) q_1(x) + r_1(x) &&
+\\
+a_2(x)&=b_1(x) & b_2(x) &= r_1(x)
+&
+&\Rightarrow&
+a_2(x)&=b_2(x) q_2(x) + r_2(x) &&
+\\
+&&&&&\hspace*{2mm}\vdots&&
+\\
+a_{m-1}(x)&=b_{m-2}(x) & b_{m-1}(x) &= r_{m-2}(x) 
+&
+&\Rightarrow&
+a_{m-1}(x)&=b_{m-1}(x)q_{m-1}(x) + r_{m-1}(x) &\text{mit }r_{m-1}(x)&\ne 0
+\\
+a_m(x)&=b_{m-1}(x) & b_m(x)&=r_{m-1}(x)
+&
+&\Rightarrow&
+a_m(x)&=b_m(x)q_m(x).&&
+\end{aligned}
+\]
+Der Index $m$ ist der Index, bei dem zum ersten Mal $r_m(x)=0$ ist.
+Dann ist $g(x)=r_{m-1}(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler.
+
+\subsubsection{Der erweiterte euklidische Algorithmus}
+Die Konstruktion der Folgen $a_n(x)$ und $b_n(x)$ kann in Matrixform
+kompakter geschrieben werden als
+\[
+\begin{pmatrix}
+a_k(x)\\
+b_k(x)
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+b_{k-1}(x)\\
+r_{k-1}(x)
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0 & 1\\
+1 & -q_{k-1}(x)
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+a_{k-1}(x)\\
+b_{k-1}(x)
+\end{pmatrix}.
+\]
+Kürzen wir die $2\times 2$-Matrix als
+\[
+Q_k(x) = \begin{pmatrix} 0&1\\1&-q_k(x)\end{pmatrix}
+\]
+ab, dann ergibt das Produkt der Matrizen $Q_0(x)$ bis $Q_{m}(x)$
+\[
+\begin{pmatrix}
+g(x)\\
+0
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+r_{m-1}(x)\\
+r_{m}(x)
+\end{pmatrix}
+=
+Q_{m}(x)
+Q_{m-1}(x)
+\cdots
+Q_1(x)
+Q_0(x)
+\begin{pmatrix}
+a(x)\\
+b(x)
+\end{pmatrix}.
+\]
+Zur Berechnung des Produktes der Matrizen $Q_k(x)$ kann man rekursiv
+vorgehen mit der Rekursionsformel
+\[
+S_{k}(x) = Q_{k}(x) S_{k-1}(x)
+\qquad\text{mit}\qquad
+S_{-1}(x)
+=
+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
+\]
+Ausgeschrieben bedeutet dies Matrixrekursionsformel
+\[
+S_{k-1}(x)
+=
+\begin{pmatrix} 
+c_{k-1} & d_{k-1} \\
+c_k     & d_k
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+Q_{k}(x) S_{k-1}(x)
+=
+\begin{pmatrix}
+0&1\\1&-q_k(x)
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 
+c_{k-1} & d_{k-1} \\
+c_k     & d_k
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+c_k&d_k\\
+c_{k+1}&d_{k+1}
+\end{pmatrix}.
+\]
+Daraus lässt sich für die Matrixelemente die Rekursionsformel
+\[
+\begin{aligned}
+c_{k+1} &= c_{k-1} - q_k(x) c_k(x) \\
+d_{k+1} &= d_{k-1} - q_k(x) d_k(x)
+\end{aligned}
+\quad
+\bigg\}
+\qquad
+\text{mit Startwerten}
+\qquad
+\bigg\{
+\begin{aligned}
+\quad
+c_{-1} &= 1, & c_0 &= 0 \\
+d_{-1} &= 0, & d_0 &= 1.
+\end{aligned}
+\]
+Wendet man die Matrix $S_m(x)$ auf den Vektor mit den Komponenten
+$a(x)$ und $b(x)$, erhält man die Beziehungen
+\[
+g(x) = c_{k-1}(x) a(x) + d_{k-1}(x) b(x)
+\qquad\text{und}\qquad
+0 = c_k(x) a(x) + d_k(x) b(x).
+\]
+Dieser Algorithmus heisst der erweiterte euklidische Algorithmus.
+Wir fassen die Resultate zusammen im folgenden Satz.
+
+\begin{satz}
+Zu zwei Polynomen $a(x),b(x) \in K[x]$ gibt es Polynome
+$g(x),c(x),d(x)\in K[x]$
+derart, dass $g(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$ und $b(x)$
+ist, und ausserdem
+\[
+g(x) = c(x)a(x)+d(x)b(x)
+\]
+gilt.
+\end{satz}
+
 \subsection{Faktorisierung und Nullstellen}
 % wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe
 % die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln
@@ -77,11 +273,24 @@ numerischen Mathematik.
 % Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode
 % Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen
 
