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diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf Binary files differindex c3ab4f6..cd5ed80 100644 --- a/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf +++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.pdf diff --git a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex index 50509ee..f0ffdf0 100644 --- a/buch/papers/dreieck/images/beta.tex +++ b/buch/papers/dreieck/images/beta.tex @@ -23,7 +23,8 @@ \definecolor{coloreight}{rgb}{0.0,0.8,0.8} \definecolor{colornine}{rgb}{0.0,0.8,0.2} \definecolor{colorten}{rgb}{0.2,0.4,0.0} -\definecolor{coloreleven}{rgb}{1.0,0.8,0.4} +\definecolor{coloreleven}{rgb}{0.6,1.0,0.0} +\definecolor{colortwelve}{rgb}{1.0,0.8,0.4} \def\achsen{ \foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}{ @@ -47,24 +48,24 @@ } \def\farbcoord#1#2{ - ({\dx*(0.7+((#1-1)/4)*0.27)},{\dx*(0.15+((#2-1)/4)*0.27)}) + ({\dx*(0.63+((#1)/5)*0.27)},{\dx*(0.18+((#2)/5)*0.27)}) } \def\farbviereck{ - \foreach \x in {1,2,3,4,5}{ - \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{1} -- \farbcoord{\x}{5}; - \draw[color=gray!30] \farbcoord{1}{\x} -- \farbcoord{5}{\x}; + \foreach \x in {1,2,3,4}{ + \draw[color=gray!30] \farbcoord{\x}{0} -- \farbcoord{\x}{4}; + \draw[color=gray!30] \farbcoord{0}{\x} -- \farbcoord{4}{\x}; } - \draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{5.4}{1} + \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{4.4}{0} coordinate[label={$a$}]; - \draw[->] \farbcoord{1}{1} -- \farbcoord{1}{5.4} + \draw[->] \farbcoord{0}{0} -- \farbcoord{0}{4.4} coordinate[label={left: $b$}]; - \foreach \x in {1,2,3,4,5}{ - \node[color=gray] at \farbcoord{5}{\x} [right] {\tiny $b=\x$}; - \fill[color=white,opacity=0.7] - \farbcoord{(\x-0.1)}{4.3} - rectangle - \farbcoord{(\x+0.1)}{5}; - \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{5} [left,rotate=90] + \foreach \x in {1,2,3,4}{ + \node[color=gray] at \farbcoord{4}{\x} [right] {\tiny $b=\x$}; + %\fill[color=white,opacity=0.7] + % \farbcoord{(\x-0.1)}{3.3} + % rectangle + % \farbcoord{(\x+0.1)}{4}; + \node[color=gray] at \farbcoord{\x}{4} [right,rotate=90] {\tiny $a=\x$}; } } @@ -74,23 +75,26 @@ \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] -\def\dx{1} +\def\dx{1.1} \def\dy{0.1} \def\opa{0.1} -\def\betamax{4.2} - -\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle; +\def\betamax{4.9} + +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabb -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacc -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadd -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaff -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagg -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahh -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaii -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajj -- (\dx,0) -- cycle; \fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle; \draw[color=colorone] \betaaa; \draw[color=colortwo] \betabb; @@ -103,11 +107,15 @@ \draw[color=colornine] \betaii; \draw[color=colorten] \betajj; \draw[color=coloreleven] \betakk; +\draw[color=colortwelve] \betall; + +\end{scope} \achsen \farbviereck +\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve} \farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven} \farbpunkt{\alphaten}{\betaten}{colorten} \farbpunkt{\alphanine}{\betanine}{colornine} @@ -124,88 +132,102 @@ \def\betamax{4.9} \begin{scope}[yshift=-0.6cm] -\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaa -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaab -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaac -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaad -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaae -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaf -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaag -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaah -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaai -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaaj -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle; -\draw[color=colorone] \betaaa; -\draw[color=colortwo] \betaab; -\draw[color=colorthree] \betaac; -\draw[color=colorfour] \betaad; -\draw[color=colorfive] \betaae; -\draw[color=colorsix] \betaaf; -\draw[color=colorseven] \betaag; -\draw[color=coloreight] \betaah; -\draw[color=colornine] \betaai; -\draw[color=colorten] \betaaj; -\draw[color=coloreleven] \betaak; +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaea -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeb -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betaec -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betaed -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaee -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betaef -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeg -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betaeh -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaei -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betaej -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaea; +\draw[color=colortwo] \betaeb; +\draw[color=colorthree] \betaec; +\draw[color=colorfour] \betaed; +\draw[color=colorfive] \betaee; +\draw[color=colorsix] \betaef; +\draw[color=colorseven] \betaeg; +\draw[color=coloreight] \betaeh; +\draw[color=colornine] \betaei; +\draw[color=colorten] \betaej; +\draw[color=coloreleven] \betaek; +\draw[color=colortwelve] \betael; +\end{scope} \achsen \farbviereck -\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{coloreleven} -\farbpunkt{\alphaone}{\betaten}{colorten} -\farbpunkt{\alphaone}{\betanine}{colornine} -\farbpunkt{\alphaone}{\betaeight}{coloreight} -\farbpunkt{\alphaone}{\betaseven}{colorseven} -\farbpunkt{\alphaone}{\betasix}{colorsix} -\farbpunkt{\alphaone}{\betafive}{colorfive} -\farbpunkt{\alphaone}{\betafour}{colorfour} -\farbpunkt{\alphaone}{\betathree}{colorthree} -\farbpunkt{\alphaone}{\betatwo}{colortwo} -\farbpunkt{\alphaone}{\betaone}{colorone} +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaten}{colorten} +\farbpunkt{\alphafive}{\betanine}{colornine} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaeight}{coloreight} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaseven}{colorseven} +\farbpunkt{\alphafive}{\betasix}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betafive}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafive}{\betafour}{colorfour} +\farbpunkt{\alphafive}{\betathree}{colorthree} +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwo}{colortwo} +\farbpunkt{\alphafive}{\betaone}{colorone} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-1.2cm] -\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaak -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabk -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betack -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadk -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betaek -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafk -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagk -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahk -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betaik -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajk -- (\dx,0) -- cycle; -\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakk -- (\dx,0) -- cycle; -\draw[color=colorone] \betaak; -\draw[color=colortwo] \betabk; -\draw[color=colorthree] \betack; -\draw[color=colorfour] \betadk; -\draw[color=colorfive] \betaek; -\draw[color=colorsix] \betafk; -\draw[color=colorseven] \betagk; -\draw[color=coloreight] \betahk; -\draw[color=colornine] \betaik; -\draw[color=colorten] \betajk; -\draw[color=coloreleven] \betakk; +\begin{scope} +\clip (0,0) rectangle ({1*\dx},{\betamax*\dy}); +\fill[color=colorone,opacity=\opa] (0,0) -- \betaal -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwo,opacity=\opa] (0,0) -- \betabl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorthree,opacity=\opa] (0,0) -- \betacl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfour,opacity=\opa] (0,0) -- \betadl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorfive,opacity=\opa] (0,0) -- \betael -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorsix,opacity=\opa] (0,0) -- \betafl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorseven,opacity=\opa] (0,0) -- \betagl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreight,opacity=\opa] (0,0) -- \betahl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colornine,opacity=\opa] (0,0) -- \betail -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colorten,opacity=\opa] (0,0) -- \betajl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=coloreleven,opacity=\opa] (0,0) -- \betakl -- (\dx,0) -- cycle; +\fill[color=colortwelve,opacity=\opa] (0,0) -- \betall -- (\dx,0) -- cycle; + +\draw[color=colorone] \betaal; +\draw[color=colortwo] \betabl; +\draw[color=colorthree] \betacl; +\draw[color=colorfour] \betadl; +\draw[color=colorfive] \betael; +\draw[color=colorsix] \betafl; +\draw[color=colorseven] \betagl; +\draw[color=coloreight] \betahl; +\draw[color=colornine] \betail; +\draw[color=colorten] \betajl; +\draw[color=coloreleven] \betakl; +\draw[color=colortwelve] \betall; +\end{scope} \achsen \farbviereck -\farbpunkt{\alphaeleven}{\betaeleven}{coloreleven} -\farbpunkt{\alphaten}{\betaeleven}{colorten} -\farbpunkt{\alphanine}{\betaeleven}{colornine} -\farbpunkt{\alphaeight}{\betaeleven}{coloreight} -\farbpunkt{\alphaseven}{\betaeleven}{colorseven} -\farbpunkt{\alphasix}{\betaeleven}{colorsix} -\farbpunkt{\alphafive}{\betaeleven}{colorfive} -\farbpunkt{\alphafour}{\betaeleven}{colorfour} -\farbpunkt{\alphathree}{\betaeleven}{colorthree} -\farbpunkt{\alphatwo}{\betaeleven}{colortwo} -\farbpunkt{\alphaone}{\betaeleven}{colorone} +\farbpunkt{\alphatwelve}{\betatwelve}{colortwelve} +\farbpunkt{\alphaeleven}{\betatwelve}{coloreleven} +\farbpunkt{\alphaten}{\betatwelve}{colorten} +\farbpunkt{\alphanine}{\betatwelve}{colornine} +\farbpunkt{\alphaeight}{\betatwelve}{coloreight} +\farbpunkt{\alphaseven}{\betatwelve}{colorseven} +\farbpunkt{\alphasix}{\betatwelve}{colorsix} +\farbpunkt{\alphafive}{\betatwelve}{colorfive} +\farbpunkt{\alphafour}{\betatwelve}{colorfour} +\farbpunkt{\alphathree}{\betatwelve}{colorthree} +\farbpunkt{\alphatwo}{\betatwelve}{colortwo} +\farbpunkt{\alphaone}{\betatwelve}{colorone} \end{scope} diff --git a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m index 9ff78ed..5b466a6 100644 --- a/buch/papers/dreieck/images/betadist.m +++ b/buch/papers/dreieck/images/betadist.m @@ -5,24 +5,32 @@ # global N; N = 201; -global n; -n = 11; +global nmin; +global nmax; +nmin = -4; +nmax = 7; +n = nmax - nmin + 1 +A = 3; -t = (0:n-1) / (n-1) -alpha = 1 + 4 * t.^2 +t = (nmin:nmax) / nmax; +alpha = 1 + A * t .