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diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index 910e8bb..f697f45 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -1,80 +1,101 @@ -% -% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund -% -% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil -% -\section{Mathematischer Hintergrund -\label{0f1:section:mathHintergrund}} -\rhead{Mathematischer Hintergrund} - -\subsection{Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ -\label{0f1:subsection:0f1}} -Wie in Kapitel \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} beschrieben, -wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert. -\begin{definition} - \label{0f1:rekursion:hypergeometrisch:def} - Die hypergeometrische Funktion - $\mathstrut_0F_1$ ist definiert durch die Reihe - \[ - \mathstrut_0F_1 - \biggl( - \begin{matrix} - \\ - b_1 - \end{matrix} - ; - x - \biggr) - = - \mathstrut_0F_1(;b_1;x) - = - \sum_{k=0}^\infty - \frac{1}{(b_1)_k}\frac{x^k}{k!}. - \] -\end{definition} - - -\subsection{Airy Funktion -\label{0f1:subsection:airy}} -Wie in \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} dargestellt, ist die Airy-Differentialgleichung -folgendermassen definiert. -\begin{definition} - y'' - xy = 0 - \label{0f1:airy:eq:differentialgleichung} -\end{definition} - -Daraus ergibt sich wie in Aufgabe~\ref{503} gefundenen Lösungen der -Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen. - - -\begin{align*} -y_1(x) -= -\sum_{k=0}^\infty -\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k -= -\mathstrut_0F_1\biggl( -\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9} -\biggr). -\\ -y_2(x) -= -\sum_{k=0}^\infty -\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k -= -x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( -\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix}; -\frac{x^3}{9} -\biggr). -\qedhere -\end{align*} - - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics{papers/0f1/images/airy.pdf} - \caption{Plot der Lösungen der Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$ - zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ in {\color{red}rot} - und $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ in {\color{blue}blau}. - \label{0f1:airy:plot:vorgabe}} -\end{figure}
\ No newline at end of file +%
+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
+%
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Mathematischer Hintergrund
+\label{0f1:section:mathHintergrund}}
+\rhead{Mathematischer Hintergrund}
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+beschrieben.
+
+\subsection{Hypergeometrische Funktion
+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Anwendung der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
+
+\begin{definition}
+ \label{0f1:math:qFp:def}
+ Die hypergeometrische Funktion
+ $\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
+ \[
+ \mathstrut_pF_q
+ \biggl(
+ \begin{matrix}
+ a_1,\dots,a_p\\
+ b_1,\dots,b_q
+ \end{matrix}
+ ;
+ x
+ \biggr)
+ =
+ \mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
+ =
+ \sum_{k=0}^\infty
+ \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
+ \]
+\end{definition}
+
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
+
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:0f1:eq}
+ \mathstrut_0F_1
+ \biggl(
+ \begin{matrix}
+ \\-
+ b_1
+ \end{matrix}
+ ;
+ x
+ \biggr)
+ =
+ \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
+ =
+ \sum_{k=0}^\infty
+ \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
+\end{equation}
+
+
+
+
+\subsection{Airy Funktion
+\label{0f1:subsection:airy}}
+Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.
+
+\begin{definition}
+ \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
+ Die Differentialgleichung
+ $y'' - xy = 0$
+ heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}.
+\end{definition}
+
+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen.
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$, sowie $Bi(0)=0$ und $Bi'(0)=0$.
+
+\begin{align}
+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+Ai(x)
+=&
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\\
+Bi(x)
+=&
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
+\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\qedhere
+\end{align}
+
+Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+benutzt.
+
+
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