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index a943fa3..02e90f6 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/diffke.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/diffke.tex
@@ -20,32 +20,120 @@ Abschnitt definiert werden soll.
 % Derivation
 %
 \subsubsection{Derivation}
+Für die praktische Berechnung der Ableitung einer Funktion verwendet
+man in erster Linie die bekannten Rechenregeln.
+Dazu gehören für zwei Funktionen $f$ und $g$
+\begin{itemize}
+\item Linearität: $(\alpha f+\beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ für
+Konstanten $\alpha$, $\beta$.
+\item Produktregel: $(fg)'=f'g+fg'$.
+\index{Produktregel}%
+\item Quotientenregel: $(f/g)' = (f'g-fg')/g^2$.
+\index{Quotientenregel}%
+\end{itemize}
+Die ebenfalls häufig verwendete Kettenregel $(f\circ g)' = (f'\circ g) g'$
+\index{Kettenregel}%
+für zusammengesetzte Funktionen wird später kaum benötigt, da wir
+Verkettungen durch Körpererweiterungen ersetzen wollen.
+Die Ableitung hat somit die rein algebraischen Eigenschaften
+einer Derivation gemäss folgender Definition.
 
 \begin{definition}
-Sei $\mathscr{F}$ ein Funktionenkörper.
+Sei $\mathscr{F}$ ein Körper.
 Eine {\em Derivation} ist eine lineare Abbildung
+\index{Derivation}%
 $D\colon \mathscr{F}\to\mathscr{F}$
 mit der Eigenschaft
 \[
 D(fg) = (Df)g+f(Dg).
 \]
+Ein {\em Differentialkörper} ist ein Körper mit einer Derivation.
+\index{Differentialkoerper@Differentialkörper}%
 \end{definition}
 
+Die Ableitung in einem Funktionenkörper ist eine Derivation,
+die sich zusätzlich dadurch auszeichnet, dass $Dx=x'=1$.
+Sie wird weiterhin mit dem Strich bezeichnet.
+
 %
 % Ableitungsregeln
 %
 \subsubsection{Ableitungsregeln}
-% Ableitungsregeln
+Die Definition einer Derivation macht keine Aussagen über Quotienten,
+diese kann man aber aus den Eigenschaften einer Derivation sofort
+ableiten.
+Wir schreiben $q=f/g$ für $f,g\in\mathscr{F}$, dann ist $f=qg$.
+Nach der Kettenregel gilt
+\(
+f'=q'g+qg'
+\).
+Substituiert man darin $q=f/g$ und löst nach $q'$ auf, erhält man
+\[
+f'=q'g+\frac{fg'}{g}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+q'=\frac1{g}\biggl(f'-\frac{fg'}{g}\biggr)
+=
+\frac{f'g-fg'}{g^2}.
+\]
+
 
 %
 % Konstantenkörper
 %
 \subsubsection{Konstantenkörper}
-% Konstantenkörper
+Die Ableitung einer Konstanten verschwindet.
+Beim Hinzufügen von Funktionen zu einem Funktionenkörper können weitere
+Konstanten hinzukommen, ohne dass dies auf den ersten Blick sichtbar wird.
+Zum Beispiel enthält $\mathbb{Q}(x,\!\sqrt{x+\pi})$ wegen
+$(\!\sqrt{x+\pi})^2-x=\pi$ auch die Konstante $\pi$.
+Eine Derivation ermöglicht dank des nachfolgenden Satzes auch,
+solche Konstanten zu erkennen.
+
+\begin{satz}
+Sei $\mathscr{F}$ ein Körper und $D$ eine Derivation in $\mathscr{F}$.
+Dann ist die Menge $C=\{a\in\mathscr{F}\;|\;Da=0\}$ ein Körper.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es muss gezeigt werden, dass Summe und Produkt von Element von $C$ 
+wieder in $C$ liegen.
+Wenn $Da=Db=0$, dann ist $D(a+b)=Da+Db=0$, also ist $a+b\in C$.
+Für das Produkt gilt $D(ab)=(Da)b+a(Db)=0b+a0=0$, also ist auch
+$ab\in C$.
+\end{proof}
+
+Die Menge $C$ heisst der {\em Konstantenkörper} von $\mathscr{F}$.
+\index{Konstantenkörper}%
 
