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diff --git a/buch/papers/dreieck/Makefile b/buch/papers/dreieck/Makefile new file mode 100644 index 0000000..f0cb602 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile -- make file for the paper dreieck +# +# (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller +# + +images: + @echo "no images to be created in dreieck" + diff --git a/buch/papers/dreieck/Makefile.inc b/buch/papers/dreieck/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..843da8d --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/Makefile.inc @@ -0,0 +1,14 @@ +# +# Makefile.inc -- dependencies for this article +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +dependencies-dreieck = \ + papers/dreieck/packages.tex \ + papers/dreieck/main.tex \ + papers/dreieck/references.bib \ + papers/dreieck/teil0.tex \ + papers/dreieck/teil1.tex \ + papers/dreieck/teil2.tex \ + papers/dreieck/teil3.tex + diff --git a/buch/papers/dreieck/images/Makefile b/buch/papers/dreieck/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..3907d13 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/images/Makefile @@ -0,0 +1,10 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +order.pdf: order.tex orderpath.tex + pdflatex order.tex + +orderpath.tex: order.m + octave order.m diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.m b/buch/papers/dreieck/images/order.m new file mode 100644 index 0000000..d37a258 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/images/order.m @@ -0,0 +1,79 @@ +# +# order.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +global N; +N = 10; +global subdivisions; +subdivisions = 100; +global P; +P = 0.5 + +function retval = orderF(p, n, k) + retval = 0; + for i = (k:n) + retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i); + end +end + +function retval = orderd(p, n, k) + retval = 0; + for i = (k:n) + s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i); + s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1); + retval = retval + nchoosek(n,i) * s; + end +end + +function orderpath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (0:subdivisions) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orderF(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +function orderdpath(fn, k, name) + fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name); + global N; + global subdivisions; + for i = (1:subdivisions-1) + p = i/subdivisions; + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", + p, orderd(p, N, k)); + end + fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)"); + fprintf(fn, "\n}\n"); +end + +fn = fopen("orderpath.tex", "w"); +orderpath(fn, 0, "zero"); +orderdpath(fn, 0, "zero"); +orderpath(fn, 1, "one"); +orderdpath(fn, 1, "one"); +orderpath(fn, 2, "two"); +orderdpath(fn, 2, "two"); +orderpath(fn, 3, "three"); +orderdpath(fn, 3, "three"); +orderpath(fn, 4, "four"); +orderdpath(fn, 4, "four"); +orderpath(fn, 5, "five"); +orderdpath(fn, 5, "five"); +orderpath(fn, 6, "six"); +orderdpath(fn, 6, "six"); +orderpath(fn, 7, "seven"); +orderdpath(fn, 7, "seven"); +orderpath(fn, 8, "eight"); +orderdpath(fn, 8, "eight"); +orderpath(fn, 9, "nine"); +orderdpath(fn, 9, "nine"); +orderpath(fn, 10, "ten"); +orderdpath(fn, 10, "ten"); +fclose(fn); + + diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.pdf b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6d9c8c0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.tex b/buch/papers/dreieck/images/order.tex new file mode 100644 index 0000000..083f014 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/images/order.tex @@ -0,0 +1,99 @@ +% +% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{8} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\input{orderpath.tex} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{1} +\def\dy{0.5} + +\def\pfad#1#2{ +\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) + -- + #1 + -- + ({1+0.1/\skala},0.5); +} + +\pfad{\orderzero}{darkgreen!20} +\pfad{\orderone}{darkgreen!20} +\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20} +\pfad{\orderthree}{darkgreen!20} +\pfad{\orderfour}{darkgreen!20} +\pfad{\orderfive}{darkgreen!20} +\pfad{\ordersix}{darkgreen!20} +\pfad{\ordereight}{darkgreen!20} +\pfad{\ordernine}{darkgreen!20} +\pfad{\orderten}{darkgreen!20} +\pfad{\orderseven}{darkgreen} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={left:$F(X)$}]; +\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{ + \draw (\x,{-0.1/\skala}) -- (\x,{0.1/\skala}); + \node at (\x,{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {0.5,1}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; +} + +\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$}; + +\begin{scope}[yshift=-0.7cm] +\def\dy{0.125} + +\def\pfad#1#2{ + \draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) + -- + #1 + -- + ({1+0.1/\skala},0.0); +} + +\begin{scope} +\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala}) + rectangle ({1+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala}); +\pfad{\orderdzero}{red!20} +\pfad{\orderdone}{red!20} +\pfad{\orderdtwo}{red!20} +\pfad{\orderdthree}{red!20} +\pfad{\orderdfour}{red!20} +\pfad{\orderdfive}{red!20} +\pfad{\orderdsix}{red!20} +\pfad{\orderdeight}{red!20} +\pfad{\orderdnine}{red!20} +\pfad{\orderdten}{red!20} +\pfad{\orderdseven}{red} +\end{scope} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={left:$\varphi(X)$}]; +\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{ + \draw (\x,{-0.1/\skala}) -- (\x,{0.1/\skala}); + \node at (\x,{-0.1/\skala}) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {1,2,3,4}{ + \draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy}); + \node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$}; +} + +\node[color=red] at (0.67,{2.7*\dy}) [above] {$k=7$}; + +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/dreieck/main.tex b/buch/papers/dreieck/main.tex new file mode 100644 index 0000000..75ba410 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/main.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +% +% main.tex -- Paper zum Thema <dreieck> +% +% (c) 2020 Hochschule Rapperswil +% +\chapter{Dreieckstest und Beta-Funktion\label{chapter:dreieck}} +\lhead{Dreieckstest und Beta-Funktion} +\begin{refsection} +\chapterauthor{Andreas Müller} + +\noindent +Mit dem Dreieckstest kann man feststellen, wie gut ein Geruchs- +oder Geschmackstester verschiedene Gerüche oder Geschmäcker +unterscheiden kann. +Seine wahrscheinlichkeitstheoretische Erklärung benötigt die Beta-Funktion, +man kann die Beta-Funktion als durchaus als die mathematische Grundlage +der Weindegustation +bezeichnen. + +\input{papers/dreieck/teil0.tex} +\input{papers/dreieck/teil1.tex} +\input{papers/dreieck/teil2.tex} +\input{papers/dreieck/teil3.tex} + +\printbibliography[heading=subbibliography] +\end{refsection} diff --git a/buch/papers/dreieck/packages.tex b/buch/papers/dreieck/packages.tex new file mode 100644 index 0000000..fd4ebce --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/packages.tex @@ -0,0 +1,10 @@ +% +% packages.tex -- packages required by the paper dreieck +% +% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +% if your paper needs special packages, add package commands as in the +% following example +%\usepackage{packagename} + diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib new file mode 100644 index 0000000..d2bbe08 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/references.bib @@ -0,0 +1,35 @@ +% +% references.bib -- Bibliography file for the paper dreieck +% +% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil +% + +@online{dreieck:bibtex, + title = {BibTeX}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, + date = {2020-02-06}, + year = {2020}, + month = {2}, + day = {6} +} + +@book{dreieck:numerical-analysis, + title = {Numerical Analysis}, + author = {David Kincaid and Ward Cheney}, + publisher = {American Mathematical Society}, + year = {2002}, + isbn = {978-8-8218-4788-6}, + inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, + volume = {2} +} + +@article{dreieck:mendezmueller, + author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, + title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, + journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, + year = 2019, + volume = 47, + pages = {607--627}, + url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +} + diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex new file mode 100644 index 0000000..bcf2cf8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Testprinzip\label{dreieck:section:testprinzip}} +\rhead{Testprinzip} + + diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex new file mode 100644 index 0000000..255c5d0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex @@ -0,0 +1,261 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion +\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}} +\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} +In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion +$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen +Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind. +Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte +des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe +zu finden. + +\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ +\label{dreieck:subsection:minmax}} +Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat +den Wert +\begin{align*} +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) +&= +P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x) +\\ +&= +P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x) +\\ +&= +P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x) +\\ +&= +P(X\le x)^n += +F_X(x)^n. +\end{align*} +Für die Gleichverteilung ist +\[ +F_{\text{equi}}(x) += +\begin{cases} +0&\qquad x< 0 +\\ +x&\qquad 0\le x\le 1 +\\ +1&\qquad 1<x. +\end{cases} +\] +In diesem Fall ist Verteilung des Maximums +\[ +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +0&\qquad x<0\\ +x^n&\qquad 0\le x\le 1\\ +1&\qquad 1 < x. +\end{cases} +\] +Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)} += +\frac{d}{dx} +F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +kann man zum Beispiel den Erwartungswert +\[ +E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)) += +\int_{-\infty}^\infty +x +\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x) +\,dx += +\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt += +\biggl[ +\frac{n}{n+1}x^{n+1} +\biggr]_0^1 += +\frac{n}{n+1} +\] +berechnen. + +Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen. +Sie ist +\begin{align*} +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) +&= +P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n) +\\ +&= +1- +P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n) +\\ +&= +1- +(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n)) +\\ +&= +1-(1-F_X(x))^n, +\end{align*} +Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die +Verteilungsfunktion des Minimums +\[ +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) += +\begin{cases} +0 &\qquad x<0 \\ +1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\ +1 &\qquad 1 < x +\end{cases} +\] +mit Wahrscheinlichkeitsdichte +\[ +\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} += +\frac{d}{dx} +F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} += +\begin{cases} +n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ +0 &\qquad \text{sonst} +\end{cases} +\] +und Erwartungswert +\begin{align*} +E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) +&= +\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx += +\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx +\\ +&= +\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx += +\biggl[ +- +\frac{1}{n+1} +(1-x)^{n+1} +\biggr]_0^1 += +\frac{1}{n+1}. +\end{align*} +Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach +der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den +Werten $X_i$. + +\subsection{Der $k$-t-grösste Wert} +Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten +Zufallsvariablen. +Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden +mit +\[ +X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n} +\] +bezeichnet. +Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten +Ordnungsstatistiken. +Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen +$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ +und +$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ +sind die Fälle +\begin{align*} +X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\ +X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n). +\end{align*} + +Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir +die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht +übersteigen. +Es muss also eine Partition von $[n]=\{1,\dots,n\}$ in eine +$k$-elementige $I=\{i_1,\dots,i_k\}$ Teilmenge und ihre +$(n-k)$-elementige Komplementmenge $[n]\setminus I$ geben +derart, dass die $X_{i} \le x$ sind für $i\in I$ und $X_{j}> x$ für +$j\in [n]\setminus I$. +Daraus kann man ablesen, dass +\begin{align*} +F_{X_{k:n}}(x) +&= +P\biggl( +\bigvee_{I\subset[n]\wedge |I|=k} +\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x) +\wedge +\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x) +\biggr). +\intertext{Da die verschiedenen $k$-elementigen Teilmengen $I\subset[n]$ +zu disjunkten Ereignissen gehören, ist die Wahrscheinlichkeit eine Summe} +&= +\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k} +P\biggl( +\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x) +\wedge +\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x) +\biggr) +\\ +&= +\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k} +\prod_{i\in I} +P(X_i\le x) +\cdot +\prod_{j\in [n]\setminus I} +P(X_j > x) +\\ +&= +\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k} +F_X(x)^k +(1-F_X(x))^{n-k}. +\intertext{Die Anzahl solcher Teilmengen $I$ ist gegeben durch den +Binomialkoeffizienten gebeben, die Verteilungsfunktion ist daher} +F_{X_{k:n}}(x) +&= +\binom{n}{k} +F_X(x)^k +(1-F_X(x))^{n-k}. +\end{align*} +Für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die Verteilungsfunktion +der $k$-ten Ordnungsstatistik +\[ +F_{X_{k:n}}(x) += +\binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}. +\] +Ihre Ableitung nach $x$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und damit +wird es jetzt auch möglich, den Erwartungswert zu ermitteln: +\begin{align*} +E(X_{k:n}) +&= +\int_{0}^1 +\underbrace{x\llap{\phantom{\bigg|}}\mathstrut}_{\downarrow} +\underbrace{\frac{d}{dx}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}}_{\uparrow} +\,dx += +\biggl[ +x\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} +\biggr]_0^1 +- +\int_0^1 +\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} +\,dx +\\ +&= +\binom{n}{k} +\biggl( +0^{n-k} +- +\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}\,dx +\biggr) +\end{align*} + + + + + diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex new file mode 100644 index 0000000..83ea3cb --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex @@ -0,0 +1,9 @@ +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Wahrscheinlichkeiten im Dreieckstest +\label{dreieck:section:wahrscheinlichkeiten}} +\rhead{Wahrscheinlichkeiten} + diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex new file mode 100644 index 0000000..e2dfd6b --- /dev/null +++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex @@ -0,0 +1,10 @@ +% +% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Erweiterungen +\label{dreieck:section:erweiterungen}} +\rhead{Erweiterungen} + + |