-\subsection{Polynom-Berechnung}
-Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms beginnt mit der Berechnung
-der Potenzen.
-Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann minimiert werden, indem man
-das Polynom als
+\subsection{Berechnung von Polynom-Werten}
+Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms $p(x)$ vom Grad $n$
+beginnt mit der Berechnung der Potenzen von $x$.
+Da alle Potenzen benötigt werden, wird man dazu $n-1$ Multiplikationen
+benötigen.
+Die Potenzen müssen anschliessend mit den Koeffizienten multipliziert
+werden, dazu sind weitere $n$ Multiplikationen nötig.
+Der Wert des Polynoms kann also erhalten werden mit $2n-1$ Multiplikationen
+und $n$ Additionen.
+
+Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann mit dem folgenden Vorgehen
+reduziert werden, welches auch als das {\em Horner-Schema} bekannt ist.
+\index{Horner-Schema}%
+Statt erst am Schluss alle Terme zu addieren, addiert man so früh
+wie möglich.
+Zum Beispiel multipliziert man $(a_nx+a_{n-1})$ mit $x$, was auf
+die Multiplikationen beider Terme mit $x$ hinausläuft.
+Mit dieser Idee kann man das Polynom als
 \[
 a_nx^n
 +
@@ -95,10 +304,10 @@ a_0
 =
 ((\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots )x+a_1)x+a_0
 \]
-schreibt.
+schreiben.
 Beginnend bei der innersten Klammer sind genau $n$ Multiplikationen
-und $n+1$ Additionen nötig, im Gegensatz zu $2n$ Multiplikationen
-und $n$ Additionen bei der naiven Vorgehensweise.
+und $n$ Additionen nötig, man spart mit diesem Vorgehen also
+$n-1$ Multiplikationen. 
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
index f3f1d39..0b2842b 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
@@ -42,7 +42,7 @@ wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf
 die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
 
 \input{chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex}
-\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex}
+%\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/laenge.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex}
@@ -54,5 +54,6 @@ die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
 %\uebungsaufgabe{0}
 \uebungsaufgabe{1}
 \uebungsaufgabe{2}
+\uebungsaufgabe{3}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf
index 0b514eb..d708377 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex
index c38dc19..a194190 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex
@@ -41,6 +41,7 @@
 \fill[color=blue] (\a:\r) circle[radius=0.05];
 
 \draw[color=blue,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\a)});
+\fill[color=blue] (\r,{\r*tan(\a)}) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=blue] at (\r,{0.5*\r*tan(\a)}) [right] {$\tan\alpha$};
 
 \draw[color=blue,line width=0.4pt] ({\r*cos(\a)},0) -- (\a:\r);
@@ -53,6 +54,7 @@
 \draw[color=blue] (-0.1,{\r*sin(\a)}) -- (0.1,{\r*sin(\a)});
 
 \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\a)},\r);
+\fill[color=blue] ({\r/tan(\a)},\r) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=blue] at ({0.5*\r/tan(\a)},\r) [above] {$\cot\alpha$};
 
 \draw[color=darkgreen,line width=1pt] (0,0) -- (\b:\r);
@@ -61,9 +63,11 @@
 \fill[color=darkgreen] (\b:\r) circle[radius=0.05];
 
 \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\b)},\r);
+\fill[color=darkgreen] ({\r/tan(\b)},\r) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=darkgreen] at ({0.5*\r/tan(\b)},\r) [above] {$\cot\beta$};
 
 \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\b)});
+\fill[color=darkgreen] (\r,{\r*tan(\b)}) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=darkgreen] at (\r,{0.5*\r*tan(\b)}) [right] {$\tan\beta$};
 