 %
 % Logarithmus und Exponantialfunktion
 %
 \subsubsection{Logarithmus und Exponentialfunktion}
-% Logarithmus und Exponentialfunktion
+Die Exponentialfunktion und der Logarithmus sind nicht algebraisch
+über $\mathbb{Q}(x)$, sie lassen sich nicht durch eine algebraische
+Gleichung charakterisieren.
+Sie zeichnen sich aber durch besondere Ableitungseigenschaften aus.
+Die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen garantiert,
+dass eine Funktion durch eine Differentialgleichung und Anfangsbedingungen
+festgelegt ist.
+Für die Exponentialfunktion und der Logarithmus haben die 
+Ableitungseigenschaften
+\[
+\exp'(x) = \exp(x)
+\qquad\text{und}\qquad
+x \log'(x) = 1.
+\]
+\index{Exponentialfunktion}%
+\index{Logarithmus}%
+In der algebraischen Beschreibung eines Funktionenkörpers gibt es
+das Konzept des Wertes einer Funktion an einer bestimmten Stelle nicht.
+Somit können keine Anfangsbedingungen vorgegeben werden.
+Da die Gleichungen linear sind, sind Vielfache einer Lösung wieder
+Lösungen.
+Insbesondere ist mit $\exp(x)$ auch $a\exp(x)$ eine Lösung und mit
+$\log(x)$ auch $a\log(x)$ für alle Konstanten $a$.
+
+Die Eigenschaft, dass die Exponentialfunktion die Umkehrfunktion
+des Logarithmus ist, lässt sich mit den Mitteln eines Differentialkörpers
+nicht ausdrücken.
 
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index 2962178..854a875 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/elementar.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/elementar.tex
@@ -5,3 +5,11 @@
 %
 \subsection{Elementare Funktionen
 \label{buch:integral:subsection:elementar}}
+Etwas allgemeiner kann man sagen, dass in den
+Beispielen~\eqref{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2}
+algebraische Erweiterungen von $\mathbb{Q}(x)$ und Erweiterungen
+um Logarithmen oder Exponentialfunktionen vorgekommen sind.
+Die Stammfunktionen verwenden dieselben Funktionen oder höchstens
+Erweiterungen um Logarithmen von Funktionen, die man schon im
+Integranden gesehen hat.
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex
index 7039cc0..a999ebb 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/erweiterungen.tex
@@ -141,6 +141,16 @@ s(\alpha) = \frac{1}{a(\alpha)}.
 Damit ist $s(\alpha)$ eine Darstellung von $1/a(\alpha)$ in der 
 Form~\eqref{buch:integral:eqn:algelement}.
 
+%
+% Komplexe Zahlen
+%
+\subsubsection{Komplexe Zahlen}
+Die imaginäre Einheit $i$ hat die Eigenschaft, dass $i^2=-1$, insbesondere
+ist sie Nullstelle des Polynoms $m(x)=x^2+1\in\mathbb{Q}[x]$.
+Die Menge $\mathbb{Q}(i)$ ist daher eine algebraische Körpererweiterung
+von $\mathbb{Q}$ bestehend aus den komplexen Zahlen mit rationalem
+Real- und Imaginärteil.
+
 % Transzendente Körpererweiterungen
 \subsubsection{Transzendente Erweiterungen}
 Nicht alle Zahlen in $\mathbb{R}$ sind algebraisch.
diff --git a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex
index 7cbb906..2bfe0e1 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex
@@ -13,15 +13,132 @@ $\log(x-\alpha)$ hinzuzufügen.
 
 Es können jedoch noch ganz andere neue Funktionen auftreten, wie die
 folgende Zusammenstellung einiger Stammfunktionen zeigt:
-\begin{align*}
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
 \int\frac{dx}{1+x^2}
 &=
-\arctan x
+\arctan x,
 \\
-\end{align*}
-
-
+\int \cos x\,dx
+&=
+\sin x,
+\\
+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
+&=
+\arcsin x,
+\\
+\int
+\operatorname{arcosh} x\,dx
+&=
+x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}.
+\end{aligned}
+\label{buch:integration:risch:allgform}
+\end{equation}
+In der Stammfunktion treten Funktionen auf, die auf den ersten
+Blick nichts mit den Funktionen im Integranden zu tun haben.
 