* abs(t) +#alpha(1) = 0.01; #alpha = [ 1, 1.03, 1.05, 1.1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5 ]; beta = alpha; names = [ "one"; "two"; "three"; "four"; "five"; "six"; "seven"; "eight"; - "nine"; "ten"; "eleven" ] + "nine"; "ten"; "eleven"; "twelve" ] function retval = Beta(a, b, x) retval = x^(a-1) * (1-x)^(b-1) / beta(a, b); + if (retval > 100) + retval = 100 + end end function plotbeta(fn, a, b, name) global N; - fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", name); + fprintf(fn, "\\def\\beta%s{\n", strtrim(name)); fprintf(fn, "\t({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", 0, Beta(a, b, 0)); for x = (1:N-1)/(N-1) X = (1-cos(pi * x))/2; @@ -35,8 +43,8 @@ end fn = fopen("betapaths.tex", "w"); for i = (1:n) - fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", names(i,:), alpha(i)); - fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", names(i,:), beta(i)); + fprintf(fn, "\\def\\alpha%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), alpha(i)); + fprintf(fn, "\\def\\beta%s{%f}\n", strtrim(names(i,:)), beta(i)); end for i = (1:n) diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex index 5e7090b..4abe2e1 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex @@ -5,416 +5,7 @@ % \section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion \label{dreieck:section:ordnungsstatistik}} -\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} -In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion -$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen -Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind. -Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte -des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe -zu finden. -Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen -Zahlen von zwischen $1$ und $n$. +\rhead{} -\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und -$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ -\label{dreieck:subsection:minmax}} -Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat -den Wert -\begin{align*} -F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) -&= -P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x) -\\ -&= -P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x) -\\ -&= -P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x) -\\ -&= -P(X\le x)^n -= -F_X(x)^n. -\end{align*} -Für die Gleichverteilung ist -\[ -F_{\text{equi}}(x) -= -\begin{cases} -0&\qquad x< 0 -\\ -x&\qquad 0\le x\le 1 -\\ -1&\qquad 1<x. -\end{cases} -\] -In diesem Fall ist Verteilung des Maximums -\[ -F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) -= -\begin{cases} -0&\qquad x<0\\ -x^n&\qquad 0\le x\le 1\\ -1&\qquad 1 < x. -\end{cases} -\] -Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte -\[ -\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)} -= -\frac{d}{dx} -F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x) -= -\begin{cases} -nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ -0 &\qquad \text{sonst} -\end{cases} -\] -kann man zum Beispiel den Erwartungswert -\[ -E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)) -= -\int_{-\infty}^\infty -x -\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x) -\,dx -= -\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt -= -\biggl[ -\frac{n}{n+1}x^{n+1} -\biggr]_0^1 -= -\frac{n}{n+1} -\] -berechnen. - -Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von -$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen. -Sie ist -\begin{align*} -F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) -&= -P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n) -\\ -&= -1- -P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n) -\\ -&= -1- -(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n)) -\\ -&= -1-(1-F_X(x))^n, -\end{align*} -Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die -Verteilungsfunktion des Minimums -\[ -F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x) -= -\begin{cases} -0 &\qquad x<0 \\ -1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\ -1 &\qquad 1 < x -\end{cases} -\] -mit Wahrscheinlichkeitsdichte -\[ -\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} -= -\frac{d}{dx} -F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)} -= -\begin{cases} -n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\ -0 &\qquad \text{sonst} -\end{cases} -\] -und Erwartungswert -\begin{align*} -E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) -&= -\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx -= -\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx -\\ -&= -\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx -= -\biggl[ -- -\frac{1}{n+1} -(1-x)^{n+1} -\biggr]_0^1 -= -\frac{1}{n+1}. -\end{align*} -Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach -der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den -Werten $X_i$. - -\subsection{Der $k$-t-grösste Wert} -Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten -Zufallsvariablen. -Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden -mit -\[ -X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n} -\] -bezeichnet. -Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten -Ordnungsstatistiken. -Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen -$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ -und -$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ -sind die Fälle -\begin{align*} -X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\ -X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n). -\end{align*} - -Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir -die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht -übersteigen. -Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn -mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also -\[ -P(X_{k:n} \le x) -= -P\left( -|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k -\right). -\] - -Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit -Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt. -Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also -Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$. -Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit -\begin{equation} -F_{X_{k:n}}(x) -= -P(X_{k:n}\le x) -= -\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} -\label{dreieck:eqn:FXkn} -\end{equation} -mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten. - -\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik} -Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung -von \eqref{dreieck:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist -\begin{align*} -\varphi_{X_{k:n}}(x) -&= -\frac{d}{dx} -F_{X_{k:n}}(x) -\\ -&= -\sum_{i=k}^n -\binom{n}{i} -\bigl( -iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i} -- -F_X(x)^k -(n-i) -(1-F_X(x))^{n-i-1} -\varphi_X(x) -\bigr) -\\ -&= -\sum_{i=k}^n -\binom{n}{i} -\varphi_X(x) -F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1} -\bigl( -iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x)) -\bigr) -\\ -&= -\varphi_X(x) -\biggl( -\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} -- -\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1} -\biggr) -\\ -&= -\varphi_X(x) -\biggl( -\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} -- -\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} -\biggr) -\\ -&= -\varphi_X(x) -\biggl( -k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k} -+ -\sum_{i=k+1}^{n+1} -\left( -i\binom{n}{i} -- -(n-i+1)\binom{n}{i-1} -\right) -F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i} -\biggr) -\end{align*} -Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten -\begin{align*} -i\binom{n}{i} -- -(n-i+1)\binom{n}{i-1} -&= -n\binom{n-1}{i-1} -- -n -\binom{n-1}{i-1} -= -0 -\end{align*} -folgt jetzt -\begin{align*} -\varphi_{X_{k:n}}(x) -&= -\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x). -\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist -} -\varphi_{X_{k:n}}(x) -&= -k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}. -\end{align*} -Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung -\[ -\beta(k,n-k+1)(x) -= -\frac{1}{B(k,n-k+1)} -x^{k-1}(1-x)^{n-k}. -\] -Tatsächlich ist die Normierungskonstante -\begin{align} -\frac{1}{B(k,n-k+1)} -&= -\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)} -= -\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}. -\label{dreieck:betaverteilung:normierung1} -\end{align} -Andererseits ist -\[ -k\binom{n}{k} -= -k\frac{n!}{k!(n-k)!} -= -\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}, -\] -in Übereinstimmung mit~\eqref{dreieck:betaverteilung:normierung1}. -Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der -Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} dargestellt. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{papers/dreieck/images/order.pdf} -\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der -Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable -mit $n=10$. -\label{dreieck:fig:order}} -\end{figure} - -\subsubsection{Erwartungswert} -Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte -der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen. -Die Rechnung ergibt: -\begin{align*} -E(X_{k:n}) -&= -\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx -= -k -\binom{n}{k} -\int_0^1 -x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx. -\intertext{Dies ist das Beta-Integral} -&= -k\binom{n}{k} -B(k+1,n-k+1) -\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in} -&= -k\frac{n!}{k!(n-k)!} -\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2} -= -k\frac{n!}{k!(n-k)!} -\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!} -= -\frac{k}{n+1} -\end{align*} -ausdrücken kann. -Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in -Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet. - -\subsubsection{Varianz} -Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst -der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden. -Er ist -\begin{align*} -E(X_{k:n}^2) -&= -\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx -= -k -\binom{n}{k} -\int_0^1 -x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx. -\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich} -&= -k\binom{n}{k} -B(k+2,n-k+1) -= -k\frac{n!}{k!(n-k)!} -\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!} -= -\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}. -\end{align*} -Die Varianz wird damit -\begin{align} -\operatorname{var}(X_{k:n}) -&= -E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2 -\notag -\\ -& -= -\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2} -= -\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)} -= -\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}. -\label{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz} -\end{align} -In Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} ist die Varianz der -Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges -Rechteck dargestellt. - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=0.84\textwidth]{papers/dreieck/images/beta.pdf} -\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung -$\beta(a,b,x)$ -für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$. -Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung -sind als Punkt im kleinen Quadrat rechts -im Graphen als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt. -\label{dreieck:fig:betaverteilungn}} -\end{figure} - -Die Formel~\eqref{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz} -besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$. -Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist -also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die -extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und -$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$. |