 \draw[color=darkgreen,line width=0.4pt] (\b:\r) -- (0,{\r*sin(\b)});
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex
new file mode 100644
index 0000000..6a501fb
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex
@@ -0,0 +1,169 @@
+\def\cas{\operatorname{cas}}
+Die Funktion $\cas$ definiert durch
+$\cas x = \cos x + \sin x$ hat einige interessante Eigenschaften.
+Wie die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen $\sin x$ und $\cos x$
+ist $\cas x$ $2\pi$-periodisch.
+Die Ableitung und das Additionstheorem benötigen bei den gewöhnlichen
+trigonometrischen Funktionen aber beide Funktionen, im Gegensatz zu den
+im folgenden hergeleiteten Formeln, die nur die Funktion $\cas x$ brauchen.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Drücken Sie die Ableitung von $\cas x$  allein durch Werte der
+$\cas$-Funktion aus.
+\item
+Zeigen Sie, dass 
+\[
+\cas x
+=
+\sqrt{2} \sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr)
+=
+\sqrt{2} \cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr).
+\]
+\item
+Beweisen Sie das Additionstheorem für die $\cas$-Funktion
+\begin{equation}
+\cas(x+y)
+=
+\frac12\bigl(
+\cas(x)\cas(y) + \cas x\cas (-y) + \cas(-x)\cas(y) -\cas(-x)\cas(-y)
+\bigr)
+\label{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition}
+\end{equation}
+\end{teilaufgaben}
+Youtuber Dr Barker hat die Funktion $\cas$ im Video
+{\small\url{https://www.youtube.com/watch?v=bn38o3u0lDc}} vorgestellt.
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die Ableitung ist
+\[
+\frac{d}{dx}\cas x
+=
+\frac{d}{dx}(\cos x + \sin x)
+=
+-\sin x + \cos x
+=
+\sin(-x) + \cos(-x)
+=
+\cas(x).
+\]
+\item
+Die Additionstheoreme angewendet auf die trigonometrischen Funktionen
+auf der rechten Seite ergibt
+\begin{align*}
+\sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr)
+&=
+\sin x \cos\frac{\pi}4  + \cos x \sin\frac{\pi}4
+&&&
+\cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr)
+&=
+\cos(x)\cos\frac{\pi}4 -\sin x \sin\biggl(-\frac{\pi}4\biggr)
+\\
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x
++
+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x
+&&&
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x
++
+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x
+\\
+&=\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x
+&&&
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x.
+\end{align*}
+Multiplikation mit $\sqrt{2}$ ergibt die behaupteten Relationen.
+\item
+Substituiert man die Definition von $\cas(x)$ auf der rechten Seite von
+\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} und multipliziert aus,
+erhält man
+\begin{align*}
+\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition}
+&=
+{\textstyle\frac12}\bigl(
+(\cos x + \sin x)
+(\cos y + \sin y)
++
+(\cos x + \sin x)
+(\cos y - \sin y)
+\\
+&\qquad
++
+(\cos x - \sin x)
+(\cos y + \sin y)
+-
+(\cos x - \sin x)
+(\cos y - \sin y)
+\bigr)
+\\
+&=
+\phantom{-\mathstrut}
+{\textstyle\frac12}\bigl(
+\cos x\cos y
++
+\cos x\sin y
++
+\sin x\cos y
++
+\sin x\sin y
+\\
+&
+\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$}
+\cos x\cos y
+-
+\cos x\sin y
++
+\sin x\cos y
+-
+\sin x\sin y
+\\
+&
+\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$}
+\cos x\cos y
++
+\cos x\sin y
+-
+\sin x\cos y
+-
+\sin x\sin y
+\bigr)
+\\
+&
+\phantom{=}
+-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(
+\cos x\cos y
+-
+\cos x\sin y
+-
+\sin x\cos y
++
+\sin x\sin y
+\bigr)
+\\
+&= \cos x \cos y
++
+\cos x \sin y
++
+\sin x \cos y
+-
+\sin x \sin y.
+\intertext{Die äussersten zwei Terme passen zum Additionstheorem für den
+Kosinus, die beiden inneren Terme dagegen zum Sinus.
+Fasst man sie zusammen, erhält man}
+&=
+(\sin x\cos y + \cos x \sin y)
++
+(\cos x\cos y - \sin x \sin y)
+\\
+&=
+\sin (x+y) + \cos(x+y)
+=
+\cas(x+y).
+\end{align*}
+Damit ist das Additionstheorem für die Funktion $\cas$ bewiesen.
+\qedhere
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}