+Die trigonometrischen und hyperbolichen Funktionen
+in~\eqref{buch:integration:risch:allgform}
+lassen sich alle durch Exponentialfunktionen ausdrücken.
+So gilt
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\sin x &= \frac{1}{2i}\bigl( e^{ix} - e^{-ix}\bigr),
+&
+&\qquad&
+\cos x &= \frac{1}{2}\bigl( e^{ix} + e^{-ix}\bigr),
+\\
+\sinh x &= \frac12\bigl( e^x - e^{-x} \bigr),
+&
+&\qquad&
+\cosh x &= \frac12\bigl( e^x + e^{-x} \bigr).
+\end{aligned}
+\label{buch:integral:risch:trighypinv}
+\end{equation}
+Nach Multiplikation mit $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$ entsteht eine
+quadratische Gleichung in $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$.
+Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen erlaubt daher, $e^{ix}$
+bzw.~$e^{x}$ zu finden und damit auch die Umkehrfunktionen.
+Die Rechnung ergibt
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\arcsin y
+&=
+\frac{1}{i}\log\bigl(
+iy\pm\sqrt{1-y^2}
+\bigr)
+&
+&\qquad&
+\arccos y
+&=
+\log\bigl(
+y\pm \sqrt{y^2-1}
+\bigr)
+\\
+\operatorname{arsinh}y
+&=
+\log\bigl(
+y \pm \sqrt{1+y^2}
+\bigr)
+&
+&\qquad&
+\operatorname{arcosh} y
+&=
+\log\bigl(
+y\pm \sqrt{y^2-1}
+\bigr)
+\end{aligned}
+\label{buch:integral:risch:trighypinv}
+\end{equation}
+Alle Funktionen, die man aus dem elementaren Analysisunterricht
+kennt, können also mit Hilfe von Exponentialfunktionen und Logarithmen
+geschrieben werden.
+Man nennt dies die $\log$-$\exp$-Notation der trigonometrischen
+und hyperbolischen Funktionen.
+\index{logexpnotation@$\log$-$\exp$-Notation}%
 
+Wendet man die Substitutionen
+\eqref{buch:integral:risch:trighyp}
+und
+\eqref{buch:integral:risch:trighypinv}
+auf die Integrale
+\eqref{buch:integration:risch:allgform}
+an, entstehen die Beziehungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\int\frac{1}{1+x^2}
+&=
+\frac12i\bigl(
+\log(1-ix) - \log(1+ix)
+\bigr)
+\\
+\int\bigl(
+{\textstyle\frac12}
+e^{ix}
++
+{\textstyle\frac12}
+e^{-ix}
+\bigr)
+&=
+-{\textstyle\frac12}ie^{ix}
++{\textstyle\frac12}ie^{-ix}
+\\
+\int
+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+&=
+-i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2})
+\\
+\int \log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)
+&=
+x\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) - \sqrt{x^2-1}.
+\end{aligned}
+\label{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2}
+\end{equation}
+Die in den Stammfuntionen auftretenden Funktionen treten entweder
+schon im Integranden auf oder sind Logarithmen von solchen
+Funktionen.
+Zum Beispiel hat der Nenner im ersten Integral die Faktorisierung
+$1+x^2=(1+ix)(1-ix)$, in der Stammfunktion findet man die Logarithmen
+der Faktoren.
 
 
diff --git a/buch/chapters/060-integral/rational.tex b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
index ae64c34..7b24e9f 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/rational.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/rational.tex
@@ -157,7 +157,7 @@ p(x),q(x)\in\mathbb{Q}[x]
 q(x)\ne 0
 \biggr\},
 \]
-bestehend aus allen Quotienten von Polynome, deren Nenner nicht
+bestehend aus allen Quotienten von Polynomen, deren Nenner nicht
 das Nullpolynom ist, heisst der Körper der {\em rationalen Funktionen}
 \index{rationale Funktion}%
 mit Koeffizienten in $\mathbb{Q}$.
diff --git a/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex
index ceb8650..787cfc9 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/sqrat.tex
@@ -331,8 +331,9 @@ Letzteres wird im nächsten Abschnitt berechnet.
 % Das Integral von $1/y$
 %
 \subsubsection{Das Integral von $1/y$}
-Eine Stammfunktion von $1/y$ kann mit etwas Geschick bekannten
-Interationstechniken gefunden werden.
+Eine Stammfunktion von $1/y$ kann mit etwas Geschick mit den 
+Interationstechniken gefunden werden, die man in einem Analysis-Kurs
+lernt.
 Durch Ableitung der Funktion
 \[
 F
@@ -471,7 +472,7 @@ die bei der Berechnung der Integrale \eqref{buch:integral:sqrat:eqn:2teart}
 auftreten.
 Insbesondere liefert die Rechnung eine Körpererweiterung von
 $\mathcal{K}(x,y)$ um die logarithmische Funktionen
-$\log(x+b/2a+y/\sqrt{y})$ und $\log v_i$, in der $R(x,y)$ eine
+$\log(x+b/2a+y/\!\sqrt{y})$ und $\log v_i$, in der $R(x,y)$ eine
 Stammfunktion